江西省赣州市十五县2019-2020学年高二数学下学期期中联考试题-文.doc

江西省赣州市十五县2019-2020学年高二数学下学期期中联考试题 文

江西省赣州市十五县2019-2020学年高二数学下学期期中联考试题 文

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江西省赣州市十五县（市）2019-2020学年高二数学下学期期中联考试题 文（含解析）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知复数（为虚数单位），则复数的虚部是（ ）
A. 1 B. -1 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据复数代数形式的运算性质化简求出复数，再根据虚部的定义即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴复数的虚部是，
故选：B．
【点睛】本题主要考查复数代数形式的运算性质以及虚部的定义，属于基础题．
2. 观察下列各式：，，，，，，则（ ）
A. 29 B. 30 C. 31 D. 32
【答案】A
【解析】
【分析】
通过对等式的左右两边观察，找出其数的规律.
详解】，，，，，，
通过观察发现，从第三项起，等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和．
，
故选：A
【点睛】本题主要考查了归纳推理的应用，属于基础题.
3. 已知某产品连续4个月的广告费（千元）与销售额（万元）（）满足，，若广告费用和销售额之间具有线性相关关系，且回归直线方程为，，那么广告费用为5千元时，可预测的销售额为（ ）万元
A 3 B. 3.15 C. 3.5 D. 3.75
【答案】D
【解析】
【分析】
求出样本中心点代入回归直线方程，可得a，再将x＝6代入，即可得出结论．
【详解】由题意，，，
代入0.6x+a，可得3＝0.6×3.75+a，
所以a＝0.75，
所以0.6x+0.75，
所以x＝5时，0.6×5+0.75＝3.75，
故选D．
【点睛】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，利用回归方程恒过样本中心点是关键．
4. 执行如图所示程序框图，若输出的值为，在条件框内应填写（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分析程序中各变量、各语句的作用，根据流程图所示的顺序，可知该程序是计算并输出S的值，条件框内的语句决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．
【详解】模拟执行程序，可得：i＝1，S＝10，
满足判断框内的条件，第1次执行循环体，S＝10﹣21＝8，i＝2，
满足判断框内的条件，第2次执行循环体，S＝8﹣22＝4，i＝3，
满足判断框内的条件，第3次执行循环体，S＝4﹣23＝﹣4，i＝4，
满足判断框内的条件，第3次执行循环体，S＝﹣4﹣24＝﹣20，i＝5，
此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出的S值为﹣20，
则条件框内应填写：i＜5，
故选D．
【点睛】本题考查程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题
5. 下图是相关变量散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程：，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据，得到线性回归方程：，相关系数为；则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由散点图可判断正负相关，得出为正，再结合剔除点前后的回归直线，即可比较出.
【详解】由散点图分布图可知,变量 和成正相关，所以 ，
在剔除点之后，
且可看出回归直线的线性相关程度更强,更接近1.
所以 .
故选:A.
【点睛】本题主要考查散点图的正负相关以及变量的相关性，相关系数的意义：①当散点分布呈正相关，；负相关，；②越接近1，说明两个变量越具有线性相关关系，即线性关系越强.
6. 在如图所示的电路图中，开关a，b，c闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
要使灯亮，必须a闭合，而开关b，或c闭合，再根据相互独立事件的概率乘法公式求得结果．
【详解】解：设开关a，b，c闭合分别为事件A，B，C，灯亮为事件E，
则灯亮这一事件，
且A，B，C相互独立，，，两两互斥，
∴

，
故选：B
【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．
7. 已知是两个数2,8的等比中项，则圆锥曲线的离心率为（ ）
A. 或 B. 或 C. D.
【答案】B
【解析】
由题意得，解得或．
当时，曲线方程为，故离心率为；
当时，曲线方程为，故离心率为．
所以曲线的离心率为或．选B．
8. 从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）分布情况汇总如下，由此表估计这100名小学生身高的中位数为（结果保留4位有效数字）（ ）
身高

频数
5
35
30
20
10

A. 119.3 B. 119.7 C. 123.3 D. 126.7
【答案】C
【解析】
【分析】
根据频数确定中位数所在的组，以及占该组的比例，即可求出中位数.
【详解】根据已知，身高有40人，
身高在有30人，
所以中位数在，且占该组（从小到大）
所以中位数为.
故选：C.
【点睛】本题考查频数分布表求中位数，考查计算求解能力，属于容易题.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若：，，则：，.
B. 命题“已知，若，则或”是真命题.
C. “在上恒成立”“在上恒成立”.
D. 函数的最小值为2.
【答案】B
【解析】
【分析】
对于选项A， ：，.所以该选项不正确；
对于选项B，由于逆否命题是真命题，所以原命题是真命题，所以该选项正确；
对于选项C，因为不等式两边的自变量都是“”，它只表示两边函数取相同的自变量时，左边的函数值不小于右边的函数值，所以该命题不正确；
对于选项,函数的最小值为，所以该选项错误.
【详解】对于选项A，若：，，则：，.所以该选项不正确；
对于选项B，命题“已知，若，则或”的逆否命题为“若且，则”，由于逆否命题是真命题，所以原命题是真命题，所以该选项正确；.
对于选项C，“在上恒成立”不等价于“在上恒成立”，因为不等式两边的自变量都是“”，它只表示两边函数取相同的自变量时，左边的函数值不小于右边的函数值，所以不等价于“在上恒成立”.所以该命题不正确；
对于选项,函数的最小值不是2. 设，
所以因为，所以函数在单调递增，所以函数的最小值为，所以该选项错误.
故选：B.
【点睛】本题主要考查全称命题的否定，考查逆否命题和原命题的等价性，考查不等式的恒成立问题和利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
10. 若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
分离参数，构造新函数，转化为与新函数的最值关系，利用导数求出新函数最值，即可得出结论.
【详解】关于的不等式在上有解，
即在上有解，
设，

