2021-2022学年高中数学-第6章-平面向量及其应用-6.4.3-第3课时-习题课—余弦定理和正.docx

2021-2022学年高中数学 第6章 平面向量及其应用 6.4.3 第3课时 习题课—余弦定理和正弦定理的综合应用巩固练习新人教A版必修第二册

2021-2022学年高中数学 第6章 平面向量及其应用 6.4.3 第3课时 习题课—余弦定理和正弦定理的综合应用巩固练习新人教A版必修第二册

年级：
姓名：

6.4.3　余弦定理、正弦定理
第3课时　习题课——余弦定理和正弦定理的综合应用
课后训练巩固提升
一、A组
1.在△ABC中,c=2,A=30°,B=120°,则△ABC的面积为(　　)
A.32 B.3
C.33 D.3
解析:∵C=180°-30°-120°=30°,
∴a=c=2,
∴面积S=12acsinB=12×2×2×sin120°=3.
答案:B
2.已知三角形的面积为14,其外接圆的面积为π,则这个三角形的三边之积为(　　)
A.1 B.2
C.12 D.4
解析:由题意得,外接圆的半径R=1,
S=12absinC=12abc2R=abc4=14.
故abc=1.
答案:A
3.在△ABC中,c=3,b=1,B=30°,则△ABC的面积为(　　)
A.32或3 B.32或34
C.3或34 D.3
解析:由正弦定理,得sinC=csinBb=32,
∵B=30°,
∴0°<C<150°,∴C=60°或C=120°.
当C=60°时,S△ABC=12bcsinA=32;
当C=120°时,S△ABC=12bcsinA=34.
答案:B
4.已知三角形的两边之差为2,它们夹角的余弦值为35,面积为14,则这个三角形的这两边长分别是(　　)
A.3和5 B.4和6 C.6和8 D.5和7
解析:设a-b=2,cosC=35,则sinC=45,
S△ABC=12absinC=14,故ab=35.
由a-b=2和ab=35,解得a=7,b=5.
答案:D
5.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为a2+b2-c24,则C=(　　)
A.π2 B.π3 C.π4 D.π6
解析:由余弦定理,得S△ABC=a2+b2-c24=2abcosC4=12abcosC,
又S△ABC=12absinC,故tanC=1,C=π4.故选C.
答案:C
6.在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A=223,a=2,S△ABC=2,则b的值为　　　. 
解析:结合三角形面积公式可得12bcsinA=2,
则bc=3,①
在锐角三角形中,由同角三角函数基本关系有cosA=1-sin2A=13,
结合余弦定理a2=b2+c2-2bccosA可得4=b2+c2-2×3×13,则b2+c2=6,②
①②联立可得b=c=3.
答案:3
7.在△ABC中,BC=5,AC=3,sin C=2sin A,则cos(B+C)=　　　　　. 
解析:设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
∵sinC=2sinA,∴AB=2BC=25,由余弦定理知cosA=b2+c2-a22bc=9+20-52×3×25=255,
又A+B+C=π,
∴cos(B+C)=-cosA=-255.
答案:-255
8.在△ABC中,AB·AC=tan A,当A=π6时,△ABC的面积为　　　　　. 
解析:∵AB·AC=|AB|·|AC|cosA=tanA,
∴|AB||AC|=sinAcos2A,
∴S△ABC=12|AB||AC|sinA=12×sin2Acos2A=12×1434=16.
答案:16
9.如图所示,在△ABC中,已知BC=15,AB∶AC=7∶8,sin B=437,求BC边上的高AD的长.

