浙江省三校联盟2019-2020学年高一数学下学期6月联考试题.doc

浙江省三校联盟2019-2020学年高一数学下学期6月联考试题

浙江省三校联盟2019-2020学年高一数学下学期6月联考试题

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浙江省三校联盟2019-2020学年高一数学下学期6月联考试题（含解析）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知集合，则集合A的子集的个数为（ ）
A. 16 B. 15 C. 8 D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】
根据集合中的元素个数可求得子集个数.
【详解】集合中包含3个元素    ∴集合的子集个数为：个
故选：C
【点睛】本题考查集合的子集的个数，属于基础题.
2.若，则一定成立的不等式是（　　）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用赋值法，排除错误选项，从而确定出正确答案.
【详解】因为，
令，则 ，故A是错的，
令，则 ，故B是错的，
令，则，故D是错的，
由不等式的性质可知.
故选：C.
【点睛】本题考查的是有关不等式的性质问题，在解题的过程中，需要对不等式成立的条件要把握好，要死死咬住不等式的性质，可以求得结果，也可以应用赋值法求解，这个比较简单.
3.若直线与直线平行，则的值为（ ）
A. B. 1 C. 2或 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
由平行可得，解之，排除重合的情形即可.
【详解】解：∵直线与直线平行，
∴，即，
解得或，经验证当时，直线重合应舍去，
故选：D.
【点睛】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题.
4.已知公差不为零的等差数列满足，为数列的前n项和，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知求出和的关系，再计算得比值．
【详解】设公差为，则由得，∵，∴，
，，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查等差数列的前项和，解题关键是求出和关系．
5.函数的图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先判断函数的奇偶性可排除A、D，然后取极限，分析函数值的正负，即可判断选项.
【详解】，
，
即函数为偶函数，故排除A、D；
，
所以，故排除B；
故选：C
【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，识别函数图像，属于中档题.
6.已知函数与，它们的图象有一个横坐标为的交点，将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象的一条对称轴方程为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由两图象交点横坐标求得，再由图象变换得新解析式，然后可检验或直接求出对称轴方程后判断．
【详解】由题意，因为，∴，
∴，平移后新图象解析式为，
由得，只有A满足．
故选：A．
【点睛】本题考查三角函数的图象变换，考查余弦函数的对称性，掌握余弦函数的性质是解题关键．
7.已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由诱导公式和同角间的三角函数关系（平方关系）计算．
【详解】，
，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查诱导公式和同角间的三角函数关系，三角函数中公式较多，解题关键是确定“已知角”和“未知角”之间的关系，以选用恰当的公式化简求值．
8.对于定义在R上的函数，若存在非零实数，使函数在和上与x轴都有交点，则称为函数的一个“界点”.则下列函数中，不存在“界点”的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可将有“界点”转换为至少有两个不同的零点，因此，根据函数性质，一一分析选项中函数的零点个数即可.
【详解】A项中，，其对应二次方程的判别式，
因此与轴有两个不同的交点，故有“界点”；
B项中，，令，解得或，故有“界点”；
C项中，，，则在上单调递增，
因此与轴不可能有两个交点，故没有“界点”；
D项中，，则2和4均为函数的零点，故有“界点”.
故选：C.
【点睛】本题以新定义为背景，考查函数零点的应用，需要学生具备一定的分析理解能力，属于中档题.
9.已知平面向量，，，满足，且，则的最大值为（ ）
A. 2 B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可得与夹角为，且与，成等角，均为，展开，利用向量在向量方向上投影的概念化为关于的函数，再由二次函数求最值.
【详解】由，
可得与夹角为，且与，成等角，均为，
设，，，
由，
得，
则，

，
当时，
的最大值为.
故选：B.
【点睛】本题主要考查向量的有关概念.属于中档题.
10.已知数列满足：，，，其中为的前n项和.若对任意的n均有恒成立，则正数k的最大值为（ ）
A. B. 2 C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】
首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用函数的单调性判断参数的范围．
【详解】当n≥1时，由条件，
可得，
整理可得，
化简得：
从而
故，
因为，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
则，即
依题意只需
令
则，

