角平分线的作法.doc

预习课程˙轴对称˙角平分线

轴对称——角平分线

知识回顾

1. 三角形中有哪些重要线段．你能作出这些线段吗？

2. 在学直角三角形全等的条件时做过这样一个题：
在的两边和上分别取与交于点,连接
，则．为什么？

问题探究

1.问题：受上题的启发，用尺规作图怎样去画角平分线？
在平分角的仪器中，，连接，则平分

作已知角的平分线的方法：
已知：． 求作：的平分线．
作法：

想一想：
1．在上面作法的第二步中，去掉“大于的长”这个条件行吗？

2．第二步中所作的两弧交点一定在的内部吗？

总结：
1．去掉“大于的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．
2．若分别以为圆心，大于的长为半径画两弧，两弧的交点可能在的内部，也可能在的外部，而我们要找的是内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是的平分线了．
3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制缺一不可．
4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．

2.折纸探索角平分线性质：
1．将一个准备好的沿着折叠，使得角的两边重合，点落在边
2．在折痕（即平分线）上任意找一点，
3．过点折边的垂线，得到新的折痕，其中，点是折痕与的交点，即垂足。
4．将纸打开，新的折痕与边交点为

线段有什么关系？

新知学习

下面用我们学过的知识证明发现：
如图，已知平分，
求证：

问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质吗？
角平分线的性质：

问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．请填下表：

图 形

已知事项

由已知事项推出的事项

是的角平分线，
于,
于

问题3：那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？
根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：

图 形

已知事项

由已知事项推出的事项

于,
于，

由此我们又可以得到角平分线的另一个性质：

问题3：这两个性质有什么联系吗？

总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化．所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，我们可以直接利用性质解决问题．

例 求证：的三条内角角平分线必交于三角形内部一点．

思考：一条内角角平分线与另外两个外角角平分线的角平分线是否交于一点？

基础演练

1. 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到____________相等．

2. 的平分线上一点 ，到的距离为，则到的距离为_________.

3. 已知：中，， 的平分线交于点，的度数为 .

4. 点O是内一点，且点O到三边的距离相等，∠A=60°，则∠BOC的度数为___________．

5. 如图，为斜边上的高，的平分线分别交于点，垂足为，则

6. 如图，中，平分 交于，于，且，则的周长为（　　）
A．4㎝　 　B．6㎝　 　C．10㎝　 　D．不能确定

7. 如图，垂足分别，下列结论错误的是（　　）
A．　 B． 　 C． 　 D．

8. 如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　）
A．1处　　 B．2处　　 C．3处　　　D．4处

9. 如图，已知与交于点，则对于下列结论：①；②；③在的平分线上．其中正确的是（ ）
A．① B．② C．①和② D．①②③

10. 如图，已知△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，求证：D到AB、AC的距离相等.

11. 如图，是平分线上的点，于，于． 求证：．

12. 已知：如图，在中，，是的平分线．求证：.

13. 如图，，平分，且，求证：.

14. 如图，平分，，且，求证：.

15. 已知：中，是的角平分线，分别是上的点，且
求证：

16. 如图，中，平分，且平分，于，于.
（1）说明的理由；（2）如果，，求的长.

17. 如图，已知中，，，平分， 求证：.

18. 如图，中，，的平分线交于，在上取一点，使
，连结．求的度数．

19. 如图，，是的中点，平分
求证：平分

20. 在中，，是的平分线．是上任意一点．
求证：．

21. (北京市西城区2006年抽样测试八年级(上)附加题，黄冈市数学竞赛试题)如图所示，在中，是的外角平分线，是上异于点的任意一点，试比较与的大小，并说明理由．

22. 如图所示．已知正方形中，为的中点，为上一点，且．求证：．

23. 如图，在正方形中，是的中点，是边上的一点，且平分，求证：

24. 如图所示，在中，，的角平分线相交于。
求证：.

课后练习

1. 如图，已知是的内角平分线，是的外角平分线，由出发，作点到和的垂线和，垂足分别，则的关系是 ．

2. 如图，在中，平分，交于，于，则 ．

3. 如图， 已知垂足分别为且
，则 ．

4. 如图，已知，为的平分线的交点．，且，则两平行线间的距离等于 ．

5. 已知RT中，，平分交于，若，且，则到边的距离为( )．
A. B. C. D.

6. 如图，，为的角平分线，，连结，则下列结论不正确的是( )．
A. B. C. D.

7. 如图，中，分别是上的点，作，垂足分别是．若，下列结论：①；②；③．其中正确的是( )．
(A)①③ (B)②③ (C)①② (D)①②③

8. 如图，中，，平分，垂足分别是，则下列四个结论中：①上任意一点到的距离相等；②任意一点到的距离相等；③且； ④．其中正确的是( )．
(A)②④ (B) ②④ (C)②③④ (D)①②③④

9. (山东竞赛题)如图，在中，，的平分线与的外角平分线交于点，则∠AEB=( )．
A. 500 B. 450 C. 400 D. 350

10. 如图，已知相交直线AB和CD及另一直线MN．如果要在MN上找出与AB、CD距离相等的点，方法是 ，这样的点至少有 个，最多有 个．

11. 如图，在直线上找一点，使点到直线和射线的距离相等．

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