四川省凉山州2020届高三数学第三次诊断性检测试题-文.doc

四川省凉山州2020届高三数学第三次诊断性检测试题 文

四川省凉山州2020届高三数学第三次诊断性检测试题 文

年级：
姓名：

- 25 -

四川省凉山州2020届高三数学第三次诊断性检测试题 文（含解析）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
解出集合、中的不等式即可.
【详解】因为，
所以
故选：B
【点睛】本题主要考查的是集合的运算，较简单.
2. 已知（i是虚数单位），则( )
A. 3 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由复数运算化简求解
【详解】
故选：C
【点睛】本题考查复数的运算，考查运算能力，是基础题
3. 若，则“是”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据充分条件和必要条件关系，利用推出关系得充分不必要条件
【详解】
若，则即，
若即，
则或，
所以若，则“是”的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】此题考查充分条件与必要条件的辨析，关键在于熟练掌握判断方法，利用条件之间的推出关系进行辨析.
4. 如图所示的程序框图，若输出的y的值为2，则输入的x的值为( )

A. 4 B. C. 2或 D. 4或
【答案】D
【解析】
【分析】
根据程序框图，对分类讨论，求解即可.
【详解】当时，，
当时，或（舍去）.
故选：D
【点睛】本题考查选择结构框图的应用，准确理解程序框图的含义是解题的关键，属于基础题.
5. 已知正项等比数列，向量，若，则( )
A. 12 B. 16 C. 18 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量的数量积公式得出，结合等比数列的性质，即可得出答案.
【详解】

或（舍）

故选：C
【点睛】本题主要考查了等比数列基本性质的应用，属于中档题.
6. 已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边经过点，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先化简，根据三角函数的定义可求得,结合余弦的二倍角公式即可求得的值
【详解】因为，角终边经过点
由三角函数定义可得
根据余弦的二倍角公式得
故选:A
【点睛】本题考查了三角函数的定义,余弦二倍角公式的应用,属于基础题.
7. 若双曲线与抛物线有相同的焦点，则该双曲线的两条渐近线的夹角为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求出抛物线焦点坐标，根据双曲线求出b，求出渐近线方程和渐近线倾斜角即可得解.
【详解】抛物线的焦点坐标为，
即是双曲线的一个焦点坐标，
所以，渐近线方程为，两条渐近线的倾斜角分别为30°和150°，所以其夹角为60°.
故选：B
【点睛】此题考查求抛物线的焦点坐标，根据双曲线焦点坐标求解参数，结合渐近线方程求直线夹角.
8. 设函数与函数的对称轴完全相同，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
分别求出两个函数的对称轴，利用对称轴完全相同，即可求得的值．
【详解】由题意，求函数的对称轴，
令，解得
函数，
令，解得，
因为函数与函数的对称轴完全相同，
所以，
故选：C.
【点睛】该题考查的是三角函数的问题，涉及到的知识点有三角函数的性质，考查学生的计算能力，属于简单题目．
9. 已知为平面区域内的两个动点，向量 ，则的最大值是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
据题意，由于M，N为平面区域内的两个动点，则不等式组表示的为三角形区域，根据向量的数量积，由于（当且仅当与共线同向时等号成立）从而求得最大值.
【详解】
由图知，不等式组表示的为三角形区域，根据向量的数量积，
由于（当且仅当与共线同向时等号成立），
即当所在直线平行于所在直线且方向相同的时候得到大值，与平行的直线是，
且的最大长度为直线与的交点与直线和的交点的距离.
而，
故可知答案为．
故选：C
【点睛】解决的关键是对于不等式区域的准确表示，同时能利用向量的数量积来表示得到目标函数，利用（当且仅当与共线同向时等号成立）得到结论．
10. 小明有一卷纸，纸非常的薄且紧紧缠绕着一个圆柱体轴心卷成一卷，它的整体外貌如图所示，纸卷的直径为12厘米，轴的直径为4厘米.当小明用掉的纸后，则剩下的这卷纸的直径最接近于( )

A. 6厘米 B. 7厘米 C. 8厘米 D. 9厘米
【答案】B
【解析】
【分析】
根据卷纸的体积关系建立等式求解.
【详解】设小明用掉的纸后，则剩下的这卷纸的直径为x厘米，卷纸高为h，
，
解得：，
则x接近7厘米.
故选：B
【点睛】此题考查利用圆柱的体积公式解决实际问题，关键在于熟练掌握体积公式，根据实际问题列出方程求解.
11. 已知长方体的体积，若四面体的外接球的表面积为S，则S的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设出，根据体积可得，借助长方体，表示出四面体的外接球的表面积为S，利用基本不等式可求最小值.
【详解】设，因为，所以；
根据长方体的对称性可知四面体的外接球即为长方体的外接球，
所以外接球半径；
，
当且仅当时，取到最小值.
故选：C.