，
恒成立，即在上为增函数，
.
故选：C.
【点睛】本题考查不等式能成立问题、应用导数求函数的最值，分离参数构造函数是解题的关键，属于中档题.
11. 已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则|QF|＝(　　)
A. B. C. 3 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，利用抛物线定义以及相似得到|QF|＝|QQ′|＝3.
【详解】如图所示：
过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，因为，
所以|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦点F到准线l的距离为4，
所以|QF|＝|QQ′|＝3.
故选C.

【点睛】本题考查了抛物线的定义应用，意在考查学生的计算能力.
12. 偶函数定义域为，其导函数是.当时，有，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
构造函数,再根据得出的单调性,结合偶函数可得的奇偶性,再结合奇偶性与单调性求解即可.
【详解】构造函数,则.
故当时,有,为减函数.
又为偶函数,故也为偶函数,所以在时为增函数.
又,,即,
即,故,结合定义域解得或.
故选：C
【点睛】本题主要考查了构造函数,利用导数分析函数的单调性,进而求解不等式的问题,需要根据题意确定函数在区间上的单调性,再根据函数的奇偶性进行求解.属于中档题.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 某球课程的学生中，高一、高二、高三年级分别有50名、40名、40名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高二年级学生中抽取了8名，则在高一年级学生中应抽取的人数为_______．
【答案】10
【解析】
【分析】
根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．
【详解】∵高一、高二、高三年级分别有50名、40名、40名
∴若在高二年级学生中抽取了8名，则在高一年级学生中应抽取的人数为n，
则，即n＝10，
故答案为10．
【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．
14. 已知，则______.
【答案】6
【解析】
【分析】
根据导数的定义，将所求的式子用表示，即可求解.
【详解】

.
故答案为：6.
【点睛】本题考查利用导数的定义求值，要注意函数值的变化量和自变量的变化量要一致，属于容易题.
15. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
用“1”的代换凑配出定值，然后用基本不等式求得最小值后可得结论．
【详解】因为，要使恒成立，所以，解得.
故答案为：．
【点睛】本题考查不等式恒成立问题，解题关键是用“1”的代换凑配出定值后用基本不等式求最小值．
16. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，又点，若双曲线左支上的任意一点均满足，则双曲线的离心率的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
原问题等价于 ，又，，即，即可得即可求解．
【详解】如图所示：
，，
即，
点均满足，
当点位于点时，最小，
故，即，
，即或，
即或.
双曲线的离心率的取值范围为.
故答案为.
【点睛】题考查了双曲线的性质、离心率，考查逻辑推理，数学运算核心素养，属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤）
17. 设命题：实数满足，其中；命题：实数满足.
（1）当时，若为真，求的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）首先求两个命题为真时的取值范围，并且由题意可知两个命题都是真命题，直接求两个集合的交集；
（2）由命题的等价性转化为是的必要不充分条件，利用集合的包含关系求的取值范围.
【详解】（1）当时，若真，则，解得，
真，则解得：，
∵为真，则真且真，∴，∴，
故的取值范围为；
（2）∵真，有，
又是的必要不充分条件，则是的必要不充分条件，
所以Ü，
故，
解得：，
经检验，当或都满足题意.
∴的取值范围是.
【点睛】本题主要考查根据命题的真假，充分必要条件求参数的取值范围，考查转化与化归的思想.
18. 年底，湖北省武汉市等多个地区陆续出现感染新型冠状病毒肺炎的患者，为及时有效地对疫情数据进行流行病学统计分析，某地研究机构针对该地实际情况，根据该地患者是否有武汉旅行史与是否有确诊病例接触史，将新冠肺炎患者分为四类：有武汉旅行史（无接触史），无武汉旅行史（无接触史），有武汉旅行史（有接触史）和无武汉旅行史（有接触史），统计得到以下相关数据：

