山西省运城市新绛县第二中学2021届高三数学1月联考试题-理.doc

山西省运城市新绛县第二中学2021届高三数学1月联考试题 理

山西省运城市新绛县第二中学2021届高三数学1月联考试题 理

年级：
姓名：

16

山西省运城市新绛县第二中学2021届高三数学1月联考试题 理
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区堿内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本试卷主要命题范围：高考范围．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．某校拟从1200名高一新生中采用系统抽样的方式抽取48人参加市“抗疫表彰大会”，如果编号为237的同学参加该表彰大会，那么下列编号中不能被抽到的是（ ）
A．1087 B．937 C．387 D．327
5．若单位向量满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
6．摩索拉斯陵墓位于哈利卡纳素斯，在土耳其的西南方，陵墓由下至上分别是墩座墙、柱子构成的拱廊、四棱锥金字塔以及由四匹马拉着的一架古代战车的雕像，总高度45米，其中墩座墙和柱子围成长、宽、高分别是40米、30米、32米的长方体，长方体的上底面与四棱锥的底面重合，顶点在底面的射影是长方形对角线交点，最顶部的马车雕像高6米，则陵墓的高与金字塔的侧棱长之比大约为（注：）（ ）

A．2.77 B．2.43 C．1.73 D．1.35
7．若，则（ ）
A． B． C． D．
8．函数在区间上的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
9．在面积为的中，角的对边分别为，若，则（ ）
A．1 B． C．2 D．3
10．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
11．点为抛物线的焦点，横坐标为的点为抛物线上一点，过点且与抛物线相切的直线与轴相交于点，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知实数满足约束条件则的最小值为________．
14．已知，则_____．
15．已知双曲线的右焦点为为双曲线的右顶点，过点作轴的垂线，与双曲线交于，若直线的斜率是双曲线的一条渐近线斜率的倍，则双曲线的离心率为_________．
16．在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面底面，且，当的面积最大时，四棱锥的高为_______，四棱锥外接球的表面积为________．（本小题第一空2分，第二空3分）
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（本小题满分12分）
已知数列满足，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
18．（本小题满分12分）
如图1中，多边形为平面图形，其中，将沿边折起，得到如图2所示四棱锥，其中点与点重合．

（1）当时，求证：平面；
（2）当二面角为135°时，求平面与平面所成二面角的正弦值．
19．（本小题满分12分）
某校为了调硏学情，在期末考试后，从全校高一学生中随机选取了20名男学生和20名女学生，调查分析学生的物理成绩．为易于统计分析，将20名男学生和20名女学生的物理成绩，分成如下四组：，并分别绘制了如下图所示的频率分布直方图：

规定：物理成绩不低于80分的为优秀，否则为不优秀．
（1）根据这次抽查的数据，填写下列的列联表；

优秀
不优秀
合计
男生

女生

合计

（2）根据（1）中的列联表，试问能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为物理成绩优秀与性别有关？
（3）用样本估计总体，将频率视为概率．在全校高一学生中随机抽取8名男生和8名女生，记“8名男生中恰有名物理成绩优秀”的概率为，“8名女生中恰有名物理成绩优秀”的概率为，试比较与的大小，并说明理由．
附：临界值参考表与参考公式

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（，其中）
20．（本小题满分12分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，过且垂直于轴的直线与交于两点，且的坐标为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过作与直线不重合的直线与相交于两点，若直线和直线相交于点，求证：点在定直线上．
21．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，求证：．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，建立极坐标系．
（1）求直线和曲线的极坐标方程；
（2）已知是曲线上一点，是直线上位于极轴所在直线上方的一点，若，求面积的最大值．
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设，且．
（1）求证：；
（2）用表示的最大值，求的最小值．
高三理科数学参考答案、提示及评分细则
1．A ，所以复数在复平面内对应的点位于第一象限．故选A．
2．B 由，得，所以．故选B．
3．A 由，得；由，得．故选A．
4．D 依据题意，抽样间隔为25，又237除以25的余数为12，故所抽取的编号为，所以327不符合．故选D．
5．B 由，得，所以，所以，又，所以．故选B．
6．C 根据长、宽分别是40米、30米得金字塔的底面对角线长50米，可算出四棱锥高7米，所以侧棱长为，则陵墓的高与金字塔的侧棱长之比大约为．故选C．
7．C ，有．故选C．
8．A 由，可知为偶函数，又由当时，．故选A．
9．B 由三角形的面积公式，得，即，由余弦定理，得，所以．故选B．
10．A 由题意有，两式作差得，有，又，所以，又，所以，故．故选A．
11．C 由抛物线的对称性，不妨设点位于第一象限，可得点的坐标为，设直线的方程为，联立方程消去后整理为，有，有，解得，可得直线的方程为，令，得，直线与轴的交点的坐标为，所以，又，所以，所以，所以．故选C．
12．D 由，得，令，则问题可以转化为：对任意恒成立，即函数在上单调递增，因为，所以转化为在上恒成立，因为，所以在上恒成立，即转化为令，则，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以．故选D．
13． 画出可行域（如图阴影部分），当直线过点时，取得最小值，的最小值为．

