山西省临汾市第一中学2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题.doc

山西省临汾市第一中学2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题

山西省临汾市第一中学2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题

年级：
姓名：

28

山西省临汾市第一中学2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）
注意事项：
1.本试题考试时间120分钟，满分150分.
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效.
第Ⅰ卷（选择题60分）
一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分.在每小题列出的四个选项中，仅有一个是正确选项）
1. 若集合，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
2. 是的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
4. （ ）
A. B. C. D.
5. 已知角的终边过点，且，则的值为(　 　)
A. B. C. D.
6. 已知函数为自然对数的底数，若，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 函数在的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
8. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则
B. “，”的否定是“，”
C. 函数有两个零点
D. 幂函数在上减函数，则实数
9. 《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男了在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的一只手臂长约为米，整个肩宽约为米.“弓”所在圆的半径约为1.25米.则掷铁饼者双手之向的距离约为（ ）(参考数据：)

A. 1.612米 B. 1.768米 C. 1.868米 D. 2.045米
10. 已知函数在定义域R上的偶函数，当，恒成立，则满足的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
11. 函数（其中， ）的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（ ）

A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度
12. 若，则的最小值是（ ）
A B. C. D.
13. 已知函数 图象关于直线对称，则（ ）
A. 函数为奇函数
B. 函数上单调递增
C. 若，则的最小值为
D. 函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象
14. 己知函数，若方程有四个不同的零点，，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
15. 将函数的图象先向右平移个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 90分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
16. 已知lg2=a，lg3=b，试用a，b表示log125=______．
17. 函数的单调减区间为______ ．
18. 已知a，b为正实数，且4a+b﹣ab+2＝0，则ab的最小值为_____．
19. 已知函数，若对，恒有，则实数的取值范围是___________．
20. 已知函数，则______.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
21. 设集合，集合．
（1）若，求；
（2）设命题，命题，若p是q成立的必要条件，求实数a的取值范围．
22. 已知.
（1）化简；
（2）若，求的值.
23. 若，.
（Ⅰ）若的解集为，求的值；
（Ⅱ）求关于的不等式的解集.
24. 已知函数.
（1）求最小正周期；
（2）求在上的单调递减区间；
（3）令，若对于恒成立，求实数的取值范围.
25. 新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病.面对前所未知，突如其来，来势汹汹的疫情天灾，中央出台了一系列助力复工复产好政策.城市快递行业运输能力迅速得到恢复，市民的网络购物也越来越便利.根据大数据统计，某条快递线路运行时，发车时间间隔t（单位：分钟）满足：，，平均每趟快递车辆的载件个数（单位：个）与发车时间间隔t近似地满足，其中.
（1）若平均每趟快递车辆的载件个数不超过1500个，试求发车时间间隔t的值；
（2）若平均每趟快递车辆每分钟的净收益（单位：元），问当发车时间间隔t为多少时，平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大？并求出最大净收益.
26. 已知函数.
（1）若函数是偶函数，求实数的值；
（2）若函数，关于的方程有且只有一个实数根，求实数的取值范围.

临汾一中2020-2021学年度高一年级第一学期期末考试
数学试题（卷）（解析版）
注意事项：
1.本试题考试时间120分钟，满分150分.
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效.
第Ⅰ卷（选择题60分）
一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分.在每小题列出的四个选项中，仅有一个是正确选项）
1. 若集合，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数的定义域和值域分别求解出集合，由此判断出正确的的选项.
【详解】因为中，所以，所以，
又因为中，所以，
所以，所以成立，
故选：C.
2. 是的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用充要条件的判定判断方法判断即可．
【详解】因为“”，则“”；但是“”不一定有“”.
所以“”，是“”成立的充分不必要条件．
故选A.
【点睛】充分条件、必要条件的判定主要有以下几种方法：
①定义法：若，则是的充分条件，是的必要条件；
②构造命题法：“若，则”为真命题，则是的充分条件，是的必要条件；
③数集转化法：：，：，若，则是的充分条件，是的必要条件.
3. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先判断的单调性，利用零点存在定理判断根所在的区间.
【详解】在是增函数，
而

