2023届新高考数学题型全归纳之排列组合专题05 分堆问题含解析.pdf

2023届新高考数学题型全归纳之排列组合专题5分堆问题例1.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（）A.每人都安排一项工作的不同方法数为5B.每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为C.如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为（c；c；+c；用D.每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊 都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是m+。；可例2.我省5名医学专家驰援湖北武汉抗击新冠肺炎疫情现把专家全部分配到4 B,。三个集中医疗点，每个医疗点至少要分配1人，其中甲专家不去/医疗点，则不同分配种数为（）A.116 B.100 C.124 D.90例3.现有6位萌娃参加一项“寻宝贝，互助行”的游戏活动，宝贝的藏匿地点有远、近两处，其中亮亮的 年龄比较小，要么不参与此项活动，但同时必须有另一位萌娃留下陪同；要么参与寻找近处的宝贝.所有参与 寻找宝贝任务的萌娃被平均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的寻找方案有（）A.10种 B.40 种 C.70 种 D.80 种例4.2019年4月，北京世界园艺博览会开幕，为了保障园艺博览会安全顺利地进行，某部门将5个安保小组全部安排到指定的三个不同区域内值勤，则每个区域至少有一个安保小组的排法有（）A.150 种 B.240 种 C.300 种 D.360 种例5.有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（）A.分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有90种分法；B.分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法；C.分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，有180种分法；D.分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分法；例6.将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有多少种？下列结 论正确的有（）.A.CCCC B.。浦 C.D.181例7.江夏一中高二年级计划假期开展历史类班级研学活动，共有6个名额，分配到历史类5个班级(每个 班至少0个名额，所有名额全部分完).(1)共有多少种分配方案？(2)6名学生确定后，分成月、B、C、。四个小组，每小组至少一人，共有多少种方法？(3)6名学生来到武汉火车站.火车站共设有3个“安检”入口，每个入口每次只能进1个旅客，求6人进 站的不同方案种数.例8.从6名男医生和3名女医生中选出5人组成一个医疗小组，请解答下列问题：(1)如果这个医疗小组中男女医生都不能少于2人，共有多少种不同的建组方案？(用数字作答)(2)男医生甲要担任医疗小组组长，所以必选，而且医疗小组必须男女医生都有，共有多少种不同的建组 方案？(3)男医生甲与女医生乙不被同时选中的概率.(化成最简分数)例9.现有5本书和3位同学，将书全部分给这三位同学.(1)若5本书完全相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？(2)若5本书都不相同，共有多少种分法？(3)若5本书都不相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？例10.有6本不同的书，在下列不同的条件下，各有多少种不同的分法？(1)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；(2)分成三组，一组4本，另外两组各1本；(3)甲得1本，乙得1本，丙得4本.例11.(1)3个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中，一共有多少种不同的放法？(2)3个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中，恰有2个空盒的放法共有多少种？例12.现有大小相同的7只球，其中2只不同的红球，2只不同的白球，3只不同的黑球.(1)将这7只球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，有多少种排列的方法？(请用数字作答)(2)将这7只球分成三堆，三堆的球数分别为：1,3,3,共有多少种分堆的方法？(请用数字作答)(3)现取4只球，求各种颜色的球都必须取到的概率.(请用数字作答)例13.现有7名师范大学应届毕业的免费师范生将被分配到育才中学、星云中学和明月湾中学任教.(1)若4人被分到育才中学，2人被分到星云中学，1人被分到明月湾中学，则有多少种不同的分配方案？(2)一所学校去4个人，另一所学校去2个人，剩下的一个学校去1个人，有多少种不同的分配方案？例14.如图，从左到右有5个空格.2（1）若向这5个格子填入0,1,2,3,4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0,则一共 有多少不同的填法？