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人教A版高中数学选修4-1课后习题答案习愿1.1(第5页)1.设AB的长为6厘米.(1)过点A作射线AC；(2)在射线AC上以适当的长度顺次截取AD=DE=EF=FG=GH H KKMi(3)连结BM；(4)过D、E、尸、G、H、K作BM的平行线，分别交AB于点 D H K.则 D、/、H K即为线段AH的7等分点.2.猜想：BE=EF=FD.证明如图，:M是AB的中点，N是DC的 中点,四边形AB-CD是平行四边形，AMCN,且 AM=CN.四边形ANCM是平行四边形.:.MC/AN,J ME平分BF,即 BE=EF.同理可证FD=EF.:.BE=EF=FD.3.如图.：E、F分别是梯形ABCD中AB、DC边上的中点,:.EF/AD,EF/BC.G、H分别是梯形对角线8D、AC的中点.EG=)AD,FH=4AD*EH=)BC,FG=BC.w 4 乙又 GH=EH-EG,GH FG-FH,2GH=EH+FG-(EG+FH)=bc+Jbc-(鼻d+Jad)w w y w w/=BC-AD.GH=y(BC-AD).习题1.2(第9页)1.如图，由本节例3知，O CD与 O AB的三边对应成比例.AB QB*CD-O D-,:CD=6,AH=8.BD=15,8 _ OB 615-OB解得OB=学.(第20)(第 3 flg)(9 IM)木鱼石制作n.(2=15 孚=竽.2.如图,(1),:DE/BC,.DF AF FE_AF，BG-AG*GCAG*,DF_FE,*/j GGC,BG DF*GC FE V DE8C,FE OF DF OF,BG-CG*GCOG.FE DF BG_FE BG-GC*即 GCDF由、得条=然，即BG2=G(7.(X.o U:.BGGC.如图，在人8的一-侧选择一个点C,连结AC,测收出AC的长.在AC上选一点D,过点D作DEAB（即/1=/2）,再测歌出CD、DE的长.此时，ZiCDE与 CAB的三边对应成比例,所以由 祟=焉，就可以计算出AB的跑离.方案2如图.在AB的一储选择一个点C.便AC1AB,同时保证8C的距离能够测量.测出 AC、的长度，由勾股定理即可算出AB的K.（第3题）说明 此删是一个开放性问题.测l it AB长度的方案还有许多（如取NACB为特殊角等），因此,可以鼓励学生去积极探索不同方案.4.(1)如图，连接 AC.EF/AD/BC,tCj Ami 妨心 AE反=油即EGrBC,GF_CF l l(1,.P_CF An而 CD,卬 3-CD.A。（第4跑）.AE 1 EB 2，教学资源下载 AE_ 1 而 AE_DF*AB3 ABCD9 DF=2CD-3,CF=1 t*CD-3,，EF=EG+GF啸3需AD=|bc-f|ad.:.3EF=BC+2AD如果管号,那么第=看 同理可推得第=卷.EF=EG+GF=恭品+籍AD=C+,AD.5EF=2BC+3AD.(3)如果箱=：，那么第=格 ctf n/o tn i m同理可推得CF=n CD m+nEF=EG+GF二品阮+品AD.(m-i-nyEFmBC-nAD.习1.3(第19页)L如图，连接BE、CD.V NABE和/ACD是同孤上的圆周角，ZABEZACD.又 NA=/4,:.BEoo/ACD.AD=AE,衣一殖2.如图，(1)在 ABE和ZACD中，V ZBAEZCAD.NABE=NACD,；AABEsAACD.,AB.BE ACCDABCD=ACBE.(2)在AABC 和ZAED 中，c m if f)木鱼石制作V NBAC=NBAE+/EAC(或N3AC=/BAE-NEAC),ZEAD=ZCAD4-ZEAC(或NEAD=NCAD-NEAC),又 ZH AE-ZCAD,ZBAC=ZEAD.又丁 NBCA=/EDA,:.ABCsAAED.AC=BC ADED（第 2一）ACED=ADBC.3.如图.设 AC=n.要使ABCsAABC,只需4=a即可.V NA=NA.当=呼时.AABCsAABC.4.作法：(1)作线段 8CM 使 bC=1bc；(2)以B为顶点，BC为始边作NDBC=NB,(3)在8D上裁取线段BA,使BA=|aB(4)连接AC,则伪幻为所作三角形.5.