14． 对两边分别求导，得，令，得．
15．2 设焦点的坐标为，双曲线的离心率为，不妨设点位于第一象限，可求得点的坐标为，点的坐标为，直线的斜率为，又由，有，整理为，解得或（舍）．
16． 点在以弦，所对的圆周角为60°的优弧上运动，作为垂足，由侧面底面，得底面．当为的中点时，为等边三角形，此时的面积最大，且，即四棱锥的高为．设等边的中心为，正方形的中心为，过、分别作平面、平面的垂线，且交于点，则为四棱锥外接球的球心，显然，于是四棱锥外接球的表面积为．
17．解：（1）因为，所以，又， 3分
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列． 4分
所以，得，
即数列的通项公式为． 6分
（2）由（1），得， 9分
则． 12分
18．（1）证明：由，易求，所以，所以． 2分
因为，所以，所以．
又平面，
所以平面． 5分
（2）解：取的中点，过点在平面内作的垂线交于，以直线作为轴，直线为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，则． 6分
因为为的中点，所以，又，所以．
在中，，所以，所以，
所以． 8分
设平面的法向量为，
由，有解得令，得； 9分
设平面的法向量为，
由，有解得令，
得， 10分
所以，
故平面与平面所成二面角的正弦值为． 12分

19．解：（1）列出列联表，如下：

优秀
不优秀
合计
男生
15
5
20
女生
5
15
20
合计
20
20
40
3分
（2），
所以能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为物理成绩优秀与性别有关． 6分
（3）根据频率分布直方图，可得男生物理成绩优秀的概率为，
女生物理成绩优秀的概率为． 7分
设“8名男生中物理成绩优秀”的人数为随机变量，“8名女生中物理成绩优秀”的人数为随机变量，根据题意，得， 8分
则， 10分
当时，，于是；
当时，，于是；
当时，，于是． 12分
20．（1）解：由题意，得，且， 1分
则，即， 2分
所以， 3分
故椭圆的方程为． 4分
（2）证明：由（1）及的对称性，得点的坐标为， 5分
设直线的方程为，点的坐标分别为，
联立方程消去后整理为，
所以． 6分
直线的斜率为，
直线的方程为，
直线的斜率为，
直线的方程为， 8分
将直线和直线方程作差消去后整理为，
可得， 9分
而由，
可得，解得，即直线和的交点的横坐标恒为4， 11分
所以点在定直线上． 12分
21．（1）解：的定义域为． 1分
令，方程的判别式，
（i）当，即时，恒成立，即对任意，所以在上单调递增． 2分
（ii）当，即或．
①当时，恒成立，即对任意，所以在上单调递增． 3分
②当时，由，解得．所以当时，；当时，；当时，，所以在上，，在上，，所以函数在和上单调递增；在上单调递减． 6分
综上，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减． 7分
（2）证明：由，得，所以， 8分
因为，所以，令，则，
所以，
所以． 10分
所以要证，只要证，即证． 11分
由（1）可知，当时，所以在上是增函数，
所以，当时，，即成立，
所以成立． 12分
22．解：（1）由的参数方程得的普通方程为，所以的倾斜角为，所以直线的极坐标方程为； 2分
由曲线的参数方程得的普通方程为，又所以曲线的极坐标方程为． 4分
（2）由，则的极坐标为．
设，
则

． 8分
当，即时，． 10分
23．（1）证明：因为（当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立），
所以，
由，得（当且仅当时等号成立）． 5分
（2）解：设，则，
从而，即． 8分
当且仅当，即时，
． 10分