根据零点存在定理，可得函数的零点所在的区间为.
故选：C
【点睛】判断函数零点所在的大致区间的方法如下：
若函数在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号不同，即，则在区间[a,b]内，函数至少有一个零点，即相应的方程在区间[a,b]内至少有一个实数解。
4. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据实数指数幂的运算公式，准确运算，即可求解，得到答案.
【详解】由题意可知，故选A.
【点睛】本题主要考查了实数指数幂的运算化简、求值问题，其中解答中熟记实数指数幂的运算公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
5. 已知角的终边过点，且，则的值为(　 　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】因为角的终边过点，所以 ， ，解得，故选B.
6. 已知函数为自然对数的底数，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据指数函数，对数函数的性质得，再根据函数在R上单调递减求解.
【详解】因为.
所以，
又函数在R上单调递减，
所以，
故选：D.
7. 函数在的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先判断出函数的奇偶性，然后根据的符号判断出的大致图象.
【详解】因为，
所以，为奇函数，所以排除A项，
又，所以排除B、C两项，
故选：D．
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.
8. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则
B. “，”的否定是“，”
C. 函数有两个零点
D. 幂函数在上是减函数，则实数
【答案】C
【解析】
【分析】
作差可判断A；写出命题的否定可判断B；利用导数判断函数的单调性和极值可判断C；根据幂函数的定义可判断D.
【详解】对于A，，因为，所以，
所以，，错误；
对于B，“，”的否定是“，”，错误；
对于C，函数，
，当得，当得，
所以在是单调递增函数，在是单调递减函数，
所以在时有最小值，即，
，
，
所以有两个零点，正确；
对于D， 由已知得，无解，
幂函数在上是减函数，则实数，错误.
故选：C.
【点睛】本题是一道综合题，对于零点的判断，可以利用函数的单调性结合极值情况进行判断，考查了学生对基础知识、基本技能的掌握情况.
9. 《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男了在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的一只手臂长约为米，整个肩宽约为米.“弓”所在圆的半径约为1.25米.则掷铁饼者双手之向的距离约为（ ）(参考数据：)

A. 1.612米 B. 1.768米 C. 1.868米 D. 2.045米
【答案】B
【解析】
【分析】
根据弧长公式求出圆心角为直角，再根据勾股定理可求得弦长.
【详解】由题得：“弓”所在的弧长为：；，
所以其所对的圆心角；
∴两手之间的距离.
故选：B.
10. 已知函数在定义域R上的偶函数，当，恒成立，则满足的的取值范围是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意可得在上单调递增，又函数的图象关于直线对称，可
得函数在上单调递减，从而根据函数不等式列出不等式，求解取值范围.
【详解】当时，恒成立，
∴恒成立，
即函数在上单调递增，
又∵函数的图象关于直线对称，
∴函数在上单调递减，
若要满足，则需；
解得.
故选：A.
【点睛】本题的关键点是利用函数的单调性和对称性解不等式，考查转化思想，属于基础题.
11. 函数（其中， ）的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（ ）