如图，EF/AD/BC,GE_EF H E EF GBBC,H AAD,7 AD=BC,GE=H E*GBH A GE=H E*BE-AE-又丁 NAEB=NHEG.A AAEBo o AHEG.:.NABE=/HGE./.GH/AB.6.V DEaAB、匹_QQ_逃GABOAOB 又EFBC,空=小_竺 BCOBOC 3 DE_EF*ABBC由、知繇啜,而NFO D=NCO A,（第4题）（第5题）（第6题）2事.教学资源下载:.AFODooACOA.,DF QD*ACOAA 在ZM8C和ADEF中.有翳第=器 :.AABCs ADEF.7.在aACD 和 BCE 中，V ZADC=ZBEC=90 NACD=/BCE,:.AACZXo ABCE.:.黑=羔即AD-BC=8EAC nb DC8,方案1(1)在地面适当位置选取一点C.连结BC.测城出3c的距离，（第7题）（2）在点B暧立一根垂直于地面的标尺杆；（3）在BC的延长线上取一点D.使点D、标尺杆的顶点E和树尖在一条直线上；（4）测VCD的距离.在这个方案中由于DCEs/XDBA,而8C、CD、CE的长可以由测量而得，所以可以求出 树高AB的长,（没有考虑测陆仪的脚架高）（第8题方案1）（第8题方案2）在地面上选取一点C，连结BC；（2）测出NBCA；（3）在地面上选取一点D.使/DCB=N3CA*（4）过D作BC的垂线，交8C于E；（5）测If t DE、CE、BC的长由这三个量可以求得A3的长.因为按方案2的实施.易知R t ZA8CsR t ZDEC（没有考虑测敏仪的脚架病）AA3D AD AB.yD,ArWtt其余两组对应中线之比同理可证.(2)设AE、AE分别是AABC、AABC中/A和/A的内角平分线.V AABCsAABC,:.NA=/A.ZB=ZB；:.N8AE=NBAE.:.zMBEsAABE.AE AB,*转=敏=也(第9收)同理可证，其余两个对应角的内角平分线之比也等于相似比.10.在 AEF 和aCDF 中 V NDCF=NEAF,NDFO/EFA,:.AAEFs ACDF.zMEF的周长AE 1 的周长一CD T.沁=公=2而 Sf y=6./.Saar=9S4 uy=9X6=54(c m).11.问题1：相似三角形对应角的外角平分线之 比等于相似比.证明：设 ABCsA3C.AD、AD分 别是NA.NA的外角平分线,分别交 BC、3。的延长线于D、D.V AABCsABC.NBAC=N8AC.(第 io M)(第11H图I)又 NBAC+Nl+N2=NBAC+N3+/4.而 N1=N2.N3=4:.N】=/3.:.N8AD=8AD教学资源下载.ABDO MSBD.,AD _ AB和一前一问题2 ABCsZXABC,以ZXABC的三条边为直径，分 别向AABC外作半圆（如图），同样.以448幻的三条边为 直径，分别向 ABC外作半圆.则两个三角形中三个对应半圆的面积之比等于相似比的平方.说明：将三个半圆改为三个等边三角形、正方形、正多边形 等，可以得到更多的命题.问题3如图，AABCs AABC,相似比为人悬=雕则AD t说明：该题是一个开放型问题，可以由联想、类比等方法得到许 多新问题.在教学中应引导、启发和鼓励学生去探究、猜想.(第 113)习题14(第22页)1.V AABC是直角三角形，CD是AB边上的高，Ciy=AD BD.:.602=25 XBD.工 BD=14 4.:.AB=AD+BD=25+14 4=】69.又丁 AO=ADAB,J AC=725X169=65.又BC5=BD-AB,:.BC=714 4 X169=156.2.V CDJ_AB,AACD是宜角三角形.又,:ZBAC=60:.ZACD=30AD=AC.又:BD=AB-AD,:.BD=AB-j AC.3.作法；(1)作一直线/在2上截取线段AD=6,BD=ai(2)过D作AB的垂线(3)以AB的中点O为圆心，O B的长为半径作-。-弧，与交于点C,则CD即为所求.证明：连结 AC、BC、OC.V OC=OBAB,（M2M）（第3题）AABC为直角三角形.:CD_LAB,J B=AD-BD=H./.CD为线段a和b的比例中项.木鱼石制作续衰问 总设计意图如生活动2.你能发现第27 页“探究”中这些四边 形有什么其同的特征 吗？让学生通过观察、测量的方法去归纳图形 中四边形的共同特征.从而猜想出剧内接四边 形的性质定理,这样，既可以使学生体验探究 数学问题的过程.又可 以培养学生的观察力和 慨括能力.肄：我fl发现并不是所有的四边形都存在外接.