（2）若给这5个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝3颜色可供使用，问一共有多少不同的 涂法？（3）若向这5个格子放入7个不同的小球，要求每个格子里都有球，问有多少种不同的放法？例15.学校安排5名学生到3家公司实习，要求每个公司至少有1名学生，则有 种不同的排法.例16.现有7名志愿者，其中只会俄语的有3人，既会俄语又会英语的有4人.从中选出4人担任“一带一路”峰会开幕式翻译工作，2人担任英语翻译，2人担任俄语翻译，共有 种不同的选法.例17.从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和 内科医生都至少有1人的选派方法种数是（用数字作答）.例18.将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的 分配方案有 种（用数字作答）；专题5分堆问题例1.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（）A.每人都安排一项工作的不同方法数为夕B.每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为C.如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为（c；c；+c；c；）HD.每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是【解析】每人都安排一项工作的不同方法数为，即选项A错误，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为。；力：，即选项8错误，如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为：3C3cl C2 c2（-）4；，即选项。错误，分两种情况：第一种，安排一人当司机，从丙、丁、戊选一人当司机有C；,从余下四人中安排三个岗位c：c；c：W4故有C戏室；出月2；第二种情况，安排两人当司机,从丙、丁、戊选两人当司机有C；,从余下三人中安排三个岗位4；,故有C；，；所以每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是c；c：W+c；W，即选项。正确，故选：D.例2.我省5名医学专家驰援湖北武汉抗击新冠肺炎疫情现把专家全部分配到4 B,。三个集中医疗点,每个医疗点至少要分配1人，其中甲专家不去/医疗点，则不同分配种数为（）A.116 B.100 C.124 D.90【解析】根据已知条件，完成这件事情可分2步进行：第一步：将5名医学专家分为3组若分为3,1,1的三组，有C；=10种分组方法；C2 c之若分为2,2,1的三组，有二=15种分组方法，A2故有10+15=25种分组方法.第二步：将分好的三组分别派到三个医疗点，甲专家不去Z医疗点,可分配到尻。医疗点中的一个，有G=2种分配方法，再将剩余的2组分配到其余的2个医疗点，有=2种分配方法,则有2x2=4种分配方法.根据分步计数原理，共有25x4=100种分配方法.4故选：B.例3.现有6位萌娃参加一项“寻宝贝，互助行”的游戏活动，宝贝的藏匿地点有远、近两处，其中亮亮的 年龄比较小，要么不参与此项活动，但同时必须有另一位萌娃留下陪同；要么参与寻找近处的宝贝.所有参与 寻找宝贝任务的萌娃被平均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的寻找方案有（）A.10 种 B.40 种 C.70 种 D.80 种【解析】若亮亮不参与游戏，可以分二步完成萌娃的分配：安排一位萌娃陪同亮亮，有5种选择：从剩下的4 个萌娃选择2个去近处，有废=6种选择；最后剩下的2个去远处，完成分配，所以有5x6=30种方案.若亮亮参与游戏，可以分两步完成萌娃的分配：从5个萌娃选择2个和亮亮去近处，有C；=10种选择;剩下的3个萌娃去远处，完成分配，所以有10种方案.综上，不同的寻找方案有30+10=40种.故选：B.例4.2019年4月，北京世界园艺博览会开幕，为了保障园艺博览会安全顺利地进行，某部门将5个安保小组全部安排到指定的三个不同区域内值勤，则每个区域至少有一个安保小组的排法有（）A.150 种 B.240 种 C.300 种 D.360 种【解析】根据题意，三个区域至少有一个安保小组，所以可以把5个安保小组分成三组，有两种分法：按照1、1、3分组或按照1、2、2分组；若按照1、1、3分组，共有60种分组方法;丁x=02若按照1、2、2分组，共有X 4；=90种分组方法,4根据分类计数原理知共有60+90=150种分组方法.故选：A.例5.有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（）A.分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有90种分法;B.分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法;5C.分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，有180种分法；D.分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分法；【解析】对力，先从6本书中分给甲2本，有C：种方法；再从其余的4本书中分给乙2本，有种方法；最后的2本书给丙，有C；种方法.