云南省云天化中学高中联盟学校2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题.doc

云南省云天化中学高中联盟学校2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题

云南省云天化中学高中联盟学校2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题

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云南省云天化中学高中联盟学校2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）
一、选择题（共12小题）.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用对数的定义域化简集合A，利用一元二次不等式的解法化简集合B,，然后进行交集的运算求解.
【详解】∵，，
∴.
故选：B.
【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及对数函数的定义域求法，一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
2. 已知直线过圆的圆心，且与直线平行，则的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由圆的方程可得圆心坐标，再由两直线平行则斜率相等求得直线l的斜率，然后利用直线方程的点斜式得答案.
【详解】圆的圆心为，
因为与直线平行，所求直线的斜率为2，
则直线的方程为，即.
故选：D.
【点睛】本题考查直线方程的求解问题，涉及到由圆的一般方程确定圆心、直线的平行关系的应用等知识；关键是明确两直线平行则斜率相等.
3. 已知，则在方向上的投影为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意可求，然后利用求解.
【详解】∵，，
∴，
∴在方向上的投影为:
.
故选：A.
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题.
4. 在中，内角，，C所对的边分别为a，b，c，已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式，结合，可得，
根据题意可求范围，根据正弦函数的图象和性质即可求解的值.
【详解】解：∵，
∴由正弦定理可得：，
∴
，
∴，
又∵，∴，
∴，可得，，
又，∴.
故选：C.
【点睛】本题考查正弦定理和三角恒等变换的运用，考查运算求解能力，求解时注意角的范围.
5. 函数图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的一个可能取值是（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
将函数的图象向左平移个单位长度，得的图象，根据所得图象关于轴对称，即可得出的一个取值.
【详解】把函数的图象向左平移个单位长度，
可得的图象，
根据所得图象关于轴对称，
可得，，，
则的一个可能取值为，
故选：B.
【点睛】本题考查三角函数的图像变换，考查函数的对称性，属于基础题.
6. 等差数列中，，则数列前11项和（ ）
A. 12 B. 60 C. 66 D. 72
【答案】C
【解析】
【分析】
由等差数列的求和公式结合等差数列的性质可得求解.
【详解】在等差数列中，，
所以
所以
.
故选：C.
【点睛】本题主要考查等差数列性质以及对称数列的前n项和公式，属于基础题.
7. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用指数函数、对数函数的单调性直接求解.
【详解】∵，
，
，
∴a，b，c的大小关系为.
故选：B.
【点睛】本题考查指数式、对数式比大小问题，较简单.一般地，解决这类问题利用指数函数和对数函数的单调性比较，有时也需要和中间桥梁“0”或“1”比较.
8. 已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，将圆的方程变形为标准方程，分析其圆心与半径，求出圆心到直线的距离，结合直线与圆的位置关系可得，计算可得答案.
【详解】根据题意，圆，
即，
其圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
又由圆截直线所得弦的长度为4，
则有，解可得.
故选：D.
【点睛】本题考查直线和圆相交弦长的计算，属于基础题.
9. 已知中，，且，点，是边的两个三等分点，则（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】
由知，，根据平面向量的线性运算可推出
，，故，展开后代入数据进行运算即可.
【详解】解：∵，∴，
∵点是边的三等分点，
∴.
同理可得，，
∴.
故选：B.
【点睛】本题考查平面向量数量积运算、模的运算、平面向量基本定理，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意基底的选择.
10. 若，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由于，所以先由已知条件求出，的值，从而可求出答案
【详解】，
因为，，
所以，，
因为，，
所以，，
则．
故选：C
【点睛】此题考查同角三角函数的关系的应用，考查两角差的余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.
11. 已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.
详解：因为是定义域为的奇函数，且，
所以,
因此，
因为，所以，
，从而，选C.
点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
12. 直线与圆相交于，两点，若，为圆上任意一点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
取的中点，连接、，由点到直线的距离公式可得，于是推出，，而，
，其中，从而得解.
【详解】解：取的中点，连接、，则，

∵，
∴点到直线的距离，
在中，，
∴，
∴，
∴

，
当，同向时，取得最小值，为；
当，反向时，取得最大值，为.
∴的取值范围为.
故选：A.
【点睛】本题考查点到直线距离公式、向量的数量积运算、直线与圆的方程，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查运算求解能力.
二、填空题（共4小题.）
13. 设，满足约束条件则最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．
详解】作出可行域，如图四边形内部（含边界），作直线，向上平移直线，减小， 过点时，取得最小值．
故答案为：．

【点睛】本题考查简单的线性规划，解题关键是作出可行域
14. 等比数列的各项均为正数，且，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意利用等比数列的性质求得的值，再利用对数的运算性质，求得结果.
【详解】解：等比数列{an}的各项均为正数，
且，∴，
则
，
故答案为：.
【点睛】本题考查等比中项的性质，考查运算求解能力，求解时注意对数运算法则的运用.
15. 在中，角，，C所对的边分别为a，b，c，，的平分线交于点，且，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可.
【详解】如图所示，则的面积为，
即，∴.
∴.
当且仅当即时取等号.
所以，a+3c的最小值为8+4.
故答案为：8+4.

