2021-2022学年高中数学-第2章-点、直线、平面之间的位置关系-2.3.2-平面与平面垂直的判.doc

2021-2022学年高中数学 第2章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.2 平面与平面垂直的判定课时分层作业新人教A版必修2

2021-2022学年高中数学 第2章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.2 平面与平面垂直的判定课时分层作业新人教A版必修2

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课时分层作业(十四)　平面与平面垂直的判定
(建议用时：40分钟)

一、选择题
1．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有(　　)
A．0个　 B．1个
C．无数个 D．1个或无数个
D　[当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个．]
2．下列不能确定两个平面垂直的是(　　)
A．两个平面相交，所成二面角是直二面角
B．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线
C．一个平面经过另一个平面的一条垂线
D．平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b
D　[如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面A1B1CD内的直线A1B1垂直于平面ABCD内的一条直线BC，但平面A1B1CD与平面ABCD显然不垂直．]

3．如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角P­BC­A的大小为(　　)

A．60° B．30°
C．45° D．15°
C　[由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC，又PA∩AC＝C，
∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角P­BC­A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，故选C.]
4．如图所示，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，则图中互相垂直的平面共有(　　)

A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
C　[因为AB⊥平面BCD，且AB⊂平面ABC和AB⊂平面ABD，所以平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD. 因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD. 又因为BC⊥CD，AB∩BC＝B，所以CD⊥平面ABC. 因为CD⊂平面ACD，所以平面ABC⊥平面ACD. 故图中互相垂直的平面有平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面ACD.]
5．从空间一点P向二面角α­l­β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α­l­β的平面角的大小是(　　)
A．60° B．120°
C．60°或120° D．不确定
C　[若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.]
二、填空题
6．已知α，β是两个不同的平面，l是平面α与β之外的直线，给出下列三个论断：①l⊥α，②l∥β，③α⊥β.
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________．(用序号表示)
①②⇒③　[由l∥β可在平面β内作l′∥l，又l⊥α，∴l′⊥α，∵l′⊂β，∴α⊥β，故①②⇒③.]
7．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜线BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则BC＝________．

1　[因为AD⊥BC，所以AD⊥BD，AD⊥CD，
所以∠BDC是二面角B­AD­C的平面角，
因为平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°.
在△BCD中∠BDC＝90°又AB＝AC＝1，所以BD＝CD＝，所以BC＝＝1.]
8．已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β.有下列命题：①若α∥β，则m∥n；②若α∥β，则m∥β；③若α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β；④若α∩β＝l，且m⊥l，m⊥n，则α⊥β.其中真命题的序号是________．
②　[对于①，直线m，n可能异面；易知②正确；对于③，直线m，n同时垂直于公共棱，不能推出两个平面垂直；对于④，当直线n∥l时，不能推出两个平面垂直．]
三、解答题
9．如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD.

求证：平面PDC⊥平面PAD.
[证明]　因为PA⊥平面AC，CD⊂平面AC，
所以PA⊥CD.
因为CD⊥AD，PA∩AD＝A，
所以CD⊥平面PAD.
因为CD⊂平面PDC，
所以平面PDC⊥平面PAD.
10．如图所示，平面角为锐角的二面角α­EF­β，A∈EF，AG⊂α，∠GAE ＝ 45°，若AG与β所成角为30°，求二面角α­EF­β的大小．

[解]　作GH⊥β于H，作HB⊥EF于B，连接GB，

则GB⊥EF，∠GBH是二面角α­EF­β的平面角．
又∠GAH是AG与β所成的角，
设AG＝a，则GB＝a，GH＝a，
sin ∠GBH＝＝.
所以∠GBH ＝ 45°，二面角α­EF­β的大小为45°.

1．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为(　　)
A．相等　　 B．互补
C．相等或互补 D．不确定
D　[反例：如图，

在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是CD，C1D1的中点，二面角D­AA1­E与二面角B1­AB­D的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补，故选D.]
2．如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F分别在AD和BC上，且EF∥AB，若二面角C1­EF­C等于45°，则BF＝________．

1　[由题意知EF⊥BC. ∵CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥EF，又BC∩CC1＝C，∴EF⊥平面CC1F，∴EF⊥C1F. 故∠C1FC为二面角C1­EF­C的平面角，即∠C1FC＝45°，∵AA1＝1，∴CF＝1，又BC＝2，∴BF＝1.]