所以不同的分配方法有C；C：C；=90种，故/正确；对8,先把6本书分成3堆:4本、1本、1本，有种方法；再分给甲、乙、丙三人，所以不同的分配方法有。：力；=90种，故8正确；对C,6本不同的书先分给甲乙每人各2本，有种方法；其余2本分给丙丁，有另种方法.所以不同 的分配方法有种，故。正确；c2c2 cc1对。，先把6本不同的书分成4堆:2本、2本、1本、1本，有 J-刍_!_种方法；c2c2 c*c再分给甲乙丙丁四人，所以不同的分配方法有+团=1080种，故。错误.力；&故选：ABC.例6.将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有多少种？下列结 论正确的有().A.CCCC B.。浦 C.D.18【解析】根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有13号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中有1个中放2 个球，剩下的2个盒子中各放1个，有2种解法：(1)分2步进行分析：先将四个不同的小球分成3组，有种分组方法；将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有用种放法；则没有空盒的放法有耳种；6(2)分2步进行分析：在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，有C；C：种情况;将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，有用种放法；则没有空盒的放法有种；故选：BC.例7.江夏一中高二年级计划假期开展历史类班级研学活动，共有6个名额，分配到历史类5个班级(每个 班至少。个名额，所有名额全部分完).(1)共有多少种分配方案？(2)6名学生确定后，分成/、B、C、。四个小组，每小组至少一人，共有多少种方法？(3)6名学生来到武汉火车站.火车站共设有3个“安检”入口，每个入口每次只能进1个旅客，求6人进 站的不同方案种数.【解析】(1)由题意得：问题转化为不定方程%+%2+&+%4+&=6的非负整数解的个数，.方程又等价于不定方程%+%2+%3+%4+%5=1 1的正整数解的个数，利用隔板原理得：方程正整数解的个数为210,共有210种分配方案.(2)先把6名学生按人数分成没有区别的4组，有2类：1人，1人，1人，3人和1人，1人，2人，2人，再把每一类中的人数分到/、B、C、。四个小组.第一种分法：1人，1人，1人，3人，有C：4：=480种方法；第二种分法：1人，1人，2人，2人，有一彳工xq=1080种方法.&共有480+1080=1560种方法.(3)每名学生有3种进站方法，分步乘法计数原理得6人进站有3“=729种不同的方案.例8.从6名男医生和3名女医生中选出5人组成一个医疗小组，请解答下列问题：(1)如果这个医疗小组中男女医生都不能少于2人，共有多少种不同的建组方案？(用数字作答)(2)男医生甲要担任医疗小组组长，所以必选，而且医疗小组必须男女医生都有，共有多少种不同的建组方案？7(3)男医生甲与女医生乙不被同时选中的概率.(化成最简分数)【解析】由题可能的情况有男医生3人女医生2人和男医生2人女医生3人，共+=75种不同的建组方案.由题，除开男医生甲后不考虑必须男女医生都有的建组方案共=2出a=70种，其中只有男医生Ix2x3x4的情况数有=5，不可能存在只有女医生的情况.故共有70-5=65种不同的建组方案.C3 35 5由题，男医生甲与女医生乙被同时选中的概率为=不7=77.故男医生甲与女医生乙不被同时选中的Cg 126 18概率为I-181318例9.现有5本书和3位同学，将书全部分给这三位同学.(1)若5本书完全相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法?(2)若5本书都不相同，共有多少种分法?(3)若5本书都不相同,每个同学至少有一本书，共有多少种分法?【解析】(1)根据题意，若5本书完全相同，将5本书排成一排，中间有4 个空位可用,在4个空位中任选2个，插入挡板，有=6种情况,即有6种不同的分法;(2)根据题意，若5本书都不相同，每本书可以分给3人中任意1人，都有3种分法,则5本不同的书有3x3x3x3x3=35=243种;(3)根据题意，分2步进行分析:将5本书分成3组,c3c若分成1、1、3的三组，有二=10种分组方法,402若分成1、2、2的三组，有5：2=15种分组方法,4则有10+15=25种分组方法;8将分好的三组全排列，对应3名学生，有W=6种情况，则有25x6=150种分法.例10.有6本不同的书，在下列不同的条件下，各有多少种不同的分法？(1)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；(2)分成三组，一组4本，另外两组各1本；(3)甲得1本，乙得1本，丙得4本.【解析】(1)先将6本不同的书分成1本，2本，3本共3组，有种，再将3组分配给3人有4种，故共有=360种；(2)只需从6本中选4本一组，其余2本为2组，即C；=15种；(3)分步处理，先从从6本中选4本给丙，其余2本分给甲乙各一本，即C：团=30种.例11.(1)3个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中，一共有多少种不同的放法？