现在我们反 过来思考问题：如果一个留有内接四边形，那么这样的四边形有什 么特征？教师展示一组图形.帆同学们可以从四边形的边或角之间的关系去考虑.学生讨轮.前：同学们可以用三角板、量角器对图形进行测量.学生活动.生，我们发现,圆内接四边形的对角是互补的.3,定理h圆内接 四边形的对角互补.定理2,况内接四 边形的外向等于它的内 角的对角.从猜想转向证明.使学生体会数学的严谨 性，同时发展学生的遗 柳思维能力.教师引导学生探索定理证明的思路.就：我仰可以看出，之所以NA+/C=1O是因为/A所对 的弧和NB所对的弧刚好组成HI周,是360的弧.因此.连结。人、OC,利用圜心角a、夕即可沟通NA和/C学生完成定理的证明.4.定理1的逆命题 成立吗？即：四边形 A BCD 中，ZB+ZD-180 则 A、8、C、D 四点共0S吗？训练学生逆向思维 的意识.帅定理】的逆命膻成立吗？请同学们写出定理1的逆命监.并思考应该如何证明.5.探究圆内接四边 形判定定理的证明思 路.使学生体会分类讨 论思想.掌握反证法.师：我们知道.三点可以确定一个圆.不妨设过A、8、C三 点的圆为OO,那么我们只需证明0O必然经过D点即可.点D与 OO的位置关系有且只有三种情形点D在曲外点D在眼内 点D在剧上.如果能证明前面两种情况不可能成立,那么点D就 只能在圜上.而要证明“不可能”性问题，常常采用反证法.师生分析思路，学生证明过程.6.定理2的逆命题 成立吗？师：定理2的逆命题证明不需要按判定定理的证明方法去考 虑，而可以直接利用判定定理将其推出.即定理2的逆命H可作为 判定定理的推论.请同学们完成证明.7.例1和例2.培养学生解决问题 的能力.加深对定理的理 解.师生共同进行证明思路分析.教师指出当两个园相交时.一般可以考虑连结两圆的交点作辅 助线.8.展示本节课的知 火点.使知识系统化.教师从知识和方法两个维度进行小结.注I如果本节课还有时间.可以补充“编写意图与教学建议”中的例跑.E五、习题解答习题21（第26页）1.如图.设AO的延长线与。O相交于E,则AE是。的宜径.连接 DO、BE.V AO是。的立径，AE是。O的直径，:.ZADO=ZABE=90教学资源下载:.DO/BE.又。是AE的中点，AD=BD,即点D是AB的中点.2.连接 BC、ACV AB是08的直径，NACB是直角.由射影定理得CD2=ADBD,即 a=AD(AB-AD).：6:=AD(13-AD)=13AD-AD2.解得 AD=4或AD=9.3.如图，连接AB、AC.V AB=AF,:.NABE=/ACD.又 BC是0O的直径，A/BAC=900./BAE=90-/DAC又 AD1BC,:.ZACD=90*-ZDAC.:./ABE=/BAE.即AMBE是等腰三角形，故AE=BE.习Z2(第30页)1.V ADBC,BE1AC,.AA3D和AABE均为直角三角形.设O是AB的中点，连接O E、O D.则O E=)AB,O D=)AB,:.OE=OD=OAOB.,.A、B、D、E四点共圆.:./CED=/ABC.（第3题）（第】题）2.如图，设四边形ABCD的对角互相垂直，点E、尸、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.连接EF、FG.GH、HE,则FG/BD.GH/AC.又丁 AC_LBD,FG1_GH.同理可证HE1EF.（第2题）:.ZHEF-FZFGH=180*.：F、G、H、E四点共圜.木鱼石制作3.如图，丁 A、B、C、D四点共圆，：NFCE=NA:/CFG=/FCE+/CEF,NDGF=NA+NAEG,而 ZAEG=ZCEF.；/CFG=/DGF.习题23（第3 2页）1.如图.连接O D、AO,过O作AC的垂线与AC相交于E.V AB是0O的切线.:.O D1AB.V AABC是等腰三角形，:.NBAO=/CAQ R t AADO R t AAEO.:.O D=O E.点E在圆上.；AC与O O相切.2.如图，连接QQ,则O Q是O O的半径，且O Q_LR Q.:.zb=zoqb.V NQPR=NBPO=90NB,/P QR=90NO QB,:./QPRh/PQR.：.RP二RQ.3.如图，连接O D.V AD/OCt:.N】=/2,Z3=Z4.又,:QA=O D,:.Z1=Z3.,Z2=Z4.又;O C=O C,O B=O D,:.ACDCXS2ACBO.ZCDO=CBO.V BC是（DO的切线，/CBO=90.:.ZCDO=90*.:.DC是。