2006年广州市中数教研会高三教学质量测试题数学(2006年2月16日).doc

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2006年广州市中数教研会高三教学质量测试题
数　学 2006年2月16日
本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分．第一部分1至2页，第二部分3至4页，满分分，考试时间分钟．
第一部分（选择题，共50分）
注意事项：
1. 答第一部分前，考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．
3. 考试结束，监考人员将本试卷和答题卡一并收回．
参考公式：
如果事件、互斥，那么 球的表面积公式
，
如果事件、相互独立，那么 其中表示球的半径
， 球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是，
那么在次独立重复试验中恰好发生次的概率 其中表示球的半径
．
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
（1）设全集U＝R，集合A＝，则集合是
（A） （B） （C） （D）
（2）在正项等比数列中，则的值为
（A）2 （B）4 （C）8 （D）16
（3）曲线在处的切线的斜率是
（A）1 （B）－1 （C） （D）－
（4）将函数的图象按向量a平移后得到函数的图象，则向
量a为
（A）（－，0） （B）（－，0）

第1页
（C）（，0） （D）（，0）
（5）若、满足约束条件 ，则的最大值为
（A） 4 （B）2 （C）1 （D）
（6）的值为
（A）0 （B）1 （C） （D）
（7）以椭圆的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的
圆的方程为
（A） （B）
（C） （D）
（8）定义运算，则符合条件（为虚数单位）的复数
为
（A） （B） （C） （D）
（9）函数的反函数为，若，则x的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
（10）在长方体中，，点分别在棱、上滑动，且线段的长恒等于2，则线段的中点的轨迹是
（A）圆的一部分 （B）椭圆的一部分
（C）双曲线的一部分 （D）抛物线的一部分
C
1
B
1
D
1
E
A
1
C
B
F
P
D
A

第2页

2006年广州市中数教研会高三教学质量测试题
数　学
第二部分（非选择题，共100分）
注意事项：
1. 第二部分共2页，用黑色钢笔或圆珠笔直接答在答题卷中．
2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚．
题号
二
三
总分
（15）
（16）
（17）
（28）
（19）
（20）

分数

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，其中（12）题第一个空格2分，第二个空格3分，把答案填在答题卷相应题目上．
（11）已知向量a，向量b，若a⊥b，则实数x的值为 ．
（12）展开式中常数项是第 项，该项等于 (用数字作答)．
（13）已知椭圆：，直线，若直线与椭圆的一
个交点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，则的值为 ．
（14）把一个半径为1的半球削成一个正方体，则正方体的最大体积为 ．
三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（15）（本小题满分12分）
已知函数的图象过点．
（I）求a的值；
（II）求函数的单调递增区间．
A
M
B
D
A1
C
C1
B1

（16）（本小题满分14分）
如图，在直三棱柱中，，，为的中点，D在A1B1上且．
（I）求证：平面⊥平面；
（II）求二面角的大小．

第3页
（17）（本小题满分14分）
已知为实数，函数．
(Ⅰ) 若，求函数在[－，1]上的最大值和最小值；
(Ⅱ)若函数的图象上有与轴平行的切线，求的取值范围．

（18）（本小题满分12分）
在一次篮球练习课中，规定每人最多投篮5次，若投中2次就称为“通过”，若投中3次就称为“优秀”并停止投篮．已知甲每次投篮投中的概率是．
（I）求甲恰好投篮3次就通过的概率；
（II）设甲投篮投中的次数为，求随机变量的分布列及数学期望E．

（19）（本小题满分14分）
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
………………………
把自然数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数
表（每行比上一行多一个数）：设（i、j∈N*）是位于
这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个
数，如＝8．
（I）若＝2006，求i、j的值；
（II）记三角形数表从上往下数第n行各数的和为，令．若数列 的前项和为，求的值．
x
y
A
B
C
O
F1
F2

（20）（本小题满分14分）
如图，为椭圆上的一个动点，弦分别过焦点．当垂直于轴 时，恰好．
（I）求该椭圆的离心率；
（II）设，，
试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．
第4页

2006年广州市中数教研会高三教学质量测试题
答案及评分标准
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

