《一元二次方程解法》经典例题精讲.doc

《一元二次方程的解法》经典例题精讲
例1解方程．
分析：解一元二次方程的方法有四种，而此题用直接开平方法较好．
解：，
，
，x＝±5．
∴．
例2解方程．
分析：如果把x＋3看作一个字母y，就变成解方程了．
解：，
，
，
∴．
例3解方程．
分析：解此题虽然可用因式分解法、公式法来解，但还是用直接开平方法较好．
解：
整理，，
，
，
∴．
注意：对可用直接开平方法来解的一元二次方程，一定注意方程有两个解；若，则；若，则．
例4解方程．
分析：此题不能用直接开平方法来解，可用因式分解法或用公式法来解．
解法一：
，
(x－2)(x－1)＝0，
x－2＝0，x－1＝0，
∴．
解法二：
∵a＝1，b＝－3，c＝2，
∴，
∴．
∴．
注意：用公式法解方程时，要正确地确定方程各项的系数a、b、c的值，先计算“△”的值，若△<0，则方程无解，就不必解了．
例5解关于x的方程．
分析：先将原方程加以整理，化成一元二次方程的一般形式，注意此方程为关于x的方程，即x为未知数，m，n为已知数．在确定的情况下，利用公式法求解．
解：把原方程左边展开，整理，得
．
∵a＝1，b＝－3m，，
∴

．
∴
．
∴．
注意：解字母系数的一元二次方程与解数字系数的一元二次方程一样，都要先把方程化为一般形式，确定a、b、c和的值，然后求解．但解字母系数方程时要注意：(1)哪个字母代表未知数，也就是关于哪个未知数的方程；(2)不要把一元二次方程一般形式中的a、b、c与方程中字母系数的a、b、c相混淆；(3)在开平方时，可能会出现两种情况，但根号前有正负号，已包括了这两种可能，因此，．
例6用配方法解方程．
分析：解一元二次方程虽然一般不采用配方法来解，但配方法的方法本身重要，要记住．
解：，
，
，
，
∴．
∴．
注意：用配方法解一元二次方程，要把二次项系数化为1，方程左边只有二次项，一次项，右边为常数项，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边就配成了一个二项式的完全平方．
例7不解方程，判别下列方程的根的情况：
(1)；(2)；(3)．
分析：要判定上述方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号就可以了．
解：
(1)∵a＝2，b＝3，c＝－4，
∴．
∴方程有两个不相等的实数根．
(2)∵a＝16，b＝－24，c＝9，
∴．
∴方程有两个相等的实数解．
(3)将方程化为一般形式，
．
∵a＝4，b＝－7，c＝5，
∴
＝49－100
＝－51<0．
∴方程无实数解．
注意：对有些方程要先将其整理成一般形式，再正确确定a、b、c的符号．
例8已知方程的一个根是2，求另一根及k的值．
分析：根据韦达定理易得另一根和k的值．再是根据方程解的意义可知x＝2时方程成立，即把x＝2代入原方程，先求出k值，再求出方程的另一根．但方法不如第一种．
解：设另一根为，则
，
∴，k＝－7．
即方程的另一根为，k的值为－7．
注意：一元二次方程的两根之和为，两根之积为．
例9利用根与系数的关系，求一元二次方程两根的
(1)平方和；(2)倒数和．
分析：已知．要求(1)，(2)，
关键是把、转化为含有的式子．
因为两数和的平方，等于两数的平方和加上这两数积的2倍，即，所以，由此可求出(1)．同样，可用两数和与积表示两数的倒数和．
解：
(1)∵，
∴

；
(2)

＝3．
注意：利用两根的和与积可求两根的平方和、倒数和，其关键是把平方和、倒数和变成两根的和与积，其变形的方法主要运用乘法公式．
例10已知方程的两根平方和是34，求m的值．
分析：已知，求m就要在上面三个式子中设法用来表示，m便可求出．
解：设方程的两根为，则
．
∵，
∴

＝－30．
∵，
∴m＝－30．
注意：解此题的关键是把式子变成含的式子，从而求得m的值．
例11求一个一元二次方程，使它的两个根是2、10．
分析：因为任何一元二次方程都可化为(二次项系数为1)的形式．如设其根为，根据根与系数的关系，得．将p、q的值代入方程中，即得所求方程．
解：设所求的方程为．
∵2＋10＝－p，2×10＝q，
∴p＝－12，q＝20．
∴所求的方程为．
注意：以为根的一元二次方程不止一个，但一般只写出比较简单的一个．
例12已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数．
分析：把这两个数看作某个二次项系数为1的一元二次方程的两个根，则这个方程的一次项系数就应该是－8，常数项应该是9，有了这个方程，再求出它的根，即是这两个数．
解：设这两个数为，以这两个数为根的一元二次方程为．
∵，
∴方程为．
解这个方程得，
∴这两个数为．
例13如图22-2-1，在长为32m，宽为20m的长方形地面上，修筑两条同样宽而且互相垂直的道路，余下的部分作为绿化用草地，要使草地的面积为，那么道路的宽度应是多少？

分析：设道路的宽度为x m，则两条道路的面积和为．
题中的等量关系为：草地面积＋道路面积＝长方形面积．
解：设道路的宽度为x m，则
．
，
(x－2)(x－50)＝0，
x－2＝0，x－50＝0，
∴．
∵x＝50不合题意，
∴取x＝2．
答：道路的宽度为2m．
注意：两条道路重合了一部分，重合的面积为．因此计算两条道路的面积和时应减去重合面积．
例14某钢铁厂去年1月份钢的产量为5000吨，3月份上升到7200吨，求这两个月平均每月增长的百分率是多少？
分析：设平均每月增长的百分率为x，则增长一次后的产量为5000(1＋x)，增长两次后的产量是，…．增长n次后的产量b是
．
这就是重要的增长率公式．
解：设平均每月增长的百分率为x．则
，
，
，
∴(不合题意，舍去)．
答：平均每月增长的百分率是20%．
注意：解方程时，由1＋x的值求x，并舍去负值．
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