四川省泸县第五中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题-理.doc

四川省泸县第五中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题 理

四川省泸县第五中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题 理

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四川省泸县第五中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
分别解一元一次不等式、一元二次不等式求得集合，然后求得，进而求得.
【详解】由题意得，或，则，
所以.
故选：C
【点睛】本小题考查不等式的解法，集合补集和交集的基本运算等基础知识；考查运算求解能力，集合思想.
2.复数（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
，故选A
3.椭圆的焦距为 （ ）
A. 5 B. 3 C. 4 D. 8
【答案】D
【解析】
因为根据的方程可知，a=5,b=3,c=4,故焦距为2c=8，选 D
4.已知为等差数列，若，，则( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 6
【答案】B
【解析】
分析】
利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出．
【详解】∵{an}为等差数列，,
∴，
解得＝﹣10，d＝3，
∴＝+4d＝﹣10+12＝2．
故选B．
【点睛】本题考查等差数列通项公式求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.甲、乙两名运动员分别进行了5次射击训练，成绩如下：
甲：7，7，8，8，10；
乙：8，9，9，9，10．
若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用，表示，方差分别用，表示，则（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】
分别计算出他们的平均数和方差，比较即得解.
【详解】由题意可得，
，
，
．
故，．
故选D
【点睛】本题主要考查平均数和方差的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
6.随机变量，若，则为（ ）
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6
【答案】B
【解析】
分析：根据正态分布的整体对称性计算即可得结果.
详解：

故选B.
点睛：该题考查的是有关正态分布的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有正态分布曲线的对称性，从而求得结果.
7.“直线与直线平行”是“”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行求出实数的值，再利用充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】若，则，即，解得或.
因此，“直线与直线平行”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
【点睛】考查充分条件、必要条件的判断，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.某人午睡醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，他等待的时间不多于15分钟的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】想听电台整点报时，时间不多于15分钟的概率可理解为:
一条线段长为60，其中听到整点报时的时间不多于15分钟为线段长为15．
则由几何概型，化为线段比得：,故选C.
9.如图程序框图的算法思路源于我因古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序相图，若输入分别为2，6，则输出的a等于（ ）

A. 4 B. 0 C. 2 D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】
由循环结构的特点，先判断再执行，分别计算出当前的、的值，即可得到结论.
【详解】，，满足且不满足，
则变，此时满足且不满足，
则变为，此时不满足，此时.
故选：C.
【点睛】本题考查了程序框图的运算，属于基础题.
10.已知点是抛物线的焦点，点为抛物线上的任意一点，为平面上点，则的最小值为（ ）
A. 3 B. 2 C. 4 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
作垂直准线于点，根据抛物线的定义，得到，当三点共线时，的值最小，进而可得出结果.
【详解】如图，作垂直准线于点，由题意可得，
显然，当三点共线时，的值最小；
因为，，准线，
所以当三点共线时，，所以.
故选A

【点睛】本题主要考查抛物线上任一点到两定点距离的和的最值问题，熟记抛物线的定义与性质即可，属于常考题型.
11.已知函数，若函数在上为增函数，则正实数a的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求f（x）的导数f′（x），利用f′（x）判定f（x）的单调性，求出f（x）的单调增区间，即得正实数a的取值范围．
详解】∵f（x）lnx（a＞0），
∴f′（x）（x＞0），
令f′（x）＝0，得x，
∴函数f（x）在（0，]上f′（x）≤0，在[，+∞）上f′（x）≥0，
∴f（x）在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数；
∵函数f（x）在区间[1，+∞）内是增函数，
∴1，又a＞0，∴a≥1，
∴实数a的取值范围是[1，+∞）；
故选B．
【点睛】本题考查了利用导数来研究函数的单调性问题，解题时应根据导数的正负来判定函数的单调性，利用函数的单调区间来解答问题，是中档题．
12.已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：设是椭圆的左焦点，由于直线过原点，因此两点关于原点对称，从而是平行四边形，所以，即，，设，则，所以，，即，又，所以，．故选A．
考点：椭圆的几何性质．
【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得关系或范围，解题的关键是利用对称性得出就是，从而得，于是只有由点到直线的距离得出的范围，就得出的取值范围，从而得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义．

