2021-2022学年高中数学-模块综合测评新人教A版必修第一册.doc

2021-2022学年高中数学 模块综合测评新人教A版必修第一册

2021-2022学年高中数学 模块综合测评新人教A版必修第一册

年级：
姓名：

模块综合测评
(满分：150分　时间：120分钟)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x<－1或x>3}，则A∩B＝(　　)
A．{x|－2<x<－1}　　 B．{x|－2<x<3}
C．{x|－1<x<1} D．{x|1<x<3}
A　[在数轴上表示出集合A，B，如图所示．

由图知A∩B＝{x|－2<x<－1}．]
2．函数f(x)＝在区间[2,3]上的最大值为(　　)
A． B．1
C．2 D．
D　[∵f(x)＝＝1－在区间[2,3]上单调递增，
∴函数f(x)＝在区间[2,3]上的最大值为f(3)＝＝，故选D.]
3．已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sin α＝sin β”的
(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
C　[当k＝2n为偶数时，α＝2nπ＋β，
此时sin α＝sin(2nπ＋β)＝sin β，
当k＝2n＋1为奇数时，α＝2nπ＋π－β，此时sin α＝sin(π－β)＝sin β，即充分性成立，
当sin α＝sin β，则α＝2nπ＋β，n∈Z或α＝2nπ＋π－β，n∈Z，即α＝kπ＋(－1)kβ，即必要性成立，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sin α＝sin β”的充要条件，故选C.]
4．已知x，y∈R，则x>y>0，则(　　)
A.－>0 B．sin x－sin y>0
C.x－y<0 D．ln x＋ln y>0
C　[∵x，y∈R，且x>y>0，则<，sin x与sin y的大小关系不确定，x<
y，即x－y<0，ln x＋ln y与0的大小关系不确定．故选C.]
5．函数y＝ln cos x的图象是(　　)
A. B.
C. D.
A　[由偶函数排除B、D，∵0<cos x≤1，∴y≤0，∴排除C.故选A.]
6．已知α为锐角，且cos＝，则cos 2α＝(　　)
A． B．
C．－ D．±
A　[∵0<α<，cos＝，
∴<α＋<，∴sin＝，
∴sin α＝sin＝sincos－cossin＝×－×＝.
∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.故选A.]
7．已知函数y＝ax－2＋2(a>0，a≠1)的图象恒过定点(m，n)，且函数y＝log2(mx2＋bx＋n)在区间(－∞，1]上单调递减，则实数b的取值范围为(　　)
A．[－5，－4) B．(－5，－4]
C．(－∞，－4) D．(－∞，－4]
B　[∵函数y＝ax－2＋2(a>0，a≠1)的图象恒过定点(2,3)，∴m＝2，n＝3，∴y＝log2(2x2＋bx＋3)．
又y＝log2(2x2＋bx＋3)在区间(－∞，1]上单调递减，
∴，∴－5<b≤－4，故选B.]
8．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln 19≈3)(　　)
A．60　 B．63　　　
C．66　 D．69
C　[由题意可知，当I(t*)＝0.95K时，＝0.95K，即＝1＋
e－0.23(t*－53)，e－0.23(t*－53)＝，e0.23(t*－53)＝19，∴0.23(t*－53)＝ln 19≈3，∴t*≈66.故选C.]
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，则下列结论正确的是(　　)
A．a>0 B．b>0
C．c>0 D．a＋b＋c>0
BCD　[因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，故相应的二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，所以a<0，故A错误；
易知2和－是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则有＝－1<0，－＝>0，又a<0，故b>0，c>0，故BC正确；
由二次函数的图象(图略)可知f(1)＝a＋b＋c>0，故D正确．故选BCD.]