A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度
【答案】B
【解析】
【分析】
根据图像有,,得到函数的最小正周期，根据周期公式可求出，然后求出和的解析式，再根据相位变换得到答案.
【详解】根据图像有,,
所以,则.
不妨取，
又有，
得,又.
所以，即，
所以由向右平移个单位长度可得的图像.
故选：B
【点睛】本题考查三角函数的图像性质，根据图像求解析式，三角函数的图像变换，属于中档题.
12. 若，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】，所以，，
，当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值是.
故选：A.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
13. 已知函数 的图象关于直线对称，则（ ）
A. 函数为奇函数
B. 函数在上单调递增
C. 若，则的最小值为
D. 函数图象向右平移个单位长度得到函数的图象
【答案】AC
【解析】
【分析】
利用的图象关于直线对称，即可求出的值，从而得出的解析式，再利用三角函数的性质逐一判断四个选项即可.
【详解】因为的图象关于直线对称，
所以 ，
得，，因为 ，所以，
所以，
对于A：，所以为奇函数成立，故选项A正确；
对于B：时，，函数在上不是单调函数；故选项B不正确；
对于C：因为，，又因为，所以的最小值为半个周期，即，故选项C正确；
对于D：函数的图象向右平移个单位长度得到
，故选项D不正确；
故选：AC
【点睛】本题主要考查了利用三角函数的对称轴求函数解析式，考查了三角函数平移变换、三角函数的周期、单调性、最值，属于中档题
14. 己知函数，若方程有四个不同的零点，，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
作出的图像，再作出，把四个交点的横坐标依次记为，，，，根据图像一一验证ABCD四个选项.
【详解】
如图示，在同一个坐标系内作出和的图像，从图像可知：
要使方程有四个不同的零点，只需，故A错误；
对于B：，是的两根，所以，即，所以，所以；由是的两根，所以；所以成立.故B正确；
对于C:由得：，所以
令，当且仅当时取最小值.故C错误；
对于D: 由得：
令在上当增，所以.故D错误.
故选：B.
【点睛】数形结合法解决零点问题：
(1) 零点个数：几个零点；
(2) 几个零点的和；
(3) 几个零点的积.
15. 将函数的图象先向右平移个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，根据定义域求出的范围，再利用余弦函数的图象和性质，求得ω的取值范围．
【详解】函数的图象先向右平移个单位长度，
可得的图象，
再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，
得到函数的图象，
∴周期，
若函数在上没有零点，
∴ ，
∴ ，
，解得，
又，解得，
当k=0时，解，
当k=-1时，，可得，
.
故答案为：A.
【点睛】本题考查函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式，求解可得，属于较难题.
第Ⅱ卷（非选择题 90分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
16. 已知lg2=a，lg3=b，试用a，b表示log125=______．
【答案】
【解析】
【分析】
直接由对数的运算性质计算即可．
【详解】∵lg2＝a，lg3＝b，
∴log125．
故答案为．
【点睛】本题考查了对数的运算性质及运算法则，是基础题．
17. 函数的单调减区间为______ ．
【答案】
【解析】
【分析】
根据复合函数同增异减的单调性，的单调减区间即为的单调递增区间与的定义域的交集。
【详解】的定义域为
将写成复合函数的形式
为单调递减，
根据复合函数同增异减的单调性，要求的单调递减区间，即为的递增区间。
的对称轴为，开口朝下
又
在上单调递增，
即的单调递减区间为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了复合函数的单调区间的求法，记住同增异减即可，另外需要注意单调区间一定是定义域的子集，所以求单调区间时先求定义域。本题属于基础题。
18. 已知a，b为正实数，且4a+b﹣ab+2＝0，则ab的最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
利用基本不等式转化为，再利用换元法设，转化为关于的一元二次不等式，求的最小值.
【详解】，
，当时等号成立，
，
设，，
，解得：或，
，
，即，
的最小值为.
故答案为：
【点睛】本题考查基本不等式，一元二次不等式，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题型.
19. 已知函数，若对，恒有，则实数的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用参变分离得在上恒成立，结合双勾函数性质求出的最小值即可．
【详解】解：由题意知：在上恒成立，所以在上恒成立，
又因为函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，最小为2，
所以，即，
故答案：．
【点睛】方法点睛：在解决二次函数的恒成立问题，常常采用参变分离法，如此可以避免对参数进行分类讨论．
20. 已知函数，则______.
【答案】2019
【解析】
【分析】
观察的特点，探究得，再利用倒序相加法求解.
【详解】因为
所以

