数学模型作业2013.doc

作业：
1、设数科院有1000名学生，其中235人住在A楼，333人住在B楼，432人住在C楼.现要组成一个10人的学生委员会，试用值方法给出较为合理的名额分配方案.
解：（1）参数假设：
记各楼人数为： ，，，
总人数，席位数 .
(2) 先按百分数方案有：
， ，
取整后得一次分配，，.
(3) 对第10个席位按Q值方法计算得:

由于最大，所以第10个席位应分配给C楼.
（4）结论：A楼、 B楼、C楼的分配席位分别为2,3,5. 总共10个席位.

2、建立三层玻璃窗减少热量损失之功效的数学模型并给出定量分析
（设玻璃厚度为，两层玻璃间空气厚度为，玻璃热传导系数为，空气的热传导系数为，且，建筑规范要求）
解：模型假设
(1)假定窗户的密封性能很好，两层玻璃之间的空气是不流动的．
(2)室内温度和室外温度保持不变，热传导过程已处于稳定状态．
(3)玻璃材料均匀，热传导系数是常数．
(4)由内到外的温度依次记为，，，，，.
模型建立
在上述假设下热传导过程遵从下面的物理定律：
厚度为的均匀介质，两侧温度差为，则单位时间由温度高的一仍向温度低的一侧通过单位面积的热量与成正，与成反比，即
．(K为热传导系数) (1)
由(1)式单位时间单位面积的热量传导(即热量流失)为
(2)
对于厚度为的单层玻璃窗，容易写出其热量传导为
(3)
模型求解
从(2)式中消去、，，可得
， ， (4)
(3)与(4)相比二者之比为 (5)
显然.
模型验证与分析
由(4)、(5)式可得， (6)
摸型应用
这个模型具有一定应用价值．制作双层玻璃窗虽然工艺复杂，会增加一些费用，但它减少的热量损失却是相当可观的。通常，建筑规范要求．按照这个模型，即三层窗比用同样多的玻璃材料制成的单层窗节约热量97.7％左右.

3、设有一个容积为1500升圆柱形的桶，桶内盛有900升的水。如果将它水平地放置在地(如图)，问水面有多高？请你用自已的方法给出问题的近似解答。

解：参数假设：
: 圆桶的高度；
: 底面半径；
：水面高度；
：为图中所示扇形的圆心角.
模型建立：
因故桶内未装水的部分的容积为:
其中 代入上式得:
另
模型求解：
用Newton切线法可求出方程的近似根为,
代入得

4、某吊车的车身高为1.5m，吊臂长15m，现要把一个宽6m，高2m的正方形箱子，水平地吊到高6m的房顶(如图所示)，问能否吊得上去？

解：参数假设：
设车身高为h，吊臂长为，与水平线的夹角为，箱子的宽为，高为，其下边离地面的距离为.
模型建立：
当达到最大时的应使得箱子与吊臂正好接触于点，此时有

所以 即为所解决问题的数学模型。
模型求解：
由，令,得，所以，有唯一的驻点，由问题的实际含义知，肯定是的最大值点.
化简得
=
=
=
=
摸型应用
当房顶的高度时，箱子可以吊到上面去；当时，箱子不能吊到上面去；
取，，，代入上式得：
()
由于()，所以箱子可以吊到上房顶上面去。
5、上海东方明珠电视塔是目前亚洲最高的电视塔，它有460米高，若把它的信导传播到1100千米外的北京，行吗?(地球半径约为6371千米)若用一座电视塔直接传输到北京，须建高度为多少米的电视塔?

模型分析
这是一个既有常识性又带科学性的问题，首先要将电视塔及电视信号的传输，扩大想象到整个地球空间，展开空间想象，抽象出相应的数学模型．

将地球近似地看成是一个球体，⊙O为地球截面圆，AB＝h，表示电视塔的高度，过A向地球截面⊙O引切线，切⊙O于C、D.从则以弧所对应的一个球面区域就是该电视塔的信号覆盖区域，
由于 (为地球半径)，故可近似地认为传输区域为一块“圆形区域”，且可以把弦BD当作传输半径R.
模型假设
(1)电视信号在传送过程中不考虑衰减．
(2)将电视信号传翰区域近似地看成是一块“圆形区域”
h ---电视塔的高度．
Ro——地球半径．
R一电视信号覆盖区域半径．
--电视信号覆盖区域半径所对应的圆心角．
模型建立
据上述分析：
由余弦定理得：
即
模型求解
将 化简
=
= =
因为：,可忽略不计
所以(m),将东方明珠电视塔数据h=460代入得mkm
模型验证与分析
显然，仅用东方明珠一座电视塔是无法将信号传给到北京的．要将上海的电视信号不考虑衰减，仅用一座电视塔发射到1100千米外的北京，根据，．这大约是11座珠穆朗玛峰的高度，建造如此高的电视塔显然是不现实的．解决这类长距离信号传输问题，往往不去盲目地一味增高电视塔的高度，而是通过多个中继站以“接力”的方式或用通讯卫星的手段。

6、假设市场上有甲、乙两种糖果，单价分别为40元/斤，20元/斤，今要筹办一桩喜事，要求花在糖果上的钱不超过2000元，总的糖果不少于50斤，而甲糖果又不得少于25斤.试确定最好的购买方案.

7、某公司专门生产储油用的容器，合同要求该公司制造一种敞口(即无盖)的长方体容器，容积恰好为.如果用作容器四壁的材料为元/，用作容器底面的材料为元/，问制造怎样尺寸的容器才能使得总费用最省？
解：设长方体容器的长、宽、高分别为,,,制造该容器所需材料的总费用为
，
则有 ，

从而有

≥

且等号成立当且仅当
由此得 ，
代入已知条件中得
，
所以

8、在甲、乙两个大桶内各装有100升的盐水(两桶均未装满)，其浓度均为5，现用一根细管将净水以2 速度输入甲桶，搅拌均匀，同时又将混合液仍以2 速度输入乙桶(两桶容积足够大，在稀释过程中不会溢出)，然后再用细管以1 速度从乙桶将混合液输出。问时刻乙桶内盐水的浓度是多少？
[1]问题分析（略）
[2]模型假设
设、分别表示在时刻甲、乙两桶内盐的数量；
[3]模型建立
先分析甲桶：
任取一段时间，则该时段甲桶内盐的改变量为：
流入量-流出量
两边同除以，并令，得初值问题
(5)
这就是甲桶内盐的含量数学模型。
对(5)分离变量，并积分得
它表示甲桶内盐的变化，显然甲桶中盐在稀释。
现分析乙桶：
同样取一段时间，则该时段乙桶内盐的改变量为：

流入量-流出量
两边同除以，并令，得初值问题
(6)
这就是乙桶内盐的含量数学模型。
[4]模型求解
将代入(6)并整理得
(7)
解得

所以 乙桶内盐水的浓度为:
()