0的切线.习意24（第34页）1.V TC是圆的切线，:.NBTC=/AV Z.ATCATB-i-ZBTC,（HIM）教学资源下载一2汨NTBC=/A+NATB,:.NATC=NTBC.2.,AC是。的切线，AD是。的切线.Z1=ZC N2=/D,AACBc o ADAB.BC_AB*ABBD:.AB2=BC BD.习题2 5(第4 0页)1.如图，设两条弦相交于P.P A=12,P B 则 pc=4pd.由相交弦定理得 PA-PBPC-PD./.12X18=/.得 x=9(c m).即 P D=9 c m./.P C=X9=24 c m.J（第 2M）故 CD=24 c m+9 c m=33 c m.2.如图（1）是轴纵断面图，图（2）是圆头部分的图形,其中弦CD=4 0,直径AB=72,且AB_LCD 于M,因此BM就是圆头部分的长.设8M=/，由相交弦定理得 MA.而MC=MD,(写了=MB-MA=(AB-MB)MB.202=(72-x)x.解得工*3630,11266,x2s6.轴的全长可能是160+66=226,或是160+6=166.(第2题)3.如图，延长CP与|相交于点D.V O P 1P C,P C=P D.V P AP B=P CP D.:.PCPA P B.4.设0O的半径为h.V P O=P C4-X,木鱼石制作 pc=P O-x=12-x.又 P B=P A+AB=6+7=篆,:P AP B=P CP D,27:.6Xy=(12-x)(12+x).解得工=15.（第4收）（第5盟）5.V NM NQ=NB NA.而P Q姑。的切线，:.NB NATNJ:.PU=NM NQ.6.V P A是。的切线，MA?=M3*MC:M是P A的中点.MP=MA.MP?=MBMC MB MP*MPMC又,:N8MP=/P MC./.AMP s&MC./MPB=NMCP.7.如图,连接GC/】和N2是同弧上的|M|周角，；Z1=Z2.:ADBC.CFAB.，N2=90/ABD,Z3=90a-ZAD.:.Z2=Z3.:.Z1=Z3.R t ACHDR iACX；D.:.DH=DG.8.如图.连接o r.则NA(X：等于弧AC的度数.NCDE等于瓠EAC度数的一半.而AC=AE.:.NA(X=NCDE.:.NPOC=/PDF.（第8胭）2教学资源下载乂：NDP F=NO P C.:.POCs APDF.PO=PC PDPF*:.P(AP F=P C-P D.又;PC PD=PB PA,P O*PFPB-PA.9.如图(1).V DG和FE是圆内相交的弦.CF-CE=CD-CG.V A8是圈的切线.：A=ADAE.V AB=AC.AG=ADAE,即些=也即 AE AC,而 NCAD=/EAC.,AACDo o zMECV/AEC=/G,(1)(2)(1)/ACD=/G.AC/FG.(3)如果 NBAD=NCAD,如图(2),连接BCV AB=AC.AD=AD zMBDAACD.BD=CD.；zabd=zacd.V NACD=4 NABD=/2,N1=N2.：BD=FD.V N1=N3,N2=/4,*N3=/4.A zMBEAACE.:.BE=CE.V AB=AC,NBAD=/CAD,BD,BG.BE.(4)(5)(6)A(第9题)(7):.AEBC(8)四边形A8EC各边的中点在同一个圆周上,(9)V AB=AC,EB=EC,A8+EC=AC+EB.(10)由(10)可以推出，四边形ABEC存在内切圆(证明略).(11)木鱼石制作正续衰问 题设计意图师生活动2.瘠想椭01的焦 点,观察教科书图3-6,当P与G重合时.可 以得到什么结论？鼓励学生猜想.通 过猜想去发展学生的直 觉思维能力.考察当P与&重 合的情形，是把问胸特 殊化,以便利用已复习 的结论.师：图3-6实质是把两个球放入照柱中.球与凰柱面内相切.此时平面，与HI柱面的栽线是一个椭!请同学们猜测诙精1的两 个焦点在什么位置？生：凭感觉，似乎应该是平面y与两个球的切点.师很好！3.对观察的结论“圆柱形物体的斜截口 是橘0r进行证明.培养学生的邃辑思 堆能力.廊 饕证明该微线是桶圆,应该从哪里入手？生：只要能证明IPFJ+IPF/为定值即可.婶：请同学们思考两个球的作用.学生讨抡.教师作图过点P作母线3分析证明思路.板书证明过程.4.探讨精留的准线 和离心率.对棚照的结构进行 更深入触探究.