【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查三角形的面积公式和角平分线性质的应用，考查分析和计算能力，属于基础题.
16. 已知，，则的值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据得到， 将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式可求，的值，然后利用二倍角公式化简求解.
【详解】∵，，
∴，
∴，
∵，两边平方，
可得，，
∴.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查三角函数的同角基本关系式以及倍角公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 圆内有一点，过点作直线交圆于，两点.
（1）当直线的倾斜角为时，求弦的长；
（2）当弦被点平分时，写出直线的方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，再求出直线的方程，由点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，再由垂径定理求弦长；
（2）当弦被点平分时，，求出所在直线当斜率，可得直线的斜率，再由直线方程的点斜式得答案.
【详解】（1）化圆为，
圆心坐标为，半径.
直线的倾斜角为，则斜率为1，
又直线过点，则直线方程为
，即.
圆心到直线的距离，圆的半径为，
则弦的长为；
（2）当弦被点平分时，.
又，∴直线的斜率为，
则直线的方程为，
即.
【点睛】本题考查直线与圆相交弦长的求法，考查直线方程的求法，属于基础题.
18. 已知函数，数列满足：，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和；
（3）若，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）直接利用函数的关系式和数列的递推关系式求出数列的通项公式.
（1）利用（2）的结论，进一步利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和.
（2）利用裂项相消法求出数列的和.
【详解】（1）函数，
由于数列满足：，.
所以（常数），
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列.
所以.
（2）由（1）得，
所以①，
②，
①-②得，
整理得.
（3）
所以.
【点睛】本题考查了利用递推关系求通项公式，考查了错位相减法和裂项相消法，方法特征比较明显，有一定量的计算，属于中档题.
19. 在中，角，，C所对的边分别为a，b，c，它的面积为且满足，.
（1）求角的大小；
（2）当时，求，的值.
【答案】（1）；（2）或
【解析】
【分析】
（1）利用已知条件，结合三角形的面积，通过余弦定理，转化求解的大小即可.
（2）利用余弦定理结合，求解即可.
【详解】解：（1）由，
得：，
化简得，∴，
又，∴.
（2）由（1）及余弦定理得：，
∴，与联立：
，
解之得：或.
【点睛】本题考查正余弦定理的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.
20. 已知数列满足：，且，，成等差数列；
（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析，；（2）
【解析】
【分析】
（1）直接利用等比数列的定义和构造新数列法求出数列的通项公式.
（2）利用（1）的结论，进一步利用分组法求出数列的和.
【详解】解：（1）数列满足：，且，，成等差数列；
所以，整理得，
故，
所以（常数），
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列.
所以，
整理得.
（2）由（1）得：，
所以
.
【点睛】本题考查等差数列性质、等比数列通项公式、分组求和法，考查运算求解能力.
21. 已知向量，，设函数，且的图象过点和点.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）将的图象向左平移（）个单位后得到函数的图象.若的图象上各最高点到点的距离的最小值为1，求的单调增区间.
【答案】（I）.
（II）函数的单调递增区间为.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用向量的数量积坐标运算公式代入函数式整理化简，将函数过的点和点代入就可得到关于的方程，解方程求其值；（Ⅱ）利用图像平移的方法得到的解析式，利用最高点到点的距离的最小值为1求得角，得，求减区间需令解的范围
试题解析：（1）由题意知．
的过图象过点和，
所以即解得
（2）由（1）知．
由题意知．
设的图象上符合题意的最高点为，
由题意知，所以，即到点（0，3）的距离为1的最高点为（0，2）．
将其代入得，因为，所以，
因此．
由Z得Z，
所以函数的单调递增区间为
考点：1.三角函数化简与性质；2.图像平移

22. 已知圆，直线.
（1）求证：对，直线与圆总有两个不同的交点；
（2）设与圆交于不同的两点，，求弦的中点的轨迹方程；
（3）若定点分弦为，求此时直线的方程.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或.
【解析】
【分析】
（1）根据直线过定点，且在圆内证明；
（2）当与不重合时，连接，，则，可得，设，代入整理可得的轨迹方程；
（3）设，，由，得，可得，联立直线方程与圆的方程，得到，解得，代入联立消元后的方程求解.
【详解】（1）因为直线过定点，
又
所以圆内，
所以对，直线与圆总有两个不同的交点；
（2）如图所示，

当与不重合时，连接，，则，
∴.
设，则，
化简得：；
当与重合时，，也满足上式，
故弦的中点的轨迹为；
（3）设，，
由，得，
∴，化简得①
又由，消去得（*）.
∴，②
由①②解得，代入（*）整理得.
∴直线的方程为或.
【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系以及 中点弦问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.