第II卷非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.命题“若，则”的逆命题是_____．
【答案】若，则.
【解析】
【分析】
根据原命题与逆命题之间的关系可得出结论.
【详解】由题意可知，命题“若，则”的逆命题是“若，则”.
故答案为：若，则.
【点睛】本题考查原命题的逆命题的改写，考查四种命题等基础知识，是基础题．
14.的展开式中的系数是 .（用数字填写答案）
【答案】
【解析】
由题意，二项式展开的通项，令，得，则的系数是.
考点：1.二项式定理的展开式应用.

15.某单位在名男职工和名女职工中，选取人参加一项活动，要求男女职工都有，则不同的选取方法总数为______.
【答案】.
【解析】
【分析】
在没有任何限制的条件下，减去全是女职工的选法种数可得出结果.
【详解】由题意可知，全是女职工的选法种数为，
因此，男女职工都有的选法种数为，故答案为.
【点睛】本题考查组合问题，利用间接法求解能简化分类讨论，考查计算能力，属于中等题.
16.若存在两个正实数x，y使等式成立，（其中）则实数m的取值范围是________.
【答案】
【解析】
， ，设 ，设 ，那么 ， 恒成立，所以是单调递减函数，当时， ，当时， ，函数单调递增，当 ， ，函数单调递减，所以 在时，取得最大值， ，即 ，解得： 或 ，写出区间为 ，故填： .
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.已知函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）求在上的最大值．
【答案】（1），；（2）13
【解析】
【分析】
(1)依题意，由，得到，再由，得到，联立方程组，即可求解；
(2)由(1)，求得，利用导数求得函数的单调性与极值，即可求得函数的最大值，得到答案．
【详解】(1)依题意可知点为切点，代入切线方程可得，，
所以，即，
又由，则，
而由切线的斜率可知，∴，即，
由，解得，
∴，．
(2)由(1)知，则，
令，得或，
当变化时，，的变化情况如下表：

－3

－2

1

＋
0
－
0
＋

8
↗
极大值
↘
极小值
↗
4

∴的极大值为，极小值为，
又，，所以函数在上的最大值为13．
【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，以及利用导数求解函数的单调性与最值问题，其中解答中熟记导函数与原函数的单调性与极值（最值）之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
18.为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩、物理成绩进行分析．下面是该生7次考试的成绩．
数学
88
83
117
92
108
100
112
物理
94
91
108
96
104
101
106

（1）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；
（2）已知该生的物理成绩与数学成绩是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议．
参考公式：方差公式：，其中为样本平均数.，．
【答案】（1）物理成绩更稳定.证明见解析；（2）130分，建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高
【解析】
【分析】
（1）分别算出物理成绩和数学成绩的方差；
（2）利用最小二乘法，求出关于的回归方程，再用代入回归方程，求得.
【详解】（1），，
∴，∴，从而，
∴物理成绩更稳定.
（2）由于与之间具有线性相关关系，
根据回归系数公式得到，，
∴线性回归方程为，
当时，.
建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高
【点睛】本题考查统计中的方差、回归直线方程等知识，考查基本的数据处理能力，要求计算要细心，防止计算出错.
19.在等腰梯形中，，，，，将梯形沿着翻折至（如图），使得平面与平面垂直.

（1）求与所成的角的大小；
（2）求二面角大小的正弦值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）在平面中证明，再根据面面垂直的性质可得平面，故而；
（2）以为原点建立坐标系，利用向量法求出所求二面角．
【详解】解：（1）在等腰梯形中过作垂线交于，由，，
则，，，
所以，所以，
又因为平面与平面垂直，平面平面，平面.
所以平面，所以，
与所成的角为.

