黑龙江省哈尔滨市2020届高三数学5月模拟复课联考试题-理.doc

黑龙江省哈尔滨市2020届高三数学5月模拟复课联考试题 理

黑龙江省哈尔滨市2020届高三数学5月模拟复课联考试题 理

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黑龙江省哈尔滨市2020届高三数学5月模拟复课联考试题 理（含解析）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出集合A，再求出集合B的补集，然后求即可.
【详解】解：由，得，，
所以 ，
因为，所以
所以.
故选：A
【点睛】此题考查集合的基本运算，属于基础题.
2.已知复数满足.若，则t的值为（ ）
A. -1 B. -2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由复数求模长的方式表示，进而构建方程求得参数.
【详解】因为复数满足，则，，解得.
故选：D
【点睛】本题考查利用复数的模长求参数，属于基础题.
3.向量在正方形网格中的位置如图所示.若向量与共线,则实数（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由图像，根据向量的线性运算法则，可直接用表示出，进而可得出.
【详解】由题中所给图像可得：，又 ，所以.
故选D
【点睛】本题主要考查向量的线性运算，熟记向量的线性运算法则，即可得出结果，属于基础题型.
4.设，满足约束条件，则的最大值为（ ）
A. 0 B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，作出可行域，又，它表示区域内动点与原点连线的斜率，利用数形结合即可求解.
【详解】
可行域如图所示．又，它表示区域内动点与原点连线的斜率，其最大值为直线的斜率，而，故，所以的最大值为．
故答案为：D
【点睛】本题考查线性规划问题，利用数形结合的方法求解即可，属于基础题.
5.已知函数，则下列说法正确的是
A. 的最小正周期为 B. 的最大值为2
C. 的图像关于轴对称 D. 在区间上单调递减
【答案】C
【解析】
【分析】
利用余弦型函数的图像与性质逐一判断即可.
【详解】∵f（x）＝sin4x﹣cos4x＝sin2x﹣cos2x＝﹣cos2x，
∴函数的最小正周期T＝π，
∵f（﹣x）＝﹣cos（﹣2x）＝﹣cos2x＝f（x），
∴f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，
∵f（x）＝cos2x在[，]上单调递减，故f（x）＝﹣cos2x在[，]上单调递增．
故选C．
【点睛】本题考查余弦函数的单调性、对称性以及最值，三角函数的周期公式，以及平方关系、二倍角的余弦公式的应用，熟练掌握函数的性质与公式是解题的关键．
6.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，该作中有题为“李白沽酒”“李白街上走，提壶去买酒．遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒．借问此壶中，原有多少酒？”，如图为该问题的程序框图，若输出的值为0，则开始输入的值为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先执行程序，依次求出每次的输出结果，当输出结果为0时，求出此时的值，因此输入框里的输入的值是此时的值，从中选出正确的答案.
【详解】模拟程序的运行，可得
当时，，满足条件，执行循环体；
当时，，满足条件，执行循环体；
当时，，不满足条件，退出循环体，输出，
所以，.
所以本题答案为B.
【点睛】本题考查了通过输出结果写出输入框中输入的值，正确按程序框图写出每次循环后的结果，是解题的关键.
7.设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
∵a＝log3π>log33＝1，b＝log2<log22＝1，∴a>b，又＝＝(log23)2>1，∴b>c，故a>b>c.
8.我国明代著名乐律学家、明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个键到下一个键的8个白键与5个黑键（如图）的音频恰好构成一个等比数列的原理，高音的频率正好是中音的2倍．已知标准音的频率为，那么频率为的音名是（ ）

A. d B. f C. e D. d
【答案】D
【解析】
【分析】
的音比的频率低，故可将的频率记为第一项，的音设为第项，则这个数列是以为第一项，以为公比的等比数列，代入等比数列的通项公式可得．
【详解】从第二个单音起，每一个单音的频率与它的左边一个单音的频率的比．故从起，每一个单音的频率与它右边的一个单音的比为
由，解得，
频率为的音名是，
故选D.
【点睛】本题考查等比数列的通项公式及其性质，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．
9.在正四棱锥中，已知异面直线与所成的角为，给出下面三个命题：
：若，则此四棱锥的侧面积为；
：若分别为的中点，则平面；
：若都在球的表面上，则球的表面积是四边形面积的倍.
在下列命题中，为真命题的是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
因为异面直线与所成的角为，AD平行于BC，故角PBC=，正四棱锥 中，PB=PC，故三角形PBC是等边三角形；当AB=2，此四棱锥的侧面积为，故是假命题；
取BC的中点G，分别为的中点故得，故平面EFG//平面PAB，从而得到EF//平面PAB，故是真命题；
设AB=a, AC和BD的交点为O，则PO垂直于地面ABCD，PA＝ａ，AO＝，PO＝
O为球心，球的半径为，表面积为 ,又正方形的面积为,故为真．
故为真； 均为假．
故答案为A．
10.把方程表示的曲线作为函数的图象，则下列结论正确的是（ ）
①在R上单调递减
②的图像关于原点对称
③的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为3
④函数不存在零点
A. ①③ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】
讨论的正负情况得到函数解析式，画出图象，根据图象结合两点间距离公式和双曲线渐近线得到答案.
【详解】，当，时不成立；当，时，；
当，时，；当，时，；
画出图像，如图所示：