10．对于函数f(x)＝ax3＋bsin x＋c(a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值去计算f(－1)和f(1)，所得出的正确结果可能是(　　)
A．2和6 B．3和9
C．4和11 D．5和13
ABD　[函数f(x)＝ax3＋bsin x＋c，
所以f(1)＝a＋bsin 1＋c，f(－1)＝－a－bsin 1＋c.所以f(1)＋f(－1)＝2c，因为c∈Z，所以f(1)＋f(－1)为偶数，故四个选项中符合要求的为ABD.故选ABD.]
11．关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|的叙述正确的是(　　)
A．f(x)是偶函数
B．f(x)在区间单调递增
C．f(x)在[－π，π]有4个零点
D．f(x)的最大值为2
AD　[A.∵f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)是偶函数，故正确；
B．当x∈时，f(x)＝sin|x|＋|sin x|＝2sin x，故f(x)在单调递减，故错误；
C．当x∈[0，π]时，令f(x)＝sin|x|＋|sin x|＝2sin x＝0，
得x＝0或x＝π，又f(x)在[－π，π]上为偶函数，∴f(x)＝0在[－π，π]上的根为－π，0，π，有3个零点，故错误；
D．∵sin|x|≤1，|sin x|≤1，当x＝＋2kπ(k∈Z)或x＝－－2kπ(k∈Z)时两等号同时成立，
∴f(x)的最大值为2，故正确．故选AD.]
12．设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则(　　)
A．< B．ab<0
C．a＋b<0 D．ab<a＋b
BCD　[∵a＝log0.20.3＝>0，b＝log20.3＝<0，∴>0>，
a＋b＝－＝＝，
ab＝－·＝，
∵lg >lg ，<0，
∴ab<a＋b<0.故选BCD.]
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．设扇形的周长为6，面积为2，则扇形中心角的弧度数是________．
1或4　[设扇形的半径为R，圆心角为α，则解得α＝1或4.]
14．十九世纪德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就卓著，函数f(x)＝被称为狄利克雷函数．狄利克雷函数是无法画出图象的，但它的图象却客观存在，若点(，y)在其图象上，则y＝________.
0　[∵f(x)＝，又∈∁RQ，∴y＝0.]
15．设ω>0，若函数f(x)＝2sin ωx在上单调递增，则ω的取值范围是________．
(0,1]∪　[令2kπ－≤ωx≤2kπ＋(k∈Z)，
解得－≤x≤＋(k∈Z)，
当k＝0时，－≤x≤，
由题意可得：，即0<ω≤1，
当k＝1时，≤x≤，
由题意可得：，即≤ω≤5.
故答案为(0,1]∪.]
16．设函数f(x)＝的最大值是a，则a＝_______.若对于任意的x∈[0,2)，a>x2－x＋b恒成立，则b的取值范围是_______．(本题第一空2分，第二空3分)
　　[当x≤0时，f(x)≤0；
当x>0时，f(x)＝＝≤＝＝，
当且仅当x＝，即x＝3时取等号，
综上可得，f(x)max＝，即a＝.
由题意知x2－x＋b<在x∈[0,2)上恒成立，
即x2－x＋b－<0在x∈[0,2)上恒成立．
令φ(x)＝x2－x＋b－，x∈[0,2)，
则φ(x)<φ(2)，则4－2＋b－≤0，即b≤－.]
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)计算下列各题：
(1)0.008 1＋2＋()－16－0.75；
(2)(lg 5)2＋lg 2·lg 50＋2.
[解]　(1)0.008 1＋2＋－16－0.75
＝(0.34) ＋2＋2－24×(－0.75)
＝0.3＋2－3＋2－2－2－3
＝0.55.
(2)(lg 5)2＋lg 2·lg 50＋2
＝(lg 5)2＋lg 2·[lg(2×52)]＋2·2
＝(lg 5)2＋lg 2·(lg 2＋2lg 5)＋2
＝(lg 5＋lg 2)2＋2
＝1＋2.
18．(本小题满分12分)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表如下：
ωx＋φ
0