(2)3个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中，恰有2个空盒的放法共有多少种？【解析】(1)根据题意，3个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中，每个小球有4种放法，则3个小球有4 x 4 x 4=64种不同的放法；(2)根据题意，分2步分析：将3个小球分成2组，有C；=3种分组方法，在4个盒子中任选2个，分别放入分好组的两组小球，有力；=12种选法，则恰有2个空盒的放法有3x12=36种.例12.现有大小相同的7只球，其中2只不同的红球，2只不同的白球，3只不同的黑球.(1)将这7只球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，有多少种排列的方法？(请用数字作答)(2)将这7只球分成三堆，三堆的球数分别为：1,3,3,共有多少种分堆的方法？(请用数字作答)(3)现取4只球，求各种颜色的球都必须取到的概率.(请用数字作答)【解析】9(1)7只球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，共有出彳用力；=144种方法;(2)ee3将这7只球分成三堆，三堆的球数分别为：1,3,3,共有二=70种分法;4(3)C2cle1当取出2个红球，1个的白球，1个的黑球时，Pi=2；3 501当取出1个红球，2个白球，1个黑球时，p2=2 4 3ccc2当取出1个红球，1个白球，2个黑球时，03=2；3P=P+P?+P3=c+C2?4I x-z-j I V-/1)V-/1,K_z QC：3524故各种颜色的球都必须取到的概率为五.例13.现有7名师范大学应届毕业的免费师范生将被分配到育才中学、星云中学和明月湾中学任教.(1)若4人被分到育才中学，2人被分到星云中学，1人被分到明月湾中学，则有多少种不同的分配方案？(2)一所学校去4个人，另一所学校去2个人，剩下的一个学校去1个人，有多少种不同的分配方案？【解析】(1)根据题意，分3步进行分析:、在7人中选出4人，将其分到育才中学，有。；=35种选法;、在剩余3人中选出2人，将其分到星云中学，有C；=3种选法;、将剩下的1人分到明月湾中学，有1种情况,则一共有35x3=105种分配方案;(2)根据题意，分2步进行分析:、将7人分成3组，人数依次为4、2、1,有C；xC；xC；=105种分组方法,、将分好的三组全排列，对应3个学校，有W=6种情况,贝U一共有105 x 6=630种分酉己方案.例14.如图，从左到右有5个空格.10(1)若向这5个格子填入0,1,2,3,4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0,则一共有多少不同的填法？(2)若给这5个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝3颜色可供使用，问一共有多少不同的涂法？(3)若向这5个格子放入7个不同的小球，要求每个格子里都有球，问有多少种不同的放法？【解析】(1)利用排除法：力；-团=96种.(2)根据乘法原理得到：共有3x2x2x2x2=48种涂法.C2 C1(3)若分成2 2 1 1 1的5组，则共有二种分法；4若分成3-1-1-1-1的5组，则共有C；种分法,故共有与 A)=16800种放法.例15.学校安排5名学生到3家公司实习，要求每个公司至少有1名学生，则有 种不同的排法.【解析】根据题意，分2步进行分析：先将5名学生分成3组，若分成1、1、3的三组，有强与=10种分组方法,若分成1、2、2的三组，有=15种分组方法,则有10+15=25种分组方法;再将分好的三组全排列，对应三个公司，有4；=6种情况，则有25x6=150种不同的安排方式.故答案为：150.例16.现有7名志愿者，其中只会俄语的有3人，既会俄语又会英语的有4人.从中选出4人担任“一带一路”峰会开幕式翻译工作，2人担任英语翻译，2人担任俄语翻译，共有 种不同的选法.【解析】11因为英语翻译只能从多面手中选，所以有(1)当选出的多面手2人从事英语翻译,没人从事俄语翻译，所以有种选法;(2)当选出的多面手2人从事英语翻译,1人从事俄语翻译，所以有C；C；C；=36种选法;(3)当选出的多面手2人从事英语翻译,2人从事俄语翻译，所以有=6种选法;共有18+36+6=60种选法.例17.从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和 内科医生都至少有1人的选派方法种数是(用数字作答).【解析】3名骨科、1名脑外科和1名内科医生，有。33点心=20种,1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，有C3CC占60种,1名骨科、1名脑外科和3名内科医生，有C；C/C：=i20种,2名骨科、2名脑外科和1名内科医生，有C32c42c5占90种，1名骨科、2名脑外科和2名内科医生,有C3c2c52=180种,2名骨科、1名脑外科和2名内科医生，有C32CJC52=12O种,共计 20+60+120+90+180+120=590 种故答案为590.例18.将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有 种(用数字作答)；【解析】先选三个不同场馆中只去一名志愿者，共有C；C；=15种选法;剩下的两个场馆只需各取两名志愿者，共有C1C；=6种选法,由乘法原理得分配方案有15x6=90种.12