四川省内江市威远中学2019-2020学年高一数学下学期第一次月考试题-文.doc

四川省内江市威远中学2019-2020学年高一数学下学期第一次月考试题 文

四川省内江市威远中学2019-2020学年高一数学下学期第一次月考试题 文

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四川省内江市威远中学2019-2020学年高一数学下学期第一次月考试题 文（含解析）
一、选择题（每题5分，共60分）
1.的值为（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
观察角度并变形，利用两角和与并公式计算.
【详解】.
故选：A
【点睛】考查了诱导公式和两角和与差公式的逆用，属于容易题.
2.下面说法正确的是（ ）
A. 平面内的单位向量是唯一的
B. 所有单位向量的终点的集合为一个单位圆
C. 所有的单位向量都是共线的
D. 所有单位向量的模相等
【答案】D
【解析】
【分析】
利用单位向量的概念：模为1的向量为单位向量，逐一分析判断.
【详解】对A：单位向量有无数个，错误；
对B：单位向量的起点不一定在同一点，终点的集合不一定是一个单位圆，错误；
对C：单位向量的方向不一定相同或相反，故C错误；
对D:由单位向量的定义，正确.
故选：D
【点睛】本题考查了对单位向量概念的理解，属于容易题.
3.在中，是的中点，则( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用向量的加减运算和中线向量的表示，计算可得所求向量.
【详解】在中，为边上的中线，为的中点，
所以
，
故选D.
【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加减运算法则，以及向量共线时的表示方法，再有就是中线向量的表示，属于简单题目.
4.(1＋tan 18°)·(1＋tan 27°)的值是(　　)
A. B. 1＋ C. 2 D. 2(tan 18°＋tan 27°)
【答案】C
【解析】
,故选C
5.已知，，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
观察角度之间的联系得，再用两角差的正弦公式计算.
【详解】由，又，则，则,
则.
故选：C
【点睛】本题考查了角变换技巧和两角和与差公式，属于容易题.
6.已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将问题中的角看作未知角，条件中的角看作已知角，由未知角与已知角的关系，可以用已知角表示未知角，然后通过利用诱导公式以及二倍角公式即可求解未知角的正弦值.
【详解】因为，
又因为，所以，则有

故选A.
【点睛】本题考查了三角函数值的求解问题，属于给值求值类型，常常利用角的关系对问题进行等价转化，再运用相关的诱导公式、两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式进行求解，属于基础题.
7.若，则=（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
将所求的关系式的分母“1”化为（cos2α+sin2α），再将“弦”化“切”即可得到答案．
【详解】tanα，
∴cos2α+2sin2α

．
故选C．
【点睛】本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题．
8.下列各式中，不正确的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】
对选项分别运用两角和差公式，角变换技巧,辅助角公式，降次公式等变形判断正误.
【详解】对A：由，得，A正确；
对B：
，B正确
对C： ，C错误.
对D:

，D正确
故选：C
【点睛】本题综合考查了两角和差公式，角变换技巧,辅助角公式，降次公式等的应用.
9.若点M是的重心，则下列各向量中与共线的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
，，由M是的重心可得，，即可选出答案.
详解】，不与共线
，不与共线
因为点M是的重心，所以，，
所以，与共线
，不与共线
故选：B
【点睛】若点是的重心，则有
10.已知是所在平面内一点，且满足，则为
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】
由向量的减法法则，将题中等式化简得，进而得到，由此可得以为邻边的平行四边形为矩形，得的形状是直角三角形。
【详解】
因为，，
因为，所以，
因为，所以，
由此可得以为邻边的平行四边形为矩形，所以，得的形状是直角三角形。
【点睛】本题给出向量等式，判断三角形的形状，着重考查平面向量的加法、减法法则和三角形的形状判断等知识。
11.如图在△ABC所在平面上有一点P，满足＋＋＝，则△PAB与△ABC的面积之比是(　　)

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：∵＋＋＝，
∴＋＋-=，
即＋＋+=
∴＋+=，
2+=，
∴点P在线段AC上，
且|AC|=3|PA|
那么△PAB的面积与△ABC的面积之比是．
故选 A．
12.如图所示，两个不共线向量的夹角为，分别为与的中点，点在直线上，且，则的最小值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意，设，则＝＝，所以，所以，则当时，取得最小值，故选B．
考点：1、平面向量的加减运算；2、向量共线．
二、填空题(每题5分，共20分)
13.若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】
先由二倍角公式将化为，再根据同角三角函数基本关系即可求出结果.
【详解】因为，所以.
点睛】本题主要考查二倍角公式以及同角三角函数基本关系，熟记公式即可求解，属于基础题型.
14. 的值__________.
【答案】1
【解析】
【分析】
由，结合辅助角公式可知原式为，结合诱导公式以及二倍角公式可求值.
【详解】解：