使学生 头脑中的知识结构系统 和完善.师：下面我们进一步研究椭圆的结构,我们知道，柿圆存在准 线和离心率,结合教科书第49页的图3-8,同学们估计读#1副的准 线应该是哪两条直线？学生讨论.生：似乎应当是直线4和4师：下面请大家选择一条（如八）进行证明，即要证 行偏丽j=定值.还要考察特殊情形.当P与G?重合时，结 论成立吗？教师再引导学生讨论一般情形.师：我们把这个定值cosa记为e，称。是椭圆的离心率.5.展示本节如识 点,小结.使知识系统化教师就知识和方法两个方面进行总结.6.在解析几何中.离心率，能否将 5与8S 3联系起来呢？培养学生反思问题 的意识和能力.收前提出问题.安排学生课后作为作业去探讨.IV五、习题解答习题3,2(第47页)如图(1),NQP Ki=a，c o s=考察轴线面ABCD,/AG?B=w c o s3=器.pk-gb,*PQGE将图(1)的轴截面取出来得图(2).KiJF,F2=2c,GQ=2a，且 GB=GH=a+c.GE=GGz+G E=2a+G E.教学资源下载图V EAGsAEBGz，.j)_G A,函=字.拿_GA-EG_GB(EG+3Q)匕5-g?B G2Fi,：G)Fi=2,2f=.-c,G】G=2a,GzFi=a+c,CtEG=(a-c)(Gi+2a)a+c解得即尸也二2.P Ki GB_GjFi _ a+c=c(a+c)=c,PQGlEGE2a!a(c o s a.P F?_ c o s 8、i*P A-c o s a，：m是双曲线的一条准线，且。=奈1 c o s a一、选择题（每小18只有一个正确选项）1.如图，已知ADBECF,下列比例式成立的是（）.教学资源下载a A3 AD r AB_DEDEBE 3 EFUCAC_ DF 心 BC_EFs EFB(U AC DF2.下列各组的两个图形一定相似的是().(A)对应边成比例的两个多边形(B)有一个用对应相等的两个菱形(C)等腰梯形的中位线分成的两个梯形(D)邻边之比都等于2的两个平行四边形笫I脍)3.如图.在38。中，D、E分别是A3、AC的中点.则 ADE与四边形DECB的面积之比是().(A)1 3 B)1 2(C)H 5(D)1:44.四边形A3CD是网内接四边形./A、/3、NC的度数之比 为2：3,6,ND的度数为().(A)45。(B)67.112.5(第3收)5.如图.P A是恻的切线.A为切点,P 8C是倒的割线.且P 3=bC,则器的值为(第5跑)(D)I(C)再6.如图，。”的百径是A8,弦CQ垂宜平分O A,触足为E点，则弧CAD的度数是().(A)150(B)120(C)90(D)607.如图.四边形ABCD内接于。O,且AC、8D交于点P.则此图形中一定相似的三角形有()对.(A)4(B)3(C 2(D)18.半粒为5 c m的初|内有两条平行弦.其长分别为6 c m和8 c m.则两平行弦之间的距离为().(A)1 c m 或 7 c m(B)1 c m 或 4 c m(C)1 c m(D)7 c m二、填空题9.如图.AH是。的宜径，。为恻周上一点.AC=60 O DBC,D为垂足，且O D=10,则 AC=,A8=.10.如图.在 R t ZABC 中.ZACB=90 CD_LAB 于点 D,CD=2,BD=3则 BC=.11.如图.A3是O的直径.CB切。O于3,CD切。于D,交BA的延长线于E.若AB=3,ED=2,则 BC 的K为.木鱼石制作第9收)(第10幕)笫11照)12.ABC 中，ZC=90%NA=30,AC=26.则 ABC外接圆的半径等于三、证明题13.如图，四边形ABCD是平行四边形点E在边3A的延长线上.CE交AD于点F./ECA=ZD.求证:AC BE=CE AD.14.如图，AD是/XABC外角NEAC的平分线,AD与AABC的外接圆交于点D.N为BC延长 线上一点,ND交/MBC的外接圆于点M.求证：(1)DB=DCi(2)DC=DM DN.（第 13 M）（第 14 tt）15.如图，0O,与0Q相交于A、B两点，A3是Q的直径，过A点作CZ的切线交。于 点E,并与8。的延长线交于点P.P B分别与O R、0 a交于C、D两点.求证：(1)PA PD=PE*PCi(2)AD=AE.四、探究题16.如图，巳知AB为半圆的直径.O为圆心，BE、CD分别为半圆的切 线，切点分别为B和C DC的延长线交BE于F,AC的延长线交于BE于E.ADJ_DC,D为垂足.