题号
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
答案
D
A
B
D
B
C
A
C
B
A

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
(11) 1 (12) 5；15 (13) 2 (14)
三、解答题：
(15)（本小题12分）
解：（I）∵函数过点，
∴， …2分
即， 得．　　 　　　　　　　　　　 …4分
（II）＝
．　　…８分
由得．
∴函数的单调递增区间是．　 …12分

（16）（本小题14分）
解：（I）证明：在△ABC中，AC＝BC，M为AB的中点，∴CM⊥AB， … ２分
又∵三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，
∴平面ABB1A1⊥平面ABC ∴CM⊥平面ABB1A1， … 4分
而CM平面CMD， ∴平面CMD⊥平面ABB1A1． … 6分
A
M
B
D
A1
C
C1
B1
E

（II）解法一
过M作ME⊥BD于E，连结CE，
∵CM⊥平面ABB1A1
∴ME是CE在平面ABB1A1上的射影，∴CE⊥BD， 所以∠CEM是二面角的平面角． … 8分
由＝1，则AB＝，，
取MB的中点F，则BF＝，
∴
由得：　　　　 … 11分
在Rt△CME中，tan∠CEM＝
所以∠CEM＝ … 13分
即二面角的大小是 … 14分
A
M
B
D
A1
C
C1
B1
x
y
ｚ

解法二（向量法）：以C为原点，分别以CA 、CB、CC1所在直线为x、y、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，令＝1，
则C（0，0，0），A（1，0，0），A1（1，0，1），
B（0，1，0），B1（0，1，1），M（，，0），
D（，，1），C1（0，0，1）， … 8分
∴，．
设平面CBD的法向量为，则

取，则，∴． … 10分
而平面MBD的法向量是＝（，，0）， … 11分
∴cos<，>＝，即<，>＝ … 13分
如图可知，二面角为锐角，∴二面角的大小为
… 14分

（17）（本小题满分14分）
解：(Ⅰ)∵，∴，即．
∴． … 2分
由，得或；
由，得． … 4分
因此，函数的单调增区间为，；单调减区间为．
在取得极大值为；在取得极小值为．
由∵， 且
∴在[－，1]上的的最大值为，最小值为． … 8分
(Ⅱ) ∵，∴．
∵函数的图象上有与轴平行的切线，∴有实数解． … 10分
∴，∴，即 ．
因此，所求实数的取值范围是． … 14分

（18）（本小题满分12分）
解：（I）甲恰好投篮3次就通过，即前2次中恰有一次投中且第三次也投中，
其概率为P＝． …２分
（II）依题意，可以取0，1，2，3．
当＝0时，表示连续5次都没投中，其概率为：；
当＝1时，表示5次中仅有1次投中，其概率为：；
当＝2时，表示5次中仅有2次投中，其概率为： ；
当＝3时，表示①连续3次都投中，其概率为：，
或②前3次中有2次投中，且第四次投中，其概率为：，
或③前4次中有2次投中，且第五次投中，其概率为：，
即．
∴随机变量的概率分布列为：

0
1
2
3
P

… 8分
数学期望E＝0×＋1×＋2×＋3×＝． … 10分

答：（I）甲恰好投篮3次就通过的概率是；
（II）甲投篮投中的次数的数学期望是． …12分

（19）（本小题满分14分）
解：（I）三角形数表中前n行共有1＋2＋3＋…＋n＝个数，
即第i行的最后一个数是， … 2分

∴要使＝2006的i是不等式的最小正整数解．
因为，所以i＝63． … 4分
于是第63行的第一个数是．
∴j＝． … 6分
（II）∵三角形数表中前n行共有1＋2＋3＋…＋n＝个数，∴前n行的所有自然数的
和为＝＋[－1]＝． … 8分
∴＝－＝…＝． … 10分
∴当n≥2时，＝．
其前n项和＝1＋
＝1＋． … 12分

∴ ＝． … 14分

x
y
A
B
C
O
F1
F2
（20）（本小题满分14分）
解：（I）当C垂直于x轴时，
由，得，
… 2分
在Rt△中，
【或由A（c，），得＝】
解得 =． … 4分
（II）由=，则，． … 6分
焦点坐标为，则椭圆方程为，
化简有．
设，，
①若直线的斜率存在，则直线方程为
代入椭圆方程有．
由韦达定理得：，∴ … 8分
所以，同理可得
故=． … 10分
②若直线轴，，，
∴＝6． … 12分
综上所述：是定值6． … 14分

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