.
故答案为:1.
【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式，考查了辅助角公式，考查了诱导公式.本题的难点是熟练运用公式对所求式子进行变形整理.
15.定义运算，若，，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题干定义得到，利用同角三角函数关系得到：，，代入式子：得到结果.
【详解】根据题干得到

，，
，，代入上式得到结果为：

故答案为.
【点睛】本题主要考查了两角差的正弦公式的应用，以及同角三角函数关系的应用，特殊角的三角函数值的应用，难度中等.
16.已知等边的边长为2，若，，则的面积为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
建立直角坐标系，求出的坐标，得出的大小，设的夹角为，则可以求出点到直线的长度为，从而得出的面积.
【详解】解：以的中点为原点，所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，

则
因为,
所以，
故，
，
设的夹角为，
，
所以，，
点到直线的长度为，
的面积为.
【点睛】本题考查了向量的数量积、向量在平面几何中的应用，向量数量积问题常见的解题方法为坐标法、基底法等等.
三、解答题（总70分）
17.已知为锐角，
（1）求的值
（2）求的值
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由α为锐角，，由同角关系可得和，再根据正切的二倍角公式即可求出的值；
（2）由于 ，利用两角差的正切公式即可求出，再根据同三角函数的基本关系可得 ，最后利用两角差的正弦公式即可求出结果.
【详解】（1）由α为锐角，，得.
所以
所以
（2）
由题意及同三角函数的基本关系可得
所以.
【点评】本题主要考查了三角函数同角的基本关系，以及两角差的正弦和正切公式，以及正切的二倍角公式，属于基础题.
18.设两个非零向量与不共线
（1）若，，，求证：三点共线.
（2）试确定实数k，使和反向共线.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）运用向量共线定理，证得与共线，即可得证；
（2）由题意可得存在实数，使，展开后，运用方程思想，即可得到所求值．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴.
∴、共线，
又∵它们有公共点，∴、、三点共线
（2）∵与反向共线，∴存在实数，使
即，
∴
∵，是不共线的两个非零向量，
∴，
∴，∴，
∵，∴
【点睛】本题考查向量共线定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
19.已知函数图象的一部分如图所示.

（1）求函数的解析式；
（2）设，求的值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由图象可得，由周期公式可求，从而可求函数的解析式；
（2）由，可求，又由，可求，结合角的范围可求，由两角差的正弦函数公式即可得解．
【详解】（1）由图象可知，

（2）， 
又.

.
【点睛】本题主要考查了由的部分图象确定其解析式，两角差的正弦函数公式，同角三角函数关系式的应用，属于基本知识的考查．
20.已知函数
（1）求函数的单调递减区间和对称轴及对称中心；
（2）将函数的图像向左平移个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，求在上的值域.
【答案】（1）. （2）
【解析】
【分析】
（1）利用二倍角的三角函数公式化简得，再由正弦函数单调区间的公式解关于x的不等式，即可得出的单调递减区间． （2）根据函数图象平移的公式，算出，再由利用正弦函数的图象与性质，即可算出在上的值域．
【详解】（1）.∵，
由，解出，
所以的减区间为.
令所以对称中心
（2）.因为将左移得到横坐标缩短为原来的，得到
∵，
，所以所求值域为.
【点睛】本题给出三角函数 的表达式，求它的单调递减区间与函数在闭区间上的值域．着重考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质、函数值域的求法等知识，属于中档题．
21.如图所示，在中，，，与相交于点.

（1）用，表示，；
（2）若，证明：，，三点共线.
【答案】（1）,；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）首先根据题中所给的条件，可以求得，从而有，将代入，整理求得结果，同理求得；
（2）根据条件整理得到，从而得到与共线，即，，三点共线，证得结果.
【详解】（1）解：因为，所以 ，
所以 .
因为，所以，所以.
（2）证明：因为，所以 .
因为 ，所以，即与共线.
因为与的有公共点，所以，，三点共线.
【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有平面向量基本定理，利用向量共线证得三点共线，属于简单题目.
22.如图， 是一块半径为 ，圆心角为的扇形空地.现决定在此空地上修建一个矩形的花坛 ，其中动点 在扇形的弧上，记 .

(1)写出矩形 的面积 与角 之间的函数关系式；
(2)当角 取何值时，矩形 的面积最大？并求出这个最大面积.
【答案】（1） （2）时，S取得最大值
【解析】
【分析】
先把矩形的各个边长用角表示出来，进而表示出矩形的面积，即可得到答案
化简函数，利用角的范围，结合正弦函数的性质可求矩形面积的最大值
【详解】（Ⅰ）因为
，，
所以 ，
（Ⅱ）

因为，所以
所以当，即时，矩形CDEF的面积S取得最大值
【点睛】本题主要考查运用三角函数解答矩形面积，关键是用含有的表达式来表示出矩形的长和宽，在表示过程中运用三角函数解三角形，在求最值时将其转化为用辅助角化简题，然后求解，此类题目解答的方法还是需要掌握．