故答案为：2019.
【点睛】本题主要考查了函数求值中的倒序相加法，还考查了抽象概括的能力，属于中档题.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
21. 设集合，集合．
（1）若，求；
（2）设命题，命题，若p是q成立的必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据题意得，，进而得；
（2）根据题意得，再根据集合关系即可得实数的取值范围是
【详解】解：（1）由，解得，可得：．
当时，可得：，可化为：，解得，∴．
∴．
（2）由，解得．
∴．
∵是成立的必要条件，∴，
由于，所以有：，解得：．
∴实数的取值范围是．
【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．
22. 已知.
（1）化简；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用诱导公式化简；
（2）结合同角三角函数的基本关系式求得所求表达式的值.
【详解】（1）
（2），
两边平方并化简得，

.
【点睛】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，属于中档题.
23. 若，.
（Ⅰ）若的解集为，求的值；
（Ⅱ）求关于的不等式的解集.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）答案见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ），1为方程的两个根，用韦达定理构建方程解出来即可.
（Ⅱ），分、、、和五种情况讨论即可
【详解】（Ⅰ）的解集为，，1是的解.
.
解得：
（Ⅱ）当时，不等式的解为，解集为
当时，分解因式
的根为，.
当时，，不等式的解为或；解集为.
当时，，不等式的解为；解集为.
当时，，不等式的解为；等式的解集为.
当时，原不等式为，不等式的解集为.
综上：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
24. 已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求在上的单调递减区间；
（3）令，若对于恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）化简函数，结合三角函数的图象与性质，即可求解；
（2）由正弦函数的单调性可得答案；
（3）化简，根据，求得的最大值为，再根据题意，得到，即可求解．
【详解】（1）由题意，函数，
可得其最小正周期是.
（2）由得

又∵，∴
故单减区间为.
（3）由
因为，得，则，
所以，
若对于恒成立，则，
所以，即求实数的取值范围.
【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，以及三角函数的图象与性质综合应用，其中解答中利用三角恒等变换的公式，求得函数的解析式，结合三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
25. 新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病.面对前所未知，突如其来，来势汹汹的疫情天灾，中央出台了一系列助力复工复产好政策.城市快递行业运输能力迅速得到恢复，市民的网络购物也越来越便利.根据大数据统计，某条快递线路运行时，发车时间间隔t（单位：分钟）满足：，，平均每趟快递车辆的载件个数（单位：个）与发车时间间隔t近似地满足，其中.
（1）若平均每趟快递车辆的载件个数不超过1500个，试求发车时间间隔t的值；
（2）若平均每趟快递车辆每分钟的净收益（单位：元），问当发车时间间隔t为多少时，平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大？并求出最大净收益.
【答案】（1）4分钟；（2）发车时间间隔为7分钟时，净收益最大为280（元）.
【解析】
【分析】
（1）根据分段函数表达式进行判断，然后求解不等式即可得到发车时间间隔t的值；
（2）求出的表达式，结合基本不等式以及函数单调性的性质进行求最值即可.
【详解】（1）当时，，不满足题意，舍去.
当时，，即.
解得（舍）或.
∵且，∴.
所以发车时间间隔为4分钟.
（2）由题意可得
当，时，（元）
当，时，（元）
所以发车时间间隔为7分钟时，净收益最大为280（元）.
【点睛】方法点睛：该题考查的是有关函数型应用题，解题方法如下：
（1）对题中所给的函数解析式进行分析，解对应不等式求得结果；
（2）对分段函数的最值分段处理，再比较大小，得到函数的最值，求得结果.
26. 已知函数.
（1）若函数是偶函数，求实数的值；
（2）若函数，关于的方程有且只有一个实数根，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
【分析】
（1）由偶函数得，建立方程即可求出；
（2）由可得，设，则有关于的方程，讨论的范围可求解.
【详解】（1）因为是偶函数，
所以对任意的成立，
所以对任意的成立，
所以对任意的成立，
所以.
（2）因为，，
所以，
所以，
设，则有关于的方程.
若，即，则需关于的方程有且只有一个大于的实数根.
设，则，
所以，
所以成立，所以，满足题意；
若，即时，解得，不满足题意；
若，即时，，且，所以.
当时，关于的方程有且只有一个实数根，满足题意.
综上，所求实数的取值范围是或.
【点睛】本题考查由奇偶性求参数，靠函数与方程的关系，属于较难题.