安徽省滁州市定远县育才学校2020-2021学年高二数学下学期开学考试试题-理.doc

安徽省滁州市定远县育才学校2020-2021学年高二数学下学期开学考试试题 理

安徽省滁州市定远县育才学校2020-2021学年高二数学下学期开学考试试题 理

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12

安徽省滁州市定远县育才学校2020-2021学年高二数学下学期开学考试试题 理
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1. 命题“若，则”的逆否命题是
A. 若，则，或 B. 若，则
C. 若或，则 D. 若或，则
2. “函数在区间上有零点”是“”的条件．
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 非充分非必要
3. 已知则下列判断正确的是
A. p假q假 B. “”为真 C. “”为真 D. p假q真
4. 命题p：，的否定是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
5. 已知，分别是平面，的法向量，若，则
A. B. C. D. 2
6. 执行如图所示的程序框图，则输出S的结果为     
A.
B.
C.
D.

7. 若将曲线上的点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的，得到曲线，则曲线的方程为   
A. B. C. D.
8. 某校对高三年级学生的数学成绩进行统计分析．全年级同学的成绩全部介于80分与150分之间，将他们的成绩按照，，，，，，分组后得到的频率分布直方图如图所示．现从全体学生中根据成绩采用分层抽样的方法抽取80名同学的试卷进行分析，则从成绩在内的学生中抽取的人数为
A. 24 B. 36 C. 20 D. 28
9. 已知直线：和直线：，抛物线上一动点P到直线和的距离之和的最小值是 
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10. 已知，是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若是正三角形，则这个椭圆的离心率为
A. B. C. D.
11. 已知F为双曲线的左焦点，为C右支上的点．若，点在直线PQ上，则的周长为   
A. 12 B. 28 C. 44 D. 60
12. 设空间两个不同的单位向量，与向量1，的夹角都等于，则的大小为    ．
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 盒子里装有6个红球，4个白球，从中任取3个球．设事件A表示“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B表示“3个球中有2个红球，1个白球”已知，，则这3个球中既有红球又有白球的概率是________．
14. 己知命题“，使”是假命题，则实数a的取值范围是______
15. 已知F为抛物线C：的焦点，点A，B在抛物线上，且分别位于x轴的上、下两侧，若的面积是为坐标原点，且，则直线AB的斜率是________．
16. 过抛物线的焦点作直线l，直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为，则________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17. （10分）设，命题q：，，命题p：，满足．
若命题是真命题，求a的范围；
为假，为真，求a的取值范围．

18. （12分）由于疫情，学生在家经过了几个月的线上学习，某高中学校为了了解学生在家学习情况，复学后进行了复学摸底考试，并对学生进行了问卷调查，下表单位：人是对高二年级数学成绩及“认为自己在家学习态度是否端正”的问卷调查的统计结果，其中成绩不低于120分为优秀，成绩不低于90分且小于120分的为及格，成绩小于90分的为不及格．

优秀
及格
不及格
学习态度端正
91
300
a
学习态度不端正
9
200
322
按成绩用分层抽样的方法在高二年级中抽取50人，其中优秀的人数为5．
求a的值；
用分层抽样的方法在及格的学生中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人学习不端正的概率；
在及格的学生中随机抽取了10人，他们的分数见如图所示的茎叶图，已知这10名学生的平均分为，求的概率．

19. （12分）已知椭圆的上顶点M与左、右焦点构成的的面积为，又椭圆C的离心率为．
Ⅰ求椭圆C的方程；
Ⅱ椭圆C的下顶点为N，过点的直线TM，TN分别与椭圆C交于E，F两点．若的面积是的面积的k倍，求k的最大值．

20. （12分）已知，分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上除右顶点之外的一点．
若，求的面积
若该双曲线与椭圆有共同的焦点且过点，求内切圆的圆心轨迹方程．

21. （12分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，，，并整理得到如图所示的频率分布直方图．

Ⅰ从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
Ⅱ已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间内的人数；
Ⅲ已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．

22. （12分）如图，已知抛物线F：，斜率分别为，的直线，过焦点F且交抛物线于A，B两点和C，D两点．
Ⅰ若弦AB上一点在准线上的投影为E，，，成等差数列，求抛物线的方程；
Ⅱ若，直线，的倾斜角互补，求四边形ACBD面积的最大值．

高二数学（理）答案
1. D 2. D 3. B 4. B 5. B 6. A 7. A
8. A 9. A 10. C 11. C 12. D
13.   
14.   
15.   
16. 24  
17. 解：真，则或得；
q真，则，得，
命题是真命题，
均为真命题．
的范围为．
由为假，为真、q同时为假或同时为真，
若p假q假，则
若p真q真，则，
综上或．
的取值范围为：．  
18. 解：设高二年级总人数为n人，由题意得，所以 
则  
设所抽样本中有x人学习态度端正的学生，由题意得，即 
因此抽取的容量为5的样本中，有2人学习态度不端正，3人学习态度端正．
用，表示2人学习态度不端正，用，，表示3人学习态度端正，用E表示事件“在该样本中任取2人，其中至少有1人学习态度不端正”，
则基本事件空间包含的基本事件有：，，，，，，，，，共10个．事件E包含的基本事件有：，，，，，，共7个．
故，即所求概率为 
记事件A为“”，因为数据的平均数为，
 所以，
 解得  
  所以 a和b取值共有9种情况，它们是：，，，，，，  
    ，，，
  其中有4种情况，它们是：，，，， 
  所以的概率 

19. 解：椭圆离心率，
又，，
解得，，
椭圆C的方程为．
，
直线TM的方程为：，
联立，得，
，
直线TN的方程为：，
联立，得，
，
到直线TN：的距离：
，

，
，
，
令，则，
当且仅当，即时，等号成立，
的最大值为．  
20. 解：设，，由双曲线的定义可得，
由余弦定理得，
，
所以，
的面积为．
如图所示，，，

设内切圆与x轴的切点是点H，内切圆的圆心为点M，
，与内切圆的切点分别为A，B，
由双曲线的定义可得，
即，
又，，，
所以，
即．
设点M的横坐标为x，则点H的横坐标为x，
所以，即．
因为双曲线与椭圆有共同的焦点且过点，
所以，，
所以，，
故内切圆的圆心轨迹方程为．

21. 解：Ⅰ根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为，
所以样本中分数小于70的频率为．
所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计值为．
Ⅱ根据题意，样本中分数不小于50的频率为
 ，
故样本中分数小于50的频率为．
故分数在区间内的人数为．
所以总体中分数在区间内的人数估计为．
Ⅲ由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为．
所以样本中分数不小于70的男生人数为．
所以样本中的男生人数为，
样本中的女生人数为，
所以估计总体中男生和女生人数的比例为．

22. 解：Ⅰ因为，，成等差数列，
所以，所以G为AB的中点．
设，，所以，，
将A，B的坐标代入抛物线的方程可得，，
两式相减可得，
即有，
所以，即，解得，
所以抛物线的方程为；
Ⅱ由题意可得，则，设直线的方程为，
与抛物线的方程联立，可得，
设，，，，
所以，，同理可得，，
所以．
点C到直线AB的距离为，
点D到直线AB的距离，
由题意可得，，，，
则

，
当且仅当时取得等号，
所以四边形ACBD的面积的最大值为32．