（2）建立如图空间直角坐标系.
，，，，，
所以，，，，
设平面的法向量为，
则有，取，
设平面的一个法向量为，
则有，取，
∴，
∴二面角大小的正弦值为.
【点睛】本题考查了线面垂直的判定与性质，二面角的计算与空间向量的应用，属于中档题．
20.在平面直角坐标系中，以坐标原点为中心，以坐标轴为对称轴的帮圆C经过点M（2，1），N.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）经过点M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆C相交于异于M点的A，B两点，当△AMB面积取得最大值时，求直线AB的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】
（1）设椭圆C的方程为（，，）.
根据椭圆过两点，代入得到方程组，解得.
（2）由直线AM，BM，AB的斜率存在，故.设它们的斜率分别为，，k.
设，，直线AB的方程为.联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由.即. 即可解得，或.分别代入检验，再用弦长公式及点到直线的距离公式，表示出三角形的面积，利用基本不等式求最值.
【详解】解：（1）设椭圆C的方程为（，，）.
∵点和N在椭圆C上，
∴.解得.
∴椭圆C的标准方程为.
（2）∵点A，B为椭圆上异于M的两点，且直线AM，BM的倾斜角互补，
∴直线AM，BM，AB的斜率存在.设它们的斜率分别为，，k.
设，，直线AB的方程为.
∴.
∴.
由，消去y，得.
由，得.
∴，.
∴.
∴.
∴.
∴，或.
∵点A，B为椭圆上异于M的两点，
∴当时，直线AB的方程为，不合题意，舍去.
∴直线AB的斜率为.
∵，点M到直线AB的距离为，
∴的面积为.
当且仅当时，的面积取得最大值，此时.
∵，满足.
∴直线AB的方程为或.
【点睛】本题考查椭圆的标准方程的计算，直线与椭圆的综合应用，属于中档题.
21.已知函数（为自然对数的底数）.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，恒成立，求整数的最大值.
【答案】(1)见解析；(2) 的最大值为1.
【解析】
【分析】
（1）根据的不同范围，判断导函数的符号，从而得到的单调性；（2）方法一：构造新函数，通过讨论的范围，判断单调性，从而确定结果；方法二：利用分离变量法，把问题变为，求解函数最小值得到结果.
【详解】（1）
当时， 在上递增；
当时，令，解得：
在上递减，在上递增；
当时， 在上递减
（2）由题意得：
即对于恒成立
方法一、令，则
当时， 在上递增，且，符合题意；
当时， 时，单调递增
则存在，使得，且在上递减，在上递增

由得：
又 整数的最大值为
另一方面，时，，
，
时成立
方法二、原不等式等价于：恒成立
令
令，则
在上递增，又，
存在，使得
且在上递减，在上递增

又，

又，整数的最大值为
【点睛】本题主要考查导数在函数单调性中的应用，以及导数当中的恒成立问题.处理恒成立问题一方面可以构造新函数，通过研究新函数的单调性，求解出范围；另一方面也可以采用分离变量的方式，得到参数与新函数的大小关系，最终确定结果.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）.在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线：.
（1）当时，求与的交点的极坐标；
（2）直线与曲线交于，两点，线段中点为，求的值.
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】
（1）依题意可知，直线的极坐标方程为（），再对分三种情况考虑；
（2）利用直线参数方程参数的几何意义，求弦长即可得到答案.
【详解】（1）依题意可知，直线的极坐标方程为（），
当时，联立解得交点，
当时，经检验满足两方程，（易漏解之处忽略的情况）
当时，无交点；
综上，曲线与直线的点极坐标为，，
（2）把直线参数方程代入曲线，得，
可知，，
所以.
【点睛】本题考查直线与曲线交点的极坐标、利用参数方程参数的几何意义求弦长，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
23.已知函数．
当时，求不等式的解集；
，，求a的取值范围．
【答案】（1）； （2）.
【解析】
【详解】（1）当时，，
①当时，，
令，即，解得，
②当时，，显然成立，所以，
③当时，，
令，即，解得，
综上所述，不等式的解集为．
（2）因为，
因为，有成立，
所以只需，
解得，
所以a的取值范围为．
【点睛】绝对值不等式的解法：
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数图象求解，体现了函数与方程的思想．