2021-2022学年高中数学-第6章-平面向量及其应用-6.4.3-第3课时-习题课—余弦定理和正.docx

2021-2022学年高中数学 第6章 平面向量及其应用 6.4.3 第3课时 习题课余弦定理和正弦定理的综合应用巩固练习新人教A版必修第二册2021-2022学年高中数学 第6章 平面向量及其应用 6.4.3 第3课时 习题课余弦定理和正弦定理的综合应用巩固练习新人教A版必修第二册年级：姓名：6.4.3余弦定理、正弦定理第3课时习题课余弦定理和正弦定理的综合应用课后训练巩固提升一、A组1.在ABC中,c=2,A=30,B=120,则ABC的面积为()A.32B.3C.33D.3解析:C=180-30-120=30,a=c=2,面积S=12acsinB=1222sin120=3.答案:B2.已知三角形的面积为14,其外接圆的面积为,则这个三角形的三边之积为()A.1B.2C.12D.4解析:由题意得,外接圆的半径R=1,S=12absinC=12abc2R=abc4=14.故abc=1.答案:A3.在ABC中,c=3,b=1,B=30,则ABC的面积为()A.32或3B.32或34C.3或34D.3解析:由正弦定理,得sinC=csinBb=32,B=30,0C0).由正弦定理得7xsinC=8xsinB.sinC=7xsinB8x=78437=32.ABAC,CB,C=60.由余弦定理得,(7x)2=(8x)2+152-28x15cos60,x2-8x+15=0,解得x=3或x=5.AB=21,AC=24或AB=35,AC=40.在ABD中,AD=ABsinB=437AB,AD=123或AD=203.10.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足bcos A=(2c+a)cos(-B).(1)求B的大小;(2)若b=4,ABC的面积为3,求a+c的值.解:(1)由正弦定理及bcosA=(2c+a)cos(-B),得sinBcosA=(2sinC+sinA)(-cosB),即sinBcosA+cosBsinA=-2sinCcosB,sin(B+A)=-2sinCcosB.又B+A=-C,sinC=-2sinCcosB,又sinC0,cosB=-12.0B,B=23.(2)由SABC=12acsinB=12ac32=3得ac=4.由余弦定理得42=a2+c2-2accos23,16=(a+c)2+ac,(a+c)2=12,a+c=23.二、B组1.已知钝角三角形ABC的面积为12,AB=1,BC=2,则AC=()A.5B.5C.2D.1解析:SABC=12ABBCsinB=12,sinB=22.又B为ABC的内角,B=45或B=135.若B=45,则由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB=1+2-2222=1,ABC为直角三角形,不合题意,舍去,B=135,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB=1+2-212-22=5,AC=5.答案:B2.在ABC中,a=1,B=45,SABC=2,则ABC外接圆的半径为()A.23B.42C.522D.32解析:SABC=12acsinB=12csin45=24c.SABC=2,c=42.由余弦定理得,b2=a2+c2-2accosB=1+32-214222=25,b=5.又bsinB=2R,R=b2sinB=52sin45=522.答案:C3.在ABC中,sin A=sinB+sinCcosB+cosC,则ABC的形状为()A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰或直角三角形解析:(方法一)sinA=sinB+sinCcosB+cosC,又A+B+C=,sinAcosB+sinAcosC=sin(A+C)+sin(A+B),sinAcosB+sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC+sinAcosB+cosAsinB,cosA(sinC+sinB)=0,又sinC+sinB0,cosA=0,0A,A=2,ABC为直角三角形.(方法二)由正弦定理、余弦定理及题设条件可得a=b+ca2+c2-b22ac+a2+b2-c22ab,化简得(b+c)(b2+c2-a2)=0,又b+c0,b2+c2-a2=0,b2+c2=a2,ABC为直角三角形.答案:A4.我国南宋著名数学家秦九韶发现了与海伦公式等价的由三角形三边求面积的公式,他把这种方法称为“三斜求积”.求法是:以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实,一为从隅,开平方得积.若把以上这段文字写出公式,即为S=14c2a2-c2+a2-b222.现有周长为22+5的ABC满足sin Asin Bsin C=(2-1)5(2+1),试用以上给出的公式求得面积为()A.34B.32C.54D.52解析:由正弦定理得sinAsinBsinC=abc.sinAsinBsinC=(2-1)5(2+1),可设a=(2-1)x,b=5x,c=(2+1)x,(2-1)x+5x+(2+1)x=22+5,解得x=1,a=2-1,b=5,c=2+1,S=34.答案:A5.如图所示,一块三角形土地ABC,AD是一条小路,BC=5 m,AC=4 m,cosCAD=3132,AD=BD,则该土地的面积是 m2.解析:设CD=xm,则AD=BD=(5-x)m.在CAD中,由余弦定理,可知cosCAD=(5-x)2+42-x224(5-x)=3132,解得x=1.CD=1m,AD=BD=4m.在CAD中,由正弦定理,可知ADsinC=CDsinCAD,sinC=ADCD1-cos2CAD=41-31322=378.SABC=12ACBCsinC=1245378=1574(m2).答案:15746.在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c2=(a-b)2+6,ABC的面积为323,则C=.解析:c2=(a-b)2+6=a2+b2-2ab+6,又由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC,2ab-6=2abcosC,ab=31-cosC,SABC=12absinC=3sinC2(1-cosC)=332,3-3cosC=sinC,sin(C+60)=32,又C为ABC的内角,C=60.答案:607.如图,在ABC中,ABC=90,AB=3,BC=1,P为ABC内一点,BPC=90.(1)若PB=12,求PA;(2)若APB=150,求tanPBA.解:(1)由已知得PBC=60,所以PBA=30.在PBA中,由余弦定理,得PA2=3+14-2312cos30=74.故PA=72.(2)设PBA=,则PCB=PBA=,由已知得PB=sin.在PBA中,由正弦定理,得3sin150=sinsin(30-),化简得3cos=4sin.所以tan=34,即tanPBA=34.8.已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(b,-3a)与n=(cos A,sin B)垂直.(1)求A;(2)若B+12=A,a=2,求ABC的面积.解:(1)mn,mn=bcosA-3asinB=0,即bcosA=3asinB.由正弦定理得sinBcosA=3sinAsinB.又sinB0,cosA=3sinA,tanA=33,又0A,A=6.(2)由B+12=A及(1)得B=12,C=-6-12=34,由正弦定理得c=asinCsinA=2sin34sin6=22,SABC=12acsinB=12222sin12=22sin4-6=222232-2212=3-1.ABC的面积为3-1.