π

2π
x

Asin (ωx＋φ)
0
4
0
－4
0
(1)请根据上表数据写出函数f(x)的解析式，并求出f(0)，f(π)；
(2)若函数f(x)的值域为A，集合C＝{x|m－6≤x≤m＋3}且A∪C＝C，求实数m的取值范围．
[解]　(1)根据表中已知数据，解得A＝4，ω＝2，
即f(x)＝4sin(2x＋φ)，
又由当x＝时，f＝4sin＝4，
解得φ＝－，
函数表达式为f(x)＝4sin.
所以f(0)＝4sin ＝－2，f(π)＝4sin＝4sin ＝－2.
(2)由(1)可得f(x)＝4sin ∈[－4,4]，
所以A＝[－4,4]，
又A∪C＝C，所以A⊆C，所以
解得1≤m≤2.
所以实数m的取值范围是[1,2]．
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝asin－2cos2(a>0)，且满足________．
(1)求函数f(x)的解析式及最小正周期；
(2)若关于x的方程f(x)＝1在区间[0，m]上有两个不同解，求实数m的取值范围．
从①f(x)的最大值为1，②f(x)的图象与直线y＝－3的两个相邻交点的距离等于π，③f(x)的图象过点这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答．
[解]　(1)函数f(x)＝asin－2cos2
＝asin－cos－1
＝asin－sin－1
＝(a＋1)sin－1.
若满足①f(x)的最大值为1，则a＋1＝2，解得a＝1，
所以f(x)＝2sin－1，
f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)令f(x)＝1，得sin＝1，
解得2x－＝＋2kπ，k∈Z，
即x＝＋kπ，k∈Z；
若关于x的方程f(x)＝1在区间[0，m]上有两个不同解，则x＝或.
所以实数m的取值范围是.
若满足②f(x)的图象与直线y＝－3的两个相邻交点的距离等于π，且f(x)的最小正周期为T＝＝π，
所以－(a＋1)－1＝－3，解得a＝1.
以下解法均相同．
若满足③f(x)的图象过点，
则f ＝(a＋1)sin －1＝0，解得a＝1.
以下解法均相同．
20．(本小题满分12分)已知点(，2)在幂函数y＝f(x)的图象上．
(1)求f(x)的表达式；
(2)设g(x)＝f(x)－x－2，求函数y＝g(x)的零点，推出函数y＝g(x)的另外一个性质(只要求写出结果，不要求证明)，并画出函数y＝g(x)的简图．
[解]　(1)因为f(x)为幂函数，所以设f(x)＝xa，
又(，2)在f(x)的图象上，所以()a＝2⇒a＝2，
所以f(x)＝x2.
(2)由(1)知f(x)＝x2，故g(x)＝x2－，
令g(x)＝0，解得x＝1或x＝－1，
故函数y＝g(x)的零点为±1.
g(x)＝x2－，故其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R，又g(－x)＝(－x)2－＝x2－＝g(x)，
故g(x)为偶函数，根据单调性的性质可知g(x)在(0，＋∞)上单调递增，在
(－∞，0)上单调递减；
(以上性质任选其一即可)
函数y＝g(x)的图象如图．

21.(本小题满分12分)如图，在半径为，圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N，M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y.
(1)按下列要求写出函数的关系式：
①设PN＝x，将y表示成x的函数关系式；
②设∠POB＝θ，将y表示成θ的函数关系式；
(2)请你选用(1)中的一个函数关系式，求出y的最大值．
[解]　(1)①因为QM＝PN＝x，所以MN＝ON－OM＝－，
所以y＝MN·PN＝x·－x2.
②当∠POB＝θ时，QM＝PN＝sin θ，则OM＝sin θ，又ON＝cos θ，
所以MN＝ON－OM＝cos θ－sin θ，
所以y＝MN·PN＝3sin θcos θ－sin2 θ.
(2)由②得，y＝sin－，
当θ＝时，y取得最大值为.
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝，
g(x)＝－lg[－f(x)]，设g(x)的定义域为A.
(1)求A；
(2)用定义证明f(x)在A上的单调性，并直接写出g(x)在A上的单调性；
(3)若g(a2－sin x)≤g(a＋1＋cos2x)对一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
[解]　(1)g(x)＝－lg，
要使函数有意义，则>0，
即27－3x>0，∴x<3，
故函数的定义域为(－∞，3)．
(2)f(x)在(－∞，3)上单调递减．
证明如下：设x1<x2<3，
则f(x1)－f(x2)＝
－＝，
又x1<x2<3，
∴3x2－3x1>0,3x1－27<0,3x2－27<0，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(－∞，3)上单调递减，
∴g(x)在(－∞，3)上单调递减．
(3)∵g(a2－sin x)≤g(a＋1＋cos2x)对一切x∈R恒成立，
∴
由a2－sin x<3，可得a2<3＋sin x，
又3＋sin x≥2，
∴a2<2，即－<a<.
由a2－sin x≥a＋1＋cos2x，可得
a2－a≥1＋cos2x＋sin x.
又1＋cos2x＋sin x＝－sin2x＋sin x＋2≤－2＋＋2＝，
∴a2－a≥，解得a≤，或a≥.
又－<a<，
故a的取值范围为.