当时，，故，
当时，，故，
所以
，
故选：A
【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于难题．
二、填空题（本大题共7小题，第11－14题，每题6分，第15－17题每题4分，共36分.）
11.已知直线，，若，则的倾斜角为__________，此时，原点到的距离为__________.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
由两直线垂直得斜率，即得值，可得倾斜角，由点到直线距离公式可得距离．
【详解】由题意，因为，所以，，即直线的斜率为，倾斜角为，
直线方程为，原点到的距离为．
故答案为：；．
【点睛】本题考查两直线垂直的条件，考查直线的倾斜角和点到直线的距离公式．在两条直线斜率都存在时，两直线垂直等价于斜率乘积为－1．
12.《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之栗五斗，羊主曰：“我羊食半马，”马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，问各出几何？其意为：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，苗主人要求赔偿五斗栗，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”；现打算按此比例偿还，问牛的主人应赔偿__________斗栗，羊主人应偿还__________斗栗.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
设牛主应赔偿，马主赔偿，羊主应赔偿，则，，成公比为的等比数列，利用等比数列的通项公式即可求解.
【详解】由题意设羊主应赔偿，马主赔偿，牛主应赔偿，
则，，成公比为的等比数列，
所以，解得，所以，
故答案为：；
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，需熟记公式，属于基础题.
13.在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，，，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
由正弦定理得出的等式，然后利用二倍角公式化简变形可求得．
【详解】因为，又，所以，
由正弦定理得．即，∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查正弦定理、考查二倍角的正弦公式，属于基础题．解题关键是由三角形内角和定理得出．
14.已知函数，当时，__________；若函数的最大值为，则实数a的值为__________.
【答案】 (1). (2). 0
【解析】
【分析】
，按分段函数定义计算函数值，分类讨论，按最大值是时的1或者是时的计算后验证．
【详解】时，，
时，，若，则，此时时，，满足题意，
时，，首先即或，才有可能最大值是，
当时，在上单调递增，，不合题意，
当时，，若，则，均不合题意，
综上．
故答案为：；0．
【点睛】本题考查分段函数，计算分段函数函数值需要分类讨论，根据自变量的大小按定义取相应的表达式计算．考查了分类讨论思想，运算求解能力．
15.已知，且，则最小值是__________．
【答案】.
【解析】
分析：先把化成，再求其最小值.
详解：由题得
当且仅当时取等.
故答案为.
点睛：（1）本题主要考查基本不等式求函数的最值，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2)本题的解题关键是常量代换，即把化成，再利用基本不等式求函数的最小值. (3)利用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”，三个条件缺一不可.
16.若关于x的方程在内有两个不同的实数解，则实数m的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用换元法，结合三角函数的性质以及一元二次方程与一元二次函数之间的关系进行求解即可.
【详解】设，则，
则原方程等价于在内有唯一解，
即或，
解得或，
故答案为：
【点睛】本题主要考查函数与方程应用， 利用换元法转化为一元二次函数和一元二次方程是解决本题的关键.
17.已知平面向量，满足，且.若存在实数和单位向量，使不等式成立，则实数t的最大值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
原题等价于，由可得为上一点，设为单位圆上的，根据题意设，，，,由向量运算可得，转化为利用对称性求距离之和的最值.可得答案.
【详解】原题等价于

由，，设
设，，,为单位圆上的点
设，即
则,所以,则为上一点，设为中点.
所以
圆心到直线的距离为，故圆与直线相离.
作关于对称点，则
又,所以
由对称性有，即轴,所以

所以，则
所以实数t的最大值为
故答案为：

【点睛】
本题考查向量不等式能成立问题，构造不等式解不等式是关键，考查对称问题，两点之间线段最短，“将军饮马”模型的使用,属于难题.
三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
18.已知函数，向量，，在锐角中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角A的大小；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）由数量积的坐标表示求出，并利用二倍角公式、两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，代入可求解；
（2）由（1）求出角范围，从而得的范围，结合诱导公式和余弦函数性质可得结论．
【详解】（1）由题意，
，又为锐角，∴．
（2）由（1），又均为锐角，所以，，
，
∴．
【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示，考查二倍角公式、两角和的正弦公式、余弦函数的性质．本题属于中档题，考查了学生的运算求解能力．
19.已知直线.
（1）若已知直线l不经过第二象限，求k的取值范围；
（2）已知点，，若点A、B到直线l的距离相等，求直线l的方程.
【答案】（1）；（2）或
【解析】
【分析】
（1）首先求出直线过定点，再根据直线不经过第二象限，列出关于k的不等式组，求出k的取值范围即可.
（2）利用点到直线的距离公式，列方程即可求解.
【详解】（1）
令，则，直线恒过定点，即直线恒过第一象限，
由
且直线不经过第二象限，可得，
解得.
（2）根据可知点A、B在直线外，
所以，
解得或,
所以直线l的方程为：或
【点睛】本题考查了由直线得位置关系求参数的取值范围、点到直线的距离公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
20.如图，在中，已知，，，E，F分别是线段AB，AC上的点，且，，其中，M，N分别是线段EF，BC的中点.

（1）求证：；
（2）若，求的最小值.
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据向量的线性运算证明即可；
（2）把用表示后平方，把模转化为数量积的运算，化为的二次函数，由二次函数的知识得最小值．
【详解】（1）证明：由已知一方面，另一方面，
因为分别是中点，所以，，
所以，所以；
（2）∵，，∴，，
∴，
又，
，
所以时，，所以的最小值为．
【点睛】本题考查向量的线性运算，向量的模与数量积的关系，在平面向量运算中常常利用把模转化为数量积．
21.已知数列满足，，，，且是等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）①求证：为等比数列；
②记，求数列的前n项和.
【答案】（1）（2）①证明见解析②
【解析】
【分析】
(1 )根据条件计算，求出公比，由等比数列的通项公式求解;(2 )①根据等比数列的定义证明
②由①知，代入可得，错位相减法求和即可.
【详解】（1）

是等比数列，
公比，

（2）①

又
是首项为，公比为的等比数列；
②由①可知，
，
，

，
两式相减得：

，

【点睛】本题主要考查了等比数列的定义，通项公式，错位相减法求和，考查了运算能力，推理能力，属于难题.
22.已知函数.
（1）当时，求函数在上的最大值与最小值；
（2）若，记，对任意，总有，求a的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质即可求出函数的最值；
问题转化为只需当时，，分类讨论，根据函数的单调性即可求出．
【详解】当时，，
，
当时，，
当时，.
由题意可知：，
要使得对任意，，总有，
只需当时，，
当时，在上单调递增，
即：，
所以，
所以，不合题意舍去；
当时
，
Ⅰ当即时，在上单调递增，解得，
Ⅱ即时，在上单调递增，上单调递减，
可得，
解得，
Ⅲ即时，在上单调递减，所以，
即得，
综上：.
【点睛】本题考查了不等式恒成立问题的转化，注意运用函数的单调性，考查了函数最值的求法，同时考查分类讨论的思想方法.属于较难题．