高三数学函数综合题训练(含详解).doc

高三函数综合题
1.已知函数f（x）=2x+2-xa（常数a∈R）．
（1）若a=-1，且f（x）=4，求x的值；
（2）若a≤4，求证函数f（x）在[1，+∞）上是增函数；
（3）若存在x∈[0，1]，使得f（2x）＞[f（x）]2成立，求实数a的取值范围．

2.已知函数f（x）=x2+（x-1）|x-a|．
（1）若a=-1，解方程f（x）=1；
（2）若函数f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围；
（3）若a＜1且不等式f（x）≥2x-3对一切实数x∈R恒成立，求a的取值范围．

3.已知函数f（x）=x|x-a|+2x-3．
（1）当a=4，2≤x≤5，求函数f（x）的最大值与最小值；
（2）若x≥a，试求f（x）+3＞0的解集；
（3）当x∈[1，2]时，f（x）≤2x-2恒成立，求实数a的取值范围．

4.已知函数f（x）=x2-1，g（x）=a|x-1|．
（1）若函数h（x）=|f（x）|-g（x）只有一个零点，求实数a的取值范围；
（2）当a≥-3时，求函数h（x）=|f（x）|+g（x）在区间[-2，2]上的最大值．

答案详解
1.已知函数f（x）=2x+2-xa（常数a∈R）．
（1）若a=-1，且f（x）=4，求x的值；
（2）若a≤4，求证函数f（x）在[1，+∞）上是增函数；
（3）若存在x∈[0，1]，使得f（2x）＞[f（x）]2成立，求实数a的取值范围．
解：（1）由a=-1，f（x）=4，可得2x-2-x=4，设2x=t，
则有t-t-1=4，即t2-4t-1=0，解得t=2±，当t=2+时，有2x=2+，可得x=log2(2+)．
当t=2-时，有2x=2-，此方程无解．故所求x的值为log2(2+)．
（2）设x1，x2∈[1，+∞），且x1＞x2，
则f(x1)-f(x2)=(2x1+2-x1a)-(2x2+2-x2a)=(2x1-2x2)+a=(2x1+x2-a)
由x1＞x2，可得2x1＞2x2，即2x1-2x2＞0，由x1，x2∈[1，+∞），x1＞x2，得x1+x2＞2，故2x1+x2＞4＞0，
又a≤4，故2x1+x2＞a，即2x1+x2-a＞0，所以f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
故函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．
（3）因为函数f（x）=2x+2-xa，存在x∈[0，1]，
f（2x）＞[f（x）]2⇔22x+2-2xa＞22x+2a+2-2xa2⇔2-2x（a2-a）+2a＜0
设t=2-2x，由x∈[0，1]，可得t∈[，1]，由存在x∈[0，1]使得f（2x）＞[f（x）]2，
可得存在t∈[，1]，使得（a2-a）t+2a＜0，令g（t）=（a2-a）t+2a＜0，
故有g()=(a2-a)+2a＜0或g（1）=（a2-a）+2a＜0，
可得-7＜a＜0．即所求a的取值范围是（-7，0）．
2.已知函数f（x）=x2+（x-1）|x-a|．
（1）若a=-1，解方程f（x）=1；
（2）若函数f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围；
（3）若a＜1且不等式f（x）≥2x-3对一切实数x∈R恒成立，求a的取值范围．
解析：1）当a=-1时，f（x）=x2+（x-1）|x+1|，故有，f(x)= ，

当x≥-1时，由f（x）=1，有2x2-1=1，解得x=1，或x=-1．
当x＜-1时，f（x）=1恒成立，
∴方程的解集为{x|x≤-1或x=1}．
（2）f(x)=

若f（x）在R上单调递增，则，解得a≥，∴当a≥时，f（x）在R上单调递增．

（3）设g（x）=f（x）-（2x-3），则g(x)=，
不等式f（x）≥2x-3对一切实数x∈R恒成立，等价于不等式g（x）≥0对一切实数x∈R恒成立．∵a＜1，
∴当x∈（-∞，a）时，g（x）单调递减，其值域为（a2-2a+3，+∞），∵a2-2a+3=（a-1）2+2≥2，∴g（x）≥0成立．
当x∈[a，+∞）时，由a＜1，知a＜，g（x）在x=处取得最小值，
令g()=a+3-≥0，解得-3≤a≤5，又a＜1，∴-3≤a＜1．综上，a∈[-3，1）．
3.已知函数f（x）=x|x-a|+2x-3．
（1）当a=4，2≤x≤5，求函数f（x）的最大值与最小值；
（2）若x≥a，试求f（x）+3＞0的解集；
（3）当x∈[1，2]时，f（x）≤2x-2恒成立，求实数a的取值范围．
解析：（1）当a=4时，f（x）=x|x-4|+2x-3，
①2≤x＜4时，f（x）=x（4-x）+2x3=-（x-3）2+6，
当x=2时，f（x）min=5；当x=3时，f（x）max=6
②当4≤x≤5时，f（x）=x（x-4）+2x-3=（x-1）2-4，
当x=4时，f（x）min=5；当x=5时，f（x）max=12
综上所述，当x=2或4时，f（x）min=5；当x=5时，f（x）max=12
（2）若x≥a，f（x）+3=x[x-（a-2）]，
当a＞2时，x＞a-2，或x＜0，因为a＞a-2，所以x≥a；
当a=2时，得x≠0，所以x≥a；
当a＜2时，x＞0，或x＜a-2，①若0＜a＜2，则x≥a；②若a≤0，则x＞0
综上可知：当a＞0时，所求不等式的解集为[a，+∞）；（10分）
当a≤0时，所求不等式的解集为（0，+∞）（12分）
（3）当x∈[1，2]时，f（x）≤2x-2，即x•|x-a|≤1⇔-≤x-a≤⇔x-≤a≤x+
因为x-在x∈[1，2]上增，最大值是2-=，
x+在x∈[1，2]上增，最小值是2，故只需≤a≤2．故实数a的取值范围是≤a≤2．
4.已知函数f（x）=x2-1，g（x）=a|x-1|．
（1）若函数h（x）=|f（x）|-g（x）只有一个零点，求实数a的取值范围；
（2）当a≥-3时，求函数h（x）=|f（x）|+g（x）在区间[-2，2]上的最大值．
解：（1）∵函数h（x）=|f（x）|-g（x）只有一个零点，即h（x）=|f（x）|-g（x）=|x2-1|-a|x-1|只有一个零点，显然x=1是函数的零点，∴即|x+1|-a=0无实数根，∴a＜0；
（2）h（x）=|f（x）|+g（x）=）=|x2-1|+a|x-1|=，
当1＜x≤2时，∵a≥-3，∴-≤，当x=2时，h（x）的最大值为h（2）=a+3；
当-2≤x＜-1时，≥-，当x=-2时，h（x）的最大值为h（-2）=3a+3；
当-1≤x≤1时，h（x）的最大值为max{h（-1），h（1），h（-）}=max{2a，0，a2+a+1}=a2+a+1，
∴函数h（x）最大值为h（a）=.