【点睛】本题主要考查多面体的外接球，利用常见模型，建立棱长和外接球半径间的关系是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养.
12. 已知函数的图象关于直线对称，且当时，.若，，，则的大小关系是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数图象平移的性质判断出函数的对称性，结合导数判断出函数在时的单调性，最后利用单调性，结合对数的运算性质和对数函数的单调性进行大小比较即可.
【详解】因为函数的图象向左平移1个单位长度，得到的图象，
而函数的图象关于直线对称，
所以的图象关于对称，即关于纵轴对称，因此是偶函数.
因此，
当时，，
因为，所以，即，所以在时，单调递增，
因为，所以，即

，
，因为，所以，即.
故选：D
【点睛】本题考查了利用函数单调性比较函数值大小问题，考查了导数的应用，考查了对数函数的性质，考查了数学运算能力.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知，若，则_____.
【答案】
【解析】
【分析】
由向量平行的坐标公式求解即可.
【详解】
，解得
故答案为：
【点睛】本题主要考查了由向量平行求参数，属于基础题.
14. 如图，是圆O的直径，，假设向该圆随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为_______.

【答案】
【解析】
【分析】
求出三角形ABC的面积和圆的面积根据几何概型公式求解.
【详解】如图，是圆O的直径，，设圆的半径为r，
所以，圆O的面积为，
所以向该圆随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为.
故答案为：
【点睛】此题考查求几何概型概率，关键在于准确求解圆的面积和三角形的面积，根据面积之比得概率.
15. 设的内角所对的边分别为，若，，,则______.
【答案】
【解析】
【分析】
建立坐标系，写出向量的坐标，根据建立等量关系，可求出.
【详解】因为，所以三点共线；
以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图，则；
设，因为，所以，所以，
；
因为，
所以，解得；
故答案为：.

【点睛】本题主要考查平面向量的运算，向量运算优先考虑坐标运算，根据已知条件构建等量关系是求解关键，侧重考查数学运算的核心素养.
16. 阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.①若定点为，写出的一个阿波罗尼斯圆的标准方程__________；②△中，，则当△面积的最大值为时，______.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
（1）设动点为，则或，化简即得阿波罗尼斯圆的标准方程；
（2）设，，得到点的轨迹方程是，再求出圆的半径为，解方程即得解.
【详解】（1）设动点为，则或，
所以或，
化简得.
所以的一个阿波罗尼斯圆的标准方程为.
（2）设，，
因为，
所以，
所以，点的轨迹是图中的圆.
当△面积的最大值为时，轴，此时就是圆的半径，
所以圆的半径为.
所以.
故答案为：；.

【点睛】本题主要考查新定义，考查轨迹方程的求法，考查圆的方程的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.
三、解答题（解答过程应写出必要的文字说明，解答步骤共70分）
17. 为等差数列的前n项和，已知.
（1）求及；
（2）设，数列的前n项和为，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）设数列的公差为d，将已知条件转化为关系，利用公式即可求解；
（2）根据通项公式有，用裂项相消法求出，即可证明结论.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，则
由得： ①
又
即 ②
由①②解得：

（2）由（1）得：
数列的前n项和

由，显然随n的增大而增大.，即
【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n项公式基本量的计算，考查裂项相消法求数列和，属于中档题.
18. 州电视台为了解州卫视一档中华诗词类节目的收视情况，抽查东西区各5个县，统计观看该节目的人数的数据得到如下的茎叶图（单位：百人）.其中一个数字被污损.

（1）求西部各县观看该节目的观众的平均人数超过东部各县观看该节目的平均人数的概率；
（2）该节目的播出极大地激发了观众对中华诗词学习的热情，现从观看节目的观众中随机统计了4位观众学习诗词的周平均时间y（单位：小时）与年龄x（单位：岁）的关系，如下表所示：
x
20
30
40
50
y
2.5
3
4
4.5

根据表中的数据，试求线性回归方程，并预测年龄为60岁的观众学习诗词的时间.
（参考公式）
【答案】（1）；（2），5.25小时.
【解析】
【分析】
（1）计算平均值，得到不等式，解不等式得到，再计算概率得到答案.
（2）直接利用回归方程公式得到回归方程，再代入数据计算得到答案.
【详解】（1）设被污损的数字为x，，
则，，
由题意得：，即，即，
所以西部各县观看该节目的观众的平均数超过东部各县观看该节目的观众的平均数的概率为.
（2）由已知得：，，
，
，
，，
回归直线方程为，当时，，
即年龄为60岁的观众学习诗词的时间为5.25小时.
【点睛】本题考查了计算平均值，概率的计算，回归方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.
19. 如图，四面体中，分别是的中点，,.