解:在△ABC中,由已知设AB=7x,AC=8x(x>0).
由正弦定理得7xsinC=8xsinB.
∴sinC=7xsinB8x=78×437=32.
∵AB<AC,∴C<B,∴C=60°.
由余弦定理得,
(7x)2=(8x)2+152-2×8x×15cos60°,
∴x2-8x+15=0,解得x=3或x=5.
∴AB=21,AC=24或AB=35,AC=40.
在△ABD中,AD=AB·sinB=437AB,
∴AD=123或AD=203.
10.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足bcos A=(2c+a)cos(π-B).
(1)求B的大小;
(2)若b=4,△ABC的面积为3,求a+c的值.
解:(1)由正弦定理及bcosA=(2c+a)cos(π-B),得sinBcosA=(2sinC+sinA)(-cosB),
即sinBcosA+cosBsinA=-2sinCcosB,
∴sin(B+A)=-2sinCcosB.
又B+A=π-C,∴sinC=-2sinCcosB,
又sinC≠0,∴cosB=-12.
∵0<B<π,∴B=2π3.
(2)由S△ABC=12acsinB=12ac·32=3得ac=4.
由余弦定理得42=a2+c2-2accos2π3,
∴16=(a+c)2+ac,
∴(a+c)2=12,
∴a+c=23.
二、B组
1.已知钝角三角形ABC的面积为12,AB=1,BC=2,则AC=(　　)
A.5 B.5
C.2 D.1
解析:∵S△ABC=12AB·BC·sinB=12,
∴sinB=22.
又B为△ABC的内角,∴B=45°或B=135°.
若B=45°,则由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB=1+2-2×2×22=1,
∴△ABC为直角三角形,不合题意,舍去,
∴B=135°,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB=1+2-2×1×2×-22=5,
∴AC=5.
答案:B
2.在△ABC中,a=1,B=45°,S△ABC=2,则△ABC外接圆的半径为(　　)
A.23 B.42
C.522 D.32
解析:S△ABC=12acsinB=12csin45°=24c.
∵S△ABC=2,∴c=42.
由余弦定理得,b2=a2+c2-2accosB=1+32-2×1×42×22=25,∴b=5.
又∵bsinB=2R,∴R=b2sinB=52sin45°=522.
答案:C
3.在△ABC中,sin A=sinB+sinCcosB+cosC,则△ABC的形状为(　　)
A.直角三角形
B.等边三角形
C.等腰三角形
D.等腰或直角三角形
解析:(方法一)∵sinA=sinB+sinCcosB+cosC,
又A+B+C=π,
∴sinAcosB+sinAcosC=sin(A+C)+sin(A+B),
∴sinAcosB+sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC+sinAcosB+cosAsinB,
∴cosA(sinC+sinB)=0,
又sinC+sinB≠0,∴cosA=0,
∵0<A<π,∴A=π2,
∴△ABC为直角三角形.
(方法二)由正弦定理、余弦定理及题设条件可得a=b+ca2+c2-b22ac+a2+b2-c22ab,
化简得(b+c)(b2+c2-a2)=0,
又b+c≠0,∴b2+c2-a2=0,∴b2+c2=a2,
∴△ABC为直角三角形.
答案:A
4.我国南宋著名数学家秦九韶发现了与海伦公式等价的由三角形三边求面积的公式,他把这种方法称为“三斜求积”.求法是:以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实,一为从隅,开平方得积.若把以上这段文字写出公式,即为S=14c2a2-c2+a2-b222.现有周长为22+5的△ABC满足sin A∶sin B∶sin C=(2-1)∶5∶(2+1),试用以上给出的公式求得面积为(　　)
A.34 B.32 C.54 D.52
解析:由正弦定理得sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c.
∵sinA∶sinB∶sinC=(2-1)∶5∶(2+1),
∴可设a=(2-1)x,b=5x,c=(2+1)x,
∴(2-1)x+5x+(2+1)x=22+5,
解得x=1,
∴a=2-1,b=5,c=2+1,∴S=34.
答案:A
5.如图所示,一块三角形土地ABC,AD是一条小路,BC=5 m,AC=4 m,cos∠CAD=3132,AD=BD,则该土地的面积是　　　　 m2. 

解析:设CD=xm,则AD=BD=(5-x)m.
在△CAD中,由余弦定理,可知
cos∠CAD=(5-x)2+42-x22×4×(5-x)=3132,解得x=1.
∴CD=1m,AD=BD=4m.
在△CAD中,由正弦定理,可知ADsinC=CDsin∠CAD,
∴sinC=ADCD·1-cos2∠CAD
=41-31322=378.
∴S△ABC=12AC·BC·sinC=12×4×5×378=1574(m2).
答案:1574
6.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c2=(a-b)2+6,△ABC的面积为323,则C=　　　　　. 
解析:∵c2=(a-b)2+6=a2+b2-2ab+6,
又由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC,
∴2ab-6=2abcosC,∴ab=31-cosC,
∴S△ABC=12absinC=3sinC2(1-cosC)=332,
∴3-3cosC=sinC,∴sin(C+60°)=32,
又C为△ABC的内角,∴C=60°.
答案:60°
7.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.

(1)若PB=12,求PA;
(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.
解:(1)由已知得∠PBC=60°,所以∠PBA=30°.
在△PBA中,由余弦定理,得
PA2=3+14-2×3×12cos30°=74.
故PA=72.
(2)设∠PBA=α,则∠PCB=∠PBA=α,
由已知得PB=sinα.
在△PBA中,由正弦定理,得3sin150°=sinαsin(30°-α),
化简得3cosα=4sinα.
所以tanα=34,即tan∠PBA=34.
8.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(b,-3a)与n=(cos A,sin B)垂直.
(1)求A;
(2)若B+π12=A,a=2,求△ABC的面积.
解:(1)∵m⊥n,
∴m·n=b·cosA-3a·sinB=0,
即bcosA=3asinB.
由正弦定理得sinBcosA=3sinAsinB.
又sinB≠0,
∴cosA=3sinA,∴tanA=33,
又0<A<π,∴A=π6.
(2)由B+π12=A及(1)得B=π12,
∴C=π-π6-π12=3π4,
由正弦定理得c=asinCsinA=2×sin3π4sinπ6=22,
∴S△ABC=12acsinB=12×2×22sinπ12=22sinπ4-π6=2222×32-22×12=3-1.
∴△ABC的面积为3-1.