浙江省丽水市2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题.doc

浙江省丽水市2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题

浙江省丽水市2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题

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浙江省丽水市2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）
一、选择题
1.直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角．
【详解】直线的斜率，
则，
所以直线的倾斜角,
故选：A
【点睛】本题主要考查直线倾斜角的求法，直线的斜率，属于基础题．
2.已知向量，，若与平行，则实数的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据向量平行坐标表示列方程，解得结果.
【详解】因与平行，所以
故选：D
【点睛】本题考查向量平行坐标表示，考查基本分析求解能力，属基础题.
3.不等式的解集是（ ）
A. 或 B. 或
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由原不等式可化为，直接根据一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】由得：，
，
，
即不等式的解集为，
故选：C
【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于容易题.
4.若直线与直线互相垂直，则实数的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
由两直线垂直的性质可得．
【详解】因为直线与直线互相垂直，
所以，得．
故选：D．
【点睛】本题考查两直线垂直的充要条件．斜率存在的两直线垂直的充要条件是斜率乘积为－1，一般情况下直线与垂直的充要条件是．
5.已知角的终边经过点，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角函数定义列方程，解得，再根据三角函数定义求结果.
【详解】由三角函数定义得
由三角函数定义得
故选：C
【点睛】本题考查三角函数定义，考查基本分析求解能力，属基础题.
6.记等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A. 36 B. 72 C. 55 D. 110
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等差数列前n项和性质得，再根据等差数列性质求.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
因为，
所以.选C.
【点睛】本题考查等差数列前n项和性质以及等差数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题.
7.已知，，，且，则的值（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】
先根据同角三角函数平方关系求 ，再根据两角和正弦公式求得，即得的值.
【详解】因为，，所以；
因为，，所以，
，
因为
，又，所以
故选：B
【点睛】本题考查同角三角函数平方关系、两角和正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
8.如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设，
【详解】解：设，
∵，
∴，
∴，
∴，∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题．
9.已知函数的最小正周期为，将函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数在上是增函数
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数是奇函数
D. 函数的图象关于点中心对称
【答案】A
【解析】
【分析】
由辅助角公式及周期公式可求得，再根据图象变换可求得，再根据整体法和三角函数的性质逐一判断各选项即可．
【详解】解：∵，
∴，得，
∴，
∴，
对于A，由得，，此时单调递减，则函数单调递增，则A对；
对于B，由得，，则B错；
对于C，，则函数是偶函数，则C错；
对于D，由得，，则D错；
故选：A．
【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换，属于基础题．
10.已知实数满足，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用1的代换，结合基本不等式求最值.
【详解】
,
当且仅当时取等号
故选：B
【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.
11.已知数列满足，，，则数列的最小项为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先判断数列为等比数列，再根据等比数列通项公式求，根据叠乘法得数列的通项公式，最后根据二次函数性质以及自变量范围确定最小值.
【详解】，，
所以数列为等比数列，首项为，公比为4，所以
当时
因为时，所
因此当或时，取最小值
故选：D
【点睛】本题考查等比数列的判断、等比数列通项公式、叠乘法求通项、利用二次函数性质求最值，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.
12.已知函数，，记，，则的最大值与的最小值的差为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求交点横坐标，再转化、，结合图象确定的最大值与的最小值的取法，最后作差得结果.
【详解】令，
则

作图象，由图可知实线部分为，虚线部分为

因此的最大值为，的最小值为，
从而的最大值与的最小值的差为，
故选：B
点睛】本题考查二次函数图像、分段函数最值，考查数形结合思想方法以及基本分析求解能力，属中档题.
二、填空题
13.点到直线的距离是______；过点且与直线平行的直线方程为______.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
根据点到直线距离公式求解；所求直线与斜率相等，点斜式写出直线方程即可.
【详解】设点到直线的距离为，
则，
的斜率，
所求直线方程为，即，
故答案为：；
【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，直线平行，直线方程的点斜式，属于中档题.
14.已知，则______；______.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
利用平方关系求出的值，再根据诱导公式和商数关系求的值.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以.
.
故答案为：；.
【点睛】本题主要考查同角的平方关系和商数关系的应用，考查诱导公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
15.已知数列的前项和，则______.______.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
先利用求出，在利用裂项求和即可的值.
【详解】
，
，
当时，.
故，满足

