数学模型2012-2013B试卷及答案.doc

广州大学 2012-2013 学年第 2 学期
课程 数学模型 考试B卷答案
一、 填空题(每小题4分，共计20分）
1．“光盘的数据容量"模型中，光盘环形区域内圆半径为，外圆半径为,信道间距为d,则恒定角速度（CAV)光盘的信道总长度为：。
2。“商人怎样安全过河”模型中,允许状态集合S=｛（x ， y）|x=0, y=0，1，2，3; x=3, y=0,1，2，3; x=y=1,2｝,状态转移律的公式是: 。
3．“人口指数增长模型”的人口数为x(t）,其微分方程为 。
“人口阻滞增长”模型是在假设 人口增长率是人口数量的减函数 得到的。
4．“经济增长模型”中，衡量经济增长的指标有 总产值的增长 、 单位劳动力产值的增长 。
5．“传染病模型”中SIS模型把人群分为 二 类，分别是已感染者(病人）和未感染者(健康人)。接触数= .
二、（12分）某企业每年需要某零部件48000件,不能停工待料.现知每批定货费1500元，存储费每月每件3元。求最佳订货周期和定货量。并计算每月的平均费用。
解：因为 （2分)
故订货周期为（月)约15天 （6分）
订货量为Q=rT=0.5＊4000=2000（件）。 （8分）
每月的平均费用 （元） （12分）
三、(12分）学校共有1000名学生，235人住在A宿舍，133人住在B宿舍，632人住在C宿舍.学生们要组织一个10人的委员会，试用惯例的方法和Q值方法分配各宿舍的委员数。
解：按惯例法:因为
A宿舍得2个委员,B宿舍得1个委员，C宿舍得6个委员，由于小数点后最大是0.34，故剩下的一个委员给A宿舍，即分配名额为3、1、6. （6分）
按Q值方法：因为
由于最大,故剩下的一个委员给C宿舍，即分配名额为2、1、7。 (12分）
四、（12分）细菌的增长率与总数的成正比.如果培养的细菌总数在于24小时内由100增长到400,那么，第16小时后细菌总数是多少？
解:设t时刻的细菌数为x（t），依题意得:
, 其中k为比例常数， （5分）
解此微分方程得：, (8分）
把初值代入可得：c=100， (10分）
。 （12分)
五、（12分）某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：
货物
体积
（立方米/箱)
重量
（百斤/箱）
利润
(百元/箱）
甲
5
2
20
乙
4
5
10
已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米，重量不超过13百斤。试问这两种货物各托运多少箱,使得所获利润最大,并求出最大利润.（用图解法求解）
解：设甲货物、乙货物的托运箱数分别为，，所获利润为则问题的数学模型可表示为：
（8分）
用图解法求解。
可行域为：由直线
，及组成.
直线在此凸四边形区域内平行移动.
易知：当过与的交点时,取最大值
由解得
. （12分）
六、（10分)已知本厂牙膏销售价格与其它厂家平均销售价格如下表：
销售周期
1
2
3
4
5
6
7
本厂价格
3。85
3.75
3.70
3。70
3。60
3.60
3。80
其它厂价
4.30
3.80
3。80
3。70
3。85
3.85
4。00
试建立本厂销售价格与其它厂家平均销售价格的线性回归模型。
解:线性回归模型y=a+bx关于数据点对的参数计算公式为:
（4分)
经计算得：。
即所求的回归方程为（10分）
七、(10分）报童以每份报纸的购进价为0。8元，售出价为1元,退回价为0.7元,报纸需求量服从均匀分布,其密度函数 ，报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入最高？
解：设售价为a=1，购进价为b=0。8，退回价为c=0.7，购入n份报纸，需求量为r，需求量的分布密度，则有 （2分)
收入
，可得
，（6分）
把具体数值代入可算得：n=600份报纸 （10分)
八、（12分）雨滴的速度与空气密度、粘滞系数和重力加速度有关,其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比,比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度的表达式.
解：设，，， 的关系为,，，=0。其量纲表达式为［]=LM0T-1，[］=L-3MT0，［］=MLT-2（LT—1L-1)—1L-2=MLL—2T-2T=L—1MT—1,[］=LM0T—2,其中L,M，T是基本量纲.（4分)
量纲矩阵为
A=
齐次线性方程组Ay=0 ，即 （8分)
的基本解为y=（—3 ，—1 ，1 ,1）（10分）
由量纲定理 得 。
，其中是无量纲常数.（12分）

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