高三数学函数综合题训练(含详解).doc

高三函数综合题1.已知函数f（x）=2x+2-xa（常数aR）（1）若a=-1，且f（x）=4，求x的值；（2）若a4，求证函数f（x）在1，+）上是增函数；（3）若存在x0，1，使得f（2x）f（x）2成立，求实数a的取值范围2.已知函数f（x）=x2+（x-1）|x-a|（1）若a=-1，解方程f（x）=1；（2）若函数f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围；（3）若a1且不等式f（x）2x-3对一切实数xR恒成立，求a的取值范围3.已知函数f（x）=x|x-a|+2x-3（1）当a=4，2x5，求函数f（x）的最大值与最小值；（2）若xa，试求f（x）+30的解集；（3）当x1，2时，f（x）2x-2恒成立，求实数a的取值范围4.已知函数f（x）=x2-1，g（x）=a|x-1|（1）若函数h（x）=|f（x）|-g（x）只有一个零点，求实数a的取值范围；（2）当a-3时，求函数h（x）=|f（x）|+g（x）在区间-2，2上的最大值答案详解1.已知函数f（x）=2x+2-xa（常数aR）（1）若a=-1，且f（x）=4，求x的值；（2）若a4，求证函数f（x）在1，+）上是增函数；（3）若存在x0，1，使得f（2x）f（x）2成立，求实数a的取值范围解：（1）由a=-1，f（x）=4，可得2x-2-x=4，设2x=t，则有t-t-1=4，即t2-4t-1=0，解得t=2，当t=2+时，有2x=2+，可得x=log2(2+)当t=2-时，有2x=2-，此方程无解故所求x的值为log2(2+) （2）设x1，x21，+），且x1x2，则f(x1)-f(x2)=(2x1+2-x1a)-(2x2+2-x2a)=(2x1-2x2)+a=(2x1+x2-a)由x1x2，可得2x12x2，即2x1-2x20，由x1，x21，+），x1x2，得x1+x22，故2x1+x240，又a4，故2x1+x2a，即2x1+x2-a0，所以f（x1）-f（x2）0，即f（x1）f（x2），故函数f（x）在1，+）上是增函数（3）因为函数f（x）=2x+2-xa，存在x0，1，f（2x）f（x）222x+2-2xa22x+2a+2-2xa22-2x（a2-a）+2a0设t=2-2x，由x0，1，可得t，1，由存在x0，1使得f（2x）f（x）2，可得存在t，1，使得（a2-a）t+2a0，令g（t）=（a2-a）t+2a0，故有g()=(a2-a)+2a0或g（1）=（a2-a）+2a0，可得-7a0即所求a的取值范围是（-7，0）2.已知函数f（x）=x2+（x-1）|x-a|（1）若a=-1，解方程f（x）=1；（2）若函数f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围；（3）若a1且不等式f（x）2x-3对一切实数xR恒成立，求a的取值范围解析：（1）当a=-1时，f（x）=x2+（x-1）|x+1|，故有，f(x)= ，当x-1时，由f（x）=1，有2x2-1=1，解得x=1，或x=-1当x-1时，f（x）=1恒成立，方程的解集为x|x-1或x=1（2）f(x)= 若f（x）在R上单调递增，则，解得a，当a时，f（x）在R上单调递增（3）设g（x）=f（x）-（2x-3），则g(x)=，不等式f（x）2x-3对一切实数xR恒成立，等价于不等式g（x）0对一切实数xR恒成立a1，当x（-，a）时，g（x）单调递减，其值域为（a2-2a+3，+），a2-2a+3=（a-1）2+22，g（x）0成立当xa，+）时，由a1，知a，g（x）在x=处取得最小值，令g()=a+3-0，解得-3a5，又a1，-3a1综上，a-3，1）3.已知函数f（x）=x|x-a|+2x-3（1）当a=4，2x5，求函数f（x）的最大值与最小值；（2）若xa，试求f（x）+30的解集；（3）当x1，2时，f（x）2x-2恒成立，求实数a的取值范围解析：（1）当a=4时，f（x）=x|x-4|+2x-3，2x4时，f（x）=x（4-x）+2x-3=-（x-3）2+6，当x=2时，f（x）min=5；当x=3时，f（x）max=6当4x5时，f（x）=x（x-4）+2x-3=（x-1）2-4，当x=4时，f（x）min=5；当x=5时，f（x）max=12综上所述，当x=2或4时，f（x）min=5；当x=5时，f（x）max=12（2）若xa，f（x）+3=xx-（a-2），当a2时，xa-2，或x0，因为aa-2，所以xa；当a=2时，得x0，所以xa；当a2时，x0，或xa-2，若0a2，则xa；若a0，则x0综上可知：当a0时，所求不等式的解集为a，+）；（10分）当a0时，所求不等式的解集为（0，+）（12分）（3）当x1，2时，f（x）2x-2，即x|x-a|1-x-ax-ax+因为x-在x1，2上增，最大值是2-=，x+在x1，2上增，最小值是2，故只需a2故实数a的取值范围是a24.已知函数f（x）=x2-1，g（x）=a|x-1|（1）若函数h（x）=|f（x）|-g（x）只有一个零点，求实数a的取值范围；（2）当a-3时，求函数h（x）=|f（x）|+g（x）在区间-2，2上的最大值解：（1）函数h（x）=|f（x）|-g（x）只有一个零点，即h（x）=|f（x）|-g（x）=|x2-1|-a|x-1|只有一个零点，显然x=1是函数的零点，即|x+1|-a=0无实数根，a0；（2）h（x）=|f（x）|+g（x）=）=|x2-1|+a|x-1|=，当1x2时，a-3，-，当x=2时，h（x）的最大值为h（2）=a+3；当-2x-1时，-，当x=-2时，h（x）的最大值为h（-2）=3a+3；当-1x1时，h（x）的最大值为maxh（-1），h（1），h（-）=max2a，0，a2+a+1=a2+a+1，函数h（x）最大值为h（a）=.