由图判断函数在R上单调递减，故①正确，②错误.
由图判断图象上的点到原点距离的最小值点应在，的图象上，
即满足，设图象上的点，
，当时取最小值3，故③正确；
当，即，函数的零点，就是函数和的交点，而是曲线，，和，，的渐近线，所以没有交点，
由图象可知，和，，没有交点，
所以函数不存在零点，故④正确.
故选：C.
【点睛】本题考查了函数的单调性，对称性，零点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，画出图象是解题的关键.
11.设实数，若对任意的正实数x，不等式恒成立，则m的最小值为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由条件可得不等式恒成立即恒成立，设函数，分析出的单调性,将问题转化为恒成立，由单调性即恒成立，即，设，求出的导数得到其单调性，从而得到的最大值，得出答案.
【详解】∵，，∴，当时，不等式显然成立，
当时，原不等式可变形为，
设函数，，
当，，∴当时，递增，
则不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，，设，则，
当时，，当时，，
∴在递增，递减，，
故选:A.
【点睛】本题主要考查不等式恒成立的问题，考查对数与指数的相互转化，导数性质的应用，体现了转化的思想，关键是构造出合适的函数.属于中档题.
12.已知双曲线C：（）左、右焦点分别为，过的直线l与双曲线C的左支交于A、B两点.若，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设，利用余弦定理，结合双曲线的定义进行求解即可.
【详解】设，由双曲线的定义可知：因此再由双曲线的定义可知：，在三角形中，由余弦定理可知：
，因此双曲线的渐近线方程为：
.
故选：D
【点睛】本题考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了双曲线的渐近线方程，考查了数学运算能力.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知，则________________.
【答案】
【解析】
【分析】
先利用诱导公式对化简，然后利用余弦的二倍角公式化简，再结合同角三角函数的关系转化为正切可求得结果.
【详解】，
故答案为：
【点睛】此题考查诱导公式，同角三角函数的关系，二倍角公式，属于基础题.
14.等差数列，的前n项和分别为，，若，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
由等差数列的性质和前项和公式可得，，从而有得出答案.
【详解】由为等差数列可得，
同理可得，所以.
故答案为：
【点睛】本题考查等差数列的性质，等差数列的前项和公式，属于基础题.
15.若，则的展开式中的常数项的最小值为__________．
【答案】
【解析】
的展开式的通项为
则其常数项为
即答案为
16.已知抛物线的焦点为F，，是抛物线C上的两个动点，若，则的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据抛物线的定义，结合余弦定理、基本不等式和余弦函数的单调性进行求解即可.
【详解】抛物线的准线方程为：，
所以由已知，得，
因为
，
因为，所以，
因此的最大值为.
故答案为：
【点睛】本题考查了抛物线定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了基本不等式的应用，考查了余弦函数的单调性应用，考查了数学运算能力.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，.
（1）求的面积；
（2）若，求b的值.
【答案】（1）4；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据二倍角公式求出，再求出，然后根据向量的数量积和三角形的面积公式即可求出答案；
（2）根据余弦定理即可求出答案.
【详解】解：（1）因为，所以，
显然，所以，
又由，所以，
所以；
（2）由（1）知，，又，
所以，
得.
【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，涉及向量的数量积和三角形的面积公式以及二倍角公式，属于中档题．
18.为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查.已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为n的样本，得到一周参加社区服务时间的统计数据如下：

超过1小时
不超过1小时
男
20
8
女
12
m

（1）求m，n；
（2）能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？
（3）从该校学生中随机调查60名学生，一周参加社区服务时间超过1小时的人数记为X，以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，求X的分布列和数学期望.
附：
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828

K2.
【答案】（1）n＝48；m＝8（2）没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关（3）详见解析
【解析】
【分析】
（1）根据分层抽样方法，计算比例，即可求解；
（2）补全列联表，按照公式计算，根据独立性检验，可得结论；
（3）根据题意，以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，计算概率为，符合二项分布，求出分布列，计算期望.
【详解】（1）根据分层抽样法，抽样比例为，
∴n＝48；
∴m＝48﹣20﹣8﹣12＝8；
（2）根据题意完善2×2列联表，如下；

超过1小时
不超过1小时
合计
男生
20
8
28
女生
12
8
20
合计
32
16
48

计算，
所以没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关；
（3）参加社区服务时间超过1小时的频率为，
用频率估计概率，从该校学生中随机调査60名学生，则X～B（60，），
所以，k＝0，1，2，3，…，60；
.
【点睛】本题考查（1）分层抽样方法和列联表（2）独立性检验（3）离散型随机变量的分布列和期望，考查计算能力，考查数据分析和整理，属于中等题型.
19.如图，在四棱台中，，O分别为上、下底面对角线的交点，平面，，，底面是边长为2的菱形，且.