（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由中位线定理可证得，从而得证；
（2）先由勾股定理证得，再由，可证得平面，从而可得即为所求，在中求解即可.
【详解】（1）证明：在中，分别是的中点
又平面，平面
平面

（2）解：连接
在中，且O是的中点

在中，
为等腰直角三角形
又O是的中点
且
在中，即
而
平面
直线与平面所成的角为，
在中，分别是的中点

在中，

即直线与平面所成的角的余弦值为.
【点睛】本题主要考查了线面平行的证明及线面角的求解，解题的关键是利用好线面垂直找线面角，属于基础题.
20. 已知函数.
（1）设函数在点处的切线方程为，求a的值.
（2）若曲线与曲线至少有一条公共切线，求a的取值范围.
【答案】（1）3；（2）.
【解析】
【分析】
(1)先对函数求导，根据导数的几何意义即可求解；(2)先求出函数在点处的切线方程，然后与联立消去，转化为关于的二次方程，利用表示为关于的函数，利用导数判断单调性即可求出a的取值范围.
【详解】（1）,
,
.
又函数在处的切线方程为,
，即，即.
（2）设公切线l与函数相切于点，
则由，得,
公切线l为：,
即.
由得：,
直线l与曲线相切,
，即
设，则,
由，得；又由得,
函数在上单增，在上单减,
, ,
与曲线至少有一条公切线时，a的取值范围为.
【点睛】本题主要考查根据导数的几何意义求参数，利用导数研究函数的最值，属于能力提升题.
21. 已知椭圆，右顶点，上顶点为B，左右焦点分别为，且，过点A作斜率为的直线l交椭圆于点D，交y轴于点E.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P为的中点，是否存在定点Q，对于任意的都有？若存在，求出点Q；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，.
【解析】
【分析】
（1）根据题中所给的条件，结合椭圆的性质，得到，，从而得到椭圆的方程；
（2）解法一，首先设直线直线，与椭圆方程联立，利用韦达定理以及中点坐标公式得到P点坐标，从而有，假设存使得，利用向量数量积等于零，从而求得结果.解法二，利用点差法
【详解】（1）由题意得：
在中，，，
，，，
椭圆方程为
（2）解法一：设直线
令，则，
将*代入整理得
设，则，
，
设，为的中点
，

设存在使得，则，
，即对任意的都成立
，，存在使得
解法二：设，，
，① ，②
由①-②，得
为中点，
，
，
设存在使得，
则，即
对任意都成立，即，，
存在使得
【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有椭圆方程的求解，直线与椭圆的位置关系，关于是否存在类问题，在解题的过程中，注意假设存在，利用条件建立等量关系，进而得到结果.
请考生在第22、23两题中选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
选修4-4：坐标系与参数方程
22. 在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.两点的极坐标分别为，曲线C的参数方程为（为参数）.
（1）求两点的直角坐标及曲线C的普通方程；
（2）设P是曲线C上任意一点（P不在y轴上），若直线，分别交轴于点，，试问是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）、；；（2）是，4.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，直接得到两点的直角坐标；根据曲线参数方程，消去参数，得出曲线的普通方程；
（2）先设，得到直线，的方程，求出，，再计算，即可得出结果.
【详解】（1）两点的直角坐标为：、
由得

曲线C得普通方程为
（2）设
，令
同理，令
，

为定值.
【点睛】本题主要考查极坐标与直角坐标的互化，考查参数方程与普通方程的互化，以及参数的方程的应用，属于常考题型.
选修4-5：不等式选讲
23. 已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）设不等式的解集为M，若，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）将代入，通过讨论的范围，去掉绝对值，解各个区间上的的范围，取并集即可；
（2）问题转化为，求出的范围，得到关于的不等式组，解出即可.
【详解】（1）时，
或，解之得：或
∴不等式的解集为
（2）不等式的解集为M，且，
依题意不等式在上恒成立，
∴，
∴

当时，M为，显然不满足；
当时，
，即，
综上，a的取值范围为.
【点睛】本题主要考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，属于中档题.