有接触史
无接触史
总计
有武汉旅行史

无武汉旅行史

总计

（1）请将上面列联表填写完整，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为有武汉旅行史与有确诊病例接触史有关系？
（2）已知在无武汉旅行史的名患者中，有名无症状感染者.现在从无武汉旅行史的名患者中，选出名进行病例研究，求人中至少有名是无症状感染者的概率.
下面的临界值表供参考：

参考公式：，其中.
【答案】（1）答案见解析，能；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据列联表中的数据完善列联表，并计算出的观测值，结合临界值表可得出结论；
（2）设名患者中名无症状感染者记为、，其余名记为、、、，列举出所有的基本事件，并列举出事件“所选人中至少有名是无症状感染者”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】（1）列联表补充如下：

有接触史
无接触史
总计
有武汉旅行史

无武汉旅行史

总计

的观测值为，
所以能在犯错误的概率不超过的前提下，认为有武汉旅行史与有确诊病例接触史有关系；
（2）设名患者中名无症状感染者记为、，其余名记为、、、，
从人中任取人的所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共种，
其中，事件“所选人中至少有名是无症状感染者”所包含的基本事件有：、、、、、、、、，共种，
因此，所求事件的概率为.
【点睛】本题考查独立性检验基本思想解决实际问题，同时也考查了利用古典概型的概率公式计算事件的概率，考查学生的数据处理能力与计算能力，属于基础题.
19. 若函数，当时，函数有极值.
（1）求函数的极大值；
（2）若关于的方程有三个零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先对函数进行求导，然后根据可求出的值，进而确定函数的解析式，然后求导，令导函数等于0求出的值，然后根据函数的单调性与其导函数的正负之间的关系确定单调性，进而确定函数的大值；
（2）由（1）得到函数的单调区间进而确定函数的大致图象，然后根据数形结合确定的范围．
【详解】解：（1），
由题意知，解得.
故所求的解析式为
可得，
令，得或，
由此可得

0

0

极大值

极小值

所以当时，有极大值.
（2）由（1）知，得到当或时，为增函数；
当时，为减函数，
∴函数的图象大致如图，

由图可知当时，与有三个交点，
所以实数的取值范围为.
【点评】本题主要考查导数在函数的单调性、极值中的应用，属于中档题.
20. 已知椭圆的短轴长为4，离心率为，斜率不为0的直线与椭圆相交于，两点（，异于椭圆的顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线是否过定点，如果过定点，求出该定点的坐标；如果不过定点，请说明理由.
【答案】（1）；（2）过定点，.
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆的简单几何性质可知，，再结合即可求出；
（2）依题设直线：，，，联立直线和椭圆方程求出，，再根据以为直径的圆过椭圆的右顶点可得，代入化简可得，求出，即可知直线过定点．
【详解】（1）由题可知，，而，解得．
所以椭圆的标准方程为.
（2）由题设直线：，，，，
联立直线方程与椭圆方程得：，
，，，
因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，
所以，将，代入化简可得，，解得或.
当时，直线与椭圆的一个交点为右顶点，与题意不符，舍去．
∴，即直线过定点.
【点睛】本题主要考查利用椭圆的简单几何性质求椭圆方程，直线与椭圆的位置关系的应用，圆的几何性质的应用以及椭圆中的直线过定点问题的解法应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．
21. 已知函数，过点.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由，求得，得到，利用导数的几何意义，即可求解；
（2）由（1）可得求得在上是增函数，得到，利用叠加法，即可得到结论.
【详解】（1）由题意，函数的定义域，
因为，即，解得，所以，
则，则，即切线的斜率为，
所以切线的方程为，即.
（2）由（1）可知函数，则，
所以在上是增函数，所以时，，
即时，，可得，
所以，，…，，
因为，
所以，
即.
【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解切线的方程，以及利用导数证明不等式，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，通常利用导数研究函数的单调性，结合函数的极值与最值，进行求解.
（二）选考题（共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一题计分）
22. 以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，点的极坐标为，若直线过点，且倾斜角为，圆以为圆心，3为半径.
（1）求直线的参数方程和圆的极坐标方程；
（2）设直线与圆相交于、两点，求.
【答案】（1）直线的参数方程为（为参数），圆的极坐标方程为；（2）7．
【解析】
试题分析：
(1)利用直线所过顶点和倾斜角可得参数方程为(为参数)，利用圆的特征可得圆的极坐标方程是；
(2)联立直线的参数方程与圆的普通方程，结合参数的几何意义可得.
试题解析：
(1)直线的参数方程为(为参数)，
圆的极坐标方程为.
(2)把代入，得，
∴，设点对应的参数分别为，
则，，∴.
23. 已知函数，不等式的解集为．
（1）求实数的值；
（2）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
分析：（1）去掉绝对值，求出x的范围，根据不等式的解集，得到对应关系，求出a的值即可；
（2）根据绝对值的性质求出f（x）+f（x+5）的最小值，得到关于m的不等式，解出即可．
详解：
（1）由，得，∴，
又的解集为．解得：；
（2）．
又对一切实数x恒成立，
点睛：本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值三角不等式的性质，是一道中档题．