（1）证明：平面；
（2）若M为棱的中点，求平面与底面所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由底面是菱形可证，由线面垂直的性质定理可知，最后由线面垂直的判定定理得证结论；
（2）以O为原点建立空间直角坐标系，分别计算平面与底面的法向量，由空间向量数量积求得夹角的余弦值.
【详解】（1）证明：∵底面是菱形，∴.
∵平面，∴，
∵，∴平面.
（2）解，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，得，
，，
设平面的法向量，则，
可取.
而底面的一个法向量，
设平面与底面所成的锐二面角为，
则
【点睛】本题考查空间中线面垂直的证明，还考查了利用空间向量的方式求空间二面角的余弦值，属于中档题.
20.记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”.已知椭圆，以椭圆E的焦点为顶点作相似椭圆M.

(1)求椭圆M的方程；
(2)设直线l与椭圆交于两点，且与椭圆仅有一个公共点，试判断的面积是否为定值(为坐标原点)？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1);(2)6.
【解析】
分析：(Ⅰ)由相似椭圆的定义可得，椭圆的离心率，由长轴的顶点为(-2，0)，(2，0)，于是可得，从而可得椭圆的方程；(Ⅱ)设直线 .
由得，，利用判别式为零可得，联立与，利用韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式以及三角形面积公式可得.
详解：(Ⅰ)由条件知，椭圆的离心率，且长轴的顶点为(-2，0)，(2，0)，
∴椭圆的方程为.
(Ⅱ)当直线的斜率存在时，设直线 .
由得，.
令得，.
联立与，化简得.
设A()，B()，则
∴，而原点O到直线的距离
∴.
当直线的斜率不存在时，或，则，原点O到直线的距离，
∴.
综上所述，的面积为定值6.
点睛：本题主要考查椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及椭圆的切线，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
21.已知函数.
（1）试讨论的单调性；
（2）若函数在定义域上有两个极值点，试问：是否存在实数，使得？
【答案】（1）见解析 （2）存在；
【解析】
【分析】
（1）求得函数的导数，结合基本不等式，分类讨论，即可得出函数的单调区间；
（2）由函数在定义域上有两个极值点，即方程在上有两个不相等的实数根，转化为方程在上有两个不相等实数根，结合二次函数的性质，求得，令，即可求解.
【详解】（1）由题意，函数的定义域为，
则，
因为，当且仅当，即时取“等号”，
所以，
当时，在上恒成立，则此时在上单调递增，
当时，，
令，解得，，
由，
而，故.
由可得或，
即此时在，上单调递增；
由可得，
即此时在上单调递减；
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
（2）因为，
由题知方程在上有两个不相等的实数根，
即方程在上有两个不相等实数根，
因此有，解得，
这时，，
于是

.
令，解得，满足.
所以存在实数，使得.
【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及存在性问题的求解，其中解答中认真审题，合理转化与构造，结合导数与函数的关系求解是解答的关键，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，属于难题．
22.如图，在极坐标系中，过极点的直线与以点为圆心、半径为2的圆的一个交点为，曲线是劣弧，曲线是优弧.

（1）求曲线的极坐标方程；
（2）设点为曲线上任意一点，点在曲线上，若，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先求出圆的极坐标方程，再求出劣弧上的点的极角的范围后可得曲线的极坐标方程；
（2）利用极坐标方程得到，结合题设条件及三角变换可求的值.
【详解】解：（1）设以点为圆心、半径为2的圆上任意一点，
所以该圆的极坐标方程为，
因为，则的方程为.
（2）由点为曲线上任意一点，
则，其中
点在曲线上，
则，其中，故.
因为，，
所以，
即.
因为，所以，即，
而，故，所以.
【点睛】本题考查圆的极坐标方程以及圆上的弧的极坐标方程，在极坐标系中考虑线段的长度、角的大小计算等问题时，可借助三角变换、解三角形等来计算.
23.已知函数
（1）当时，证明：；
（2）若的值域为，且，解不等式.
【答案】（1）证明见解析
（2）或
【解析】
【分析】
(1)根据绝对值的三角不等式以及基本不等式证明即可.
(2)值域为可利用绝对值的三角不等式得,再根据求得参数的值,再分情况解不等式即可.
【详解】（1）证明：
当且仅当时,取等号
（2）,
又
由题意可得或或
故原不等式的解集为或
【点睛】本题主要考查了绝对值不等式中三角不等式的运用以及基本不等式的方法.同时也考查了绝对值不等式分类讨论的解法,属于中等题型.