又

故答案为：；.
【点睛】本题考查和的关系求通项公式，以及裂项求和，解题关键是掌握裂项求和的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
16.已知某扇形的周长是，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数是______.
【答案】2
【解析】
【分析】
由扇形的周长和面积，可求出扇形的半径及弧长，进而可求出该扇形的圆心角.
【详解】设扇形的半径为，所对弧长为，则有，解得，故.
故答案为：2.
【点睛】本题考查扇形面积公式、弧长公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
17.若，则下列结论中：①；②；③；④.所有正确结论的序号是______.
【答案】①③
【解析】
【分析】
根据正负证明①正确；举例说明②错误；利用不等式性质说明③正确④错误.
【详解】，所以①正确；
当时，满足，但，所以②错误；
，所以③正确；
，所以④错误；
故答案为：①③
【点睛】本题考查利用不等式性质判断大小，考查基本分析判断能力，属基础题.
18.若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
先转化为，再根据两函数图象，确定边界位置，即得结果.
【详解】关于的不等式在上有解，即关于的不等式在上有解，作出两函数图象，其中由与相切得；
由过点得.
由图可知，

故答案为：
【点睛】本题考查不等式有解问题，考查数形结合思想方法以及基本分析求解能力，属中档题.
19.已知非零向量，若与的夹角为，与的夹角为，且，，则的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
设，，，根据与的夹角为，与的夹角为可知四点共圆，再结合余弦定理建立关系，通过不等式即可求解的最大值.
【详解】设，，.
则，.
又，，此时，、、、四点共圆.如图，

在三角形中，由正弦定理得，
即，
可得，
由那么
可得
在中，由余弦定理可得
，
（当且仅当取等号）
则
故答案为：21
【点睛】本题考查了向量的加减运算和夹角公式的应用，基本不等式求解最值问题，属于中档题.
三、解答题
20.在中，角所对的边分别是，满足.
（1）求角的大小；
（2）若，的面积，求的周长.
【答案】（1）；（2）9.
【解析】
【分析】
（1）根据余弦定理直接求解；
（2）先根据三角形面积公式得，再利用余弦定理求得，即可求出周长.
【详解】解：（1）∵，∴，
∴，∵，∴.
（2）
∴
又∵，即
∴
∴的周长为.
【点睛】本题考查余弦定理、三角形面积公式,考查基本分析求解能力，属基础题.
21.已知向量，，记函数.
（1）求函数在上的取值范围；
（2）若为偶函数，求的最小值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）先根据向量数量积坐标表示化简、再根据二倍角正弦公式与余弦公式、辅助角公式化简函数为，最后根据余弦函数性质求值域；
（2）先根据为偶函数求得，再求的最小值.
【详解】解：（1）

则∵，

∴的取值范围为.
（2）因为为偶函数，
所以

因此当时.
【点睛】本题考查向量数量积、二倍角正弦公式与余弦公式、辅助角公式、余弦函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题.
22.已知数列中，，且，，成等差数列，数列是公比大于1的等比数列.
（1）求数列的通项公式及其前项和.
（2）设，求证：.
【答案】（1）；；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）设数列的公比为，由等差中项及等比数列的通项建立方程求解方程即可得通项公式，利用错位相减法求和即可；
（2）由（1）及可得，利用基本不等式可得，求和即可得证.
【详解】（1）设数列的公比为，则，，
所以，，
又，所以，，
或（舍）
所以，
∴.
，
.
两式相减，得，
∴.
（2）∵，
∴
∴

【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，等差中项的性质，错位相减法，基本不等式，属于中档题.
23.已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，若函数在上的最小值为0，求的值；
（3）当时，若函数在上既有最大值又有最小值，且恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）单调递减区间为；（2）或；（3）或.
【解析】
【分析】
（1）将代入函数解析式，去掉绝对值符号，将函数写出分段函数的形式，结合二次函数的单调性，写出函数的单调递减区间；
（2）将函数解析式化为分段函数的形式，对的范围进行讨论，从而确定函数的最小值点，相互对照，求得结果；
（3）首先根据题意，判断出函数在区间上存在最值的条件，利用恒成立，转化得出对应的不等关系，进而求得其范围.
【详解】（1）当时，
由二次函数单调性知在单调递减，在单调递减，
∴的单调递减区间为
（2）
当时，在单调递减，单调递增，单调递减，
（i）当即时，
∴（舍去）
（ii）由得
当，即时，
∴，符合题意.
（iii）当，即时，
∴，符合题意.
综上所述，或.
（3）当时，由，可知
由可知
要使恒成立
∵
又∵
∴，∴
∴或.
【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有分段函数的单调区间，根据分段函数的最值求参数，有关恒成立问题的转化，属于较难题目.