根据这些条件，你能推出哪些结论？请你给出尽量多的结论.(第16)介考答案1.D,2,B.3.A.4.D.5.C.6,B.7.C.10.713.11.3.12.2.13.V四边形A8CD是平行四边形，8.A.9.20,4 0.教学资源下载:.AFBC.CEEF*BEEA,又；AE/CD.AFESnDFC.EA_EF nnCF_EF_CE*CD-CF*CDEABE-又 NECA=/D.NCAF=/DAC.，AFCsACD.,AC_CF,*ADCDAC CE ADBK,AC BE=CE AD.14.(1)V NEAD=NDAC.而NDAC 9NDBC 是同弧上的圆周角,即NDAC=/D3C,NEAD=/D8C乂；A、8、C、D 四点共IHI.:.NEAD=/DCB.:.NDBC=NDC/3.:.DB=DC.(2)连接 CM./DCN=180-/DC8.V B、C、M、D四点共厕.:.NDMC=180-NDBC.由(D 知/DBC=NDCB.:./DMC=NDCN.又丁 NCDN=NMDC,:.DMCsADCN.DM DC*DC DNDT=DMDN.15.(1),:P AE、P D8分别是0。的割线.:.P AP E=P DP B.又：P A、P CB分别是O O i的切线和割线，:.P A2=P C-P 8.由、得 PA PDPE P C.(2)连接AD.连接AC、ED,ED与AB相交于F.V 8c是。的直径.:./CAB=90.AC是。Q的切线.又由(1)知累=舒，:.AC/ED,：.ABED.ZP AC=ZAED.又；AC是。的切线，:.NCAD=/AED.又 NCAD=/ADE,木鱼石制作 NADE=/AED.AD=AE.16.如图,丁 Eb、ECA分别是O O的切线和割线,:.EBZ=EC-EA.又丁 FC也是例的切线，:.FC=FE.连接 BC.则NACb=90.DF是圆的切线.:.NDCA=/CBA又:AD_LDC.:.ADCsAACB.AD DC=AC*ACFL AZTJ Af=AD-AB.连接O F.由于FC、F8是半圆的切线.：,O F垂直平分BC.:.OF/AE.；BF=EF.又丁 ZABF=90 ZADF=90.:.A、B、F、D四点共网.J NEFD=NDAB V/C3A=90-/CAB,NE=90/CAB.R t AABCc R iAAEB.AEAlf；ABiEAC.（笫 16 0）第16题是一个开放性问题，除了以上7个结论，还可以推出其他一些结论.应鼓励学生去 尽觥努力探究.所得到的结论应该是简单的,它能反映图中各已知线段（一般不考虑辅助线段之间的表达式）或 角之间的关系.计分方式可以采用：给出一个正确的、容易推导的结论计2分；给出一个正确的.但需借助于辅 助线推舁的结论计3分.该图也可以留给学生在课外去探究.在题目中增加一些条件.让学生完成一篇小论文.譬如在 图11中，增加条件：CE CA=3 h则可推得：CF AC AD-25/3 2 1.如果推广为 CECA=n/n,又能推出什么结论呢？让学生去合作或独立探究.教学资源下载高中数学选修4-2课后习题答案习题.1外你变换公式为I应的即际为Jo V W 2 r-v.（）一（2）里标变换公式为，.时应的用阵力.y J-.I 0 坐标企换公式为:对应的矩阵为:.y=y.0 12.12 P（r.y）是平面|*L角*标系N）_V内的任想点则它为F坐标原点。的对称点的为,，r =-.,I 0r（r.W.闪此.相应的坐标变换公式足，时应的二阶矩阵为.y y.0 I3.（1）点八（2，住这个投影变换下的像为八（30）；（2）设/八y）是平面/角坐标系内的任j f i一点.则它在这个投影变换F的像为P Q+门。.因此.相应的坐标交换公式是对应的二阶矩阵为11.=0.（0 0）1.拉“K.Hl u-ez.5.由*V.（1）I 3.v 9 j 0.6.（D i义”（*.N）足甲血仃用坐标系r Qv内的任意一点，它在关于在线/：.2/的投影变换F的 像为（/,炉）.容易介出.过点“，.V）南H|T线/的（线的斜率为A干足.该H线的方程为1，,y-M=-2（jt-Jo）.物力网组V 2.i,得打线/：.V 2/Lj f l线yN o（.rn）的交点M的坐标（b 因为M是线段，的中点.所以上，=2乂上守-.即，-3j*o 4 4 Vo1=5，=4 _r”4 3y oy 5,汜，/.y V.则该0称变换的坐毋变换公式是，3x+4 y/5，4.r+3 v一.