高等数学函数的极限与连续习题及答案.doc

第一章　函数与极限　复习题
1、函数与函数相同．
错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。
∴与函数关系相同，但定义域不同，所以与是不同的函数。
2、如果（为一个常数），则为无穷大．
错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。
3、如果数列有界，则极限存在．　
错误 如：数列是有界数列，但极限不存在
4、，．
错误 如：数列，，但不存在。
5、如果，则（当时，为无穷小）．
正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。
6、如果～，则．
正确 ∵，是
∴，即是的高阶无穷小量。
7、当时，与是同阶无穷小．
正确 ∵
8、 ．
错误 ∵不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。
9、 ．
错误 ∵
10、点是函数的无穷间断点．
错误 ，
∴点是函数的第一类间断点．
11、函数必在闭区间内取得最大值、最小值．
错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质，在处不连续
∴函数在闭区间内不一定取得最大值、最小值
二、填空题：
1、设的定义域是，则
（１）的定义域是（　　　　）；
　（２）的定义域是（　　　　）；
（３）的定义域是（　　）．
答案：（1）∵
（2）∵
（3）∵
2、函数的定义域是（　　　　）．
3、设，，则（　　　）．
4、＝（　　　）．
∵
5、设，则（　2 ），（　0　）．
∵，
6、设，如果在处连续，则（　　　）．
∵，如果在处连续，则
7、设是初等函数定义区间内的点，则（　　　）．
∵初等函数在定义区间内连续，∴
8、函数当（　1　　）时为无穷大，当（　　　）时为无穷小．
∵，
9、若，则（　1　　），（　　）．
∵

欲使上式成立，令，∴，

上式化简为
∴，，

10、函数的间断点是（　　　　）．
11、的连续区间是（　　　　　）．
12、若，则（　　2　　　）．
∴

13、（　　0　　），（　　1　　），
（　　　），（　　）．
∵

14、（ 不存在 ），（ 0 ）
三、选择填空：
1、如果，则数列是（　b　　）
a.单调递增数列　　　b．有界数列　　　　c．发散数列
2、函数是（　a　　）
a．奇函数　　　　b．偶函数　　　c．非奇非偶函数
∵

3、当时，是的（　　c　　）

a．高阶无穷小　　b．低阶无穷小　　c．等价无穷小
4、如果函数在点的某个邻域内恒有（是正数），则函数在该邻域内（　c　　）
a．极限存在　　　　　b．连续　　　　　　c．有界
5、函数在（　c　　）条件下趋于.
a．　　　　　　 b．　　　 c．
6、设函数，则（　c 　　）
a．１　　　　　　　　b．－１　　　　　　c．不存在
∵

根据极限存在定理知：不存在。
7、如果函数当时极限存在，则函数在点（　c　　）
a．有定义　　　b．无定义 c．不一定有定义
∵当时极限存在与否与函数在该点有无定义没有关系。
8、数列１，１，，２，，３，…，，n，…当时为（　c　　）
a．无穷大　　　b．无穷小　　　c．发散但不是无穷大
9、函数在点有极限是函数在点连续的（　b　　）
a．充分条件　　　b．必要条件　　　c．充分必要条件
10、点是函数的（　　b　　）
a．连续点　　　b．第一类间断点　　c．第二类间断点
∵
根据左右极限存在的点为第一类间断点。
11、点是函数的（　　c　）
a．连续点　　　b．第一类间断点　　c．第二类间断点
四、计算下列极限：
1、
解 　
2、　
解 （∵～～）
3、

4、　　　
解

5、

6、

7、

8、　　　　　

9、　

(∵,)
10、　
解
(∵～)
11、　　　
解
12、　　
解

13、　　　
解
14、
解
15、
解 16、　　
解
17、　解

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