木鱼石制作时应的二阶疝阵为；4 35 5（2）设.丫）足子向仃角坐标系，Qv内的任您点.它布关;在线/：八一“V C的对称变换 下的像为，（1 y.当八川时.过点，（八y QIL而Hf iT线/的H线的斜率为A;是.该ii线的方程为y-（.r.r ）1I|1li（.i j r（）A（v,）0.当A 0时.则仃线/的方程为.v 0,从而过点P（，y）且垂在/的在线的力稗为，”.它也 可以1 j成B（.r.t,.）A（yy0）0的形式.所以过点，y”1乖农于/的H线的方程为/了）A-0.解方程组 八.r+/y=0,H i t一一.r）八（.y y）0.得it线/：A，卜B.v 0呵f t线B（-r-Fn）A（y,v1.6的交点 M 的坐标/H.rfl A/v1,AH i.土人.A-AHJf r内为M是线校的中点所以/2XH 工、一八/八,1.HJ=2XA2y,）/2AliyA。li，,，/：Vy-qA2 I B2id，.I.v y.则该M称变换的量标变换公式是，（ir 八）?2Bv/;,一2八R r 卜（A2/i!）yJ,步一人?1 /，1W；2 AH川+即”Az-H.y r-/;/;对应的二阶矩陌为1尸一人2翁H,/，2 AH BA-H教学资源下载习题1.21.不能.5.设矩的M.则 b/b I：_ a+26d 2,一+2du b 1 I I a 卜 M,d I 3 I I c 4 3t/1 故a+2/)2.c，2d 3*a i 3。2 3c/=I.解得“！,(?.(/4-故 3 3 3 3从而2I7 J2 5 W7 1 5号151 亏即亚M，”所时应的线件变换把点变成点（g.:卜木鱼石制作习题1.31.矩阵I 20 1对应的线性变换为力Y:V其坐标变换公式为一.r 卜 2.v.Lv=y.将/r d 2y.v y代入仃线方理y/2得I-33-2 0.分别用八N代皆，得工一33-2=0所小矩阵I：I对应的线性变换把在线尸，一2变成在线1打一2=。2.因为/就。过点。一小肝向h t m；的僮.所以的的向ht方程为J-）f l -Ii+f 小R3 l o l 2!“01 在矩阵M 对应的切变变换的作用卜得I 0（1!|j（）|所以 3 1W 10即It 1M y 1；MH；-i4 tM，R.24/,R所以H线/变成经过点（1D.IL平行于向收的H线,H线/的向址方程为住矩阵”:时应的投影变换的作川卜，得（：|l：l=l o所以fFRp|2|0M M 4 t MV 1 I即教学资源下载420所以也线/变成一点（20）.3.因为203030:ii:i=:求卜:相=所以.在矩阵所可应的线件变换的作川下点A”.1）,B（l.2）.（2.I）分别变成点A*(2.0).4(3.0),(0).（1）在矩眼:所劝应的线件变换的作川下，在线变成线y（”（2）在矩阵 0所对应的线性变换的作用下出线 M变成一点”0）;0 0 住矩阶1 所对应的线性变换的作用下.AAHC变成了线段A/f.0 0图形略.4因为2-3所以.在矩除通 ；所对应的线性变换的作川F,平面I.单位正方形区域，（一中Li I,0S,1）变成以向ht .7,（始点均为原点C）为郛边的行四边形.1J 1图形略.V?_J25.矩阵 对应的线件变换为42 4z2 2,722722_4z2422.ry其坐标企换公式为将r彳r；v,彳+g.v代人双曲线方程y I,得木鱼石制作v-.r，=2,分别川.V代*，得所以.矩阵/2 2返2J22/2 2时应的线性变换把双曲线I变成双曲线炉.，2.图膨略.|()6.1)矩陌：1对应的线件变换的坐标变换公式为*/v y r代人圈的方程r+y 1.f!y+-I.分别川，N代杵得所以.班阵;:对应的线性变换把阴m，y 变成miM+y i；(2)曲;对应的线性变换的坐标变换公式为 j.r*2,r.将/2八.v V代人留的方程/十41，得分别川，.、，代杵/y得所以矩M：；时应的线件变换把阴一1变成椭网11/I；(3)珈阳 对应的线性变换的坐标变换公式为0-2尸，=r.y=-2y.将/，/2_v代入脚的方程r f/=l.i!二十马=L4分别用八y代皆，/得.1一1=L q所以,矩阵;应的线性变换把削-y 变成椭圆尸十手”教学资源下载五、习题解答习题2.1I：H：)它所对应的线性变换的坐标变换公式为1.r 3.r i 2.v1、=/十N.它所对应的线性变换的坐标变换公式为j+2、.:工和1 20 1、3212性一|.73 731鹤（1。似i1;|:|;|=一 2/3 2,CI2 i12y-1-lK把自仰坐标系”八，内冷位正方形区域在成以向M 2（蛤点均为原点。）2为邻边的平行四边形.图形略.I.咻a/，j|。1 j；h a 0 1 j|a/，c d5.(1)AH=.R A=:,/!I I)d c J l o l l ed a ba b I k 0 I ku b-k 0 l a b ku kb的 L.J Io J 人 d ttA“L”a Ail 0 a kb 1 0|kc kd!a b 1 k a ka I k a b a kc(4)Ui B Ak d Io I)c kcd l o/a)(r a)p(r(r f l).所以(，(”r)a(“)r)a,从而夕(o r)(p a)r.2.设a 是平血卜的任JS 个向盘.则(1。】f j r(a 1)0-na 1=10 0)y l o j-II：状：l l l；l-l；北H：所P X(a/)a(1 1 11 l|2 1 jA】.1 1J|2 1J(3 1JI 01假设A，丁则”-1教学资源下载解二元次方样组址学生在初中就已熟悉的.这里用种新的工具对它再次进行旧论体现了线 性变换的观点.校学中应让学牛作适当比较.以培养学生刖新的观点认识IH的问题的总识.?四、习题解答习题3.1I.（1）设/，Wl T向*标系内的任意 一点.在伸缩变换化 厂 厂的作川卜点3W的横坐标保持不在，纵坐标变为原来的两倍.即P :.从而伸缩变换“把点/，,N）变为点（，.2”如果再进行一次伸端变换明,|则点/（2y）乂变网到点。（.人”因此,V-V al-v Qn 0可逆其逆矩阵为c o s 0 sin 0sin 0 c o s 03.设线件变换.是可逆的.6,史那是它的逆变换.则所以.逆变换昆啡的.I.设.阶月制八M逆.则AA t*1 N.即A;.A/Lt E.所以人可逆11.（A*）1 A5.设二阶如MA可逆.则木鱼石制作从而1)r A(/VI l)4 1 AEA 1 AA 1 E.().4 A(A A)/t 八 K/l 八/I K.所以.也可逆IL(A)(A).习髭3.21.(1)(2)(3)I 21 X I 2X3 2；LXO 0X1 K1 o|5 3(I)(3)-2 h2-1IXA-1)-(2)X()(A-I)2.2.(1)因为 i 1 0所以 可逆IL内为 6 3所以 不可逆,、一4 2(3)因为3 2)所以:可逆，II I 1,(I)因为I00-1所以c o s 0-sin 0sin 0 c o s 0001/。I06 36X2-(-3)X(-4)0.4 23 2-5/01 1-1 zJ-5 5-1 3 5-51 23 2*_1 一15 5JL 1/5 三可逆。ILc o s 0 sin 0sin 0 c o s 0c o s 0-sin z=I/h.教学资源下载ir2(2)当；时.2 35 k要使我所外儿冢部止性数必须以154.期阵a:可逆、1m仅当 b a,ab即当一，小个为)时.矩阵A b aA 15.(1)内为所以二可逆 U 12-3.,2A V 3 5一旗矩阵的两边同时左粟矩阵.(!2 3)2因为12 3所以1?可逆 IL12A-32A-15 2A152 24 15 2-15)1.所以K 7.或&-b a i柠声0.a可逆.此时.a ba+护 aM b“a;+/?a 4 3 51 2-33 5 1 1 _ 3 5一31一 2 3J,15 H4 5 52 2013(8 1 32 13 J2 3 I Z()1 23,2-3】木鱼石制作在原班陌的网边同时右乘矩阵 一4X=2.（1）原方程纲的矩阵形式为因为；就工25 3）所以,可逆IL所以即方程组的斛为（2）原方程组的用断形式为因为 3 2所以；可逆.FL所以即方程组的解为3 2|(1 21 1!-1 3（3）原方程组的短阵形式为教学资源下载因为3 12W0.4 2_(3 11所以，可逆 R3 l|-，1 一4 2 一,一L所以即方程组的解为1 J 213,原方程组变形为M 二W它外作零解的充要条件是舒一3A-4=0.解用4 1.或人4.所以当1 7 或入I时，二元次方程组4 II终解.木鱼石制作应的特征向优 鞅科15点接给出厂更一般的矩阵P1 一/，q p 1-q(0八 qq)A+1 (p+q)(A 1)A(1/;).令/W，0褥即阵H的特征值-I,即=】一。一 q对F特征值A,I 解相应的线性方程组”-qy 0.,一十qy 0.得一个小零解小囚此.yh*