2021-2022学年高中数学-第6章-平面向量及其应用-6.4.3-第3课时-习题课—余弦定理和正.docx

2021-2022学年高中数学 第6章 平面向量及其应用 6.4.3 第3课时 习题课—余弦定理和正弦定理的综合应用巩固练习新人教A版必修第二册

2021-2022学年高中数学 第6章 平面向量及其应用 6.4.3 第3课时 习题课—余弦定理和正弦定理的综合应用巩固练习新人教A版必修第二册

年级：
姓名：

6.4.3　余弦定理、正弦定理
第3课时　习题课——余弦定理和正弦定理的综合应用
课后训练巩固提升
一、A组
1.在△ABC中,c=2,A=30°,B=120°,则△ABC的面积为(　　)
A.32 B.3
C.33 D.3
解析:∵C=180°-30°-120°=30°,
∴a=c=2,
∴面积S=12acsinB=12×2×2×sin120°=3.
答案:B
2.已知三角形的面积为14,其外接圆的面积为π,则这个三角形的三边之积为(　　)
A.1 B.2
C.12 D.4
解析:由题意得,外接圆的半径R=1,
S=12absinC=12abc2R=abc4=14.
故abc=1.
答案:A
3.在△ABC中,c=3,b=1,B=30°,则△ABC的面积为(　　)
A.32或3 B.32或34
C.3或34 D.3
解析:由正弦定理,得sinC=csinBb=32,
∵B=30°
∴0°c24,则C=(　　)
A.π2 B.π3 C.π4 D.π6
解析:由余弦定理,得S△ABC=a2+b2-c24=2abcosC4=12abcosC,
又S△ABC=12absinC,故tanC=1,C=π4.故选C.
答案:C
6.在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A=223,a=2,S△ABC=2,则b的值为　　　. 
解析:结合三角形面积公式可得12bcsinA=2,
则bc=3,①
在锐角三角形中,由同角三角函数基本关系有cosA=1-sin2A=13,
结合余弦定理a2=b2+c2-2bccosA可得4=b2+c2-2×3×13,则b2+c2=6,②
①②联立可得b=c=3.
答案:3
7.在△ABC中,BC=5,AC=3,sin C=2sin A,则cos(B+C)=　　　　　. 
解析:设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
∵sinC=2sinA,∴AB=2BC=25,由余弦定理知cosA=b2+c2-a22bc=9+20-52×3×25=255,
又A+B+C=π,
∴cos(B+C)=-cosA=-255.
答案:-255
8.在△ABC中,AB·AC=tan A,当A=π6时,△ABC的面积为　　　　　. 
解析:∵AB·AC=|AB|·|AC|cosA=tanA,
∴|AB||AC|=sinAcos2A,
∴S△ABC=12|AB||AC|sinA=12×sin2Acos2A=12×1434=16.
答案:16
9.如图所示,在△ABC中,已知BC=15,AB∶AC=7∶8,sin B=437,求BC边上的高AD的长.

解:在△ABC中,由已知设AB=7x,AC=8x(x>0).
由正弦定理得7xsinC=8xsinB.
∴sinC=7xsinB8x=78×437=32.
∵AB21,AC=24或AB=35,AC=40.
在△ABD中,AD=AB·sinB=437AB,
∴AD=123或AD=203.
10.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足bcos A=(2c+a)cos(π-B).
(1)求B的大小;
(2)若b=4,△ABC的面积为3,求a+c的值.
解:(1)由正弦定理及bcosA=(2c+a)cos(π-B),得sinBcosA=(2sinC+sinA)(-cosB),
即sinBcosA+cosBsinA=-2sinCcosB,
∴sin(B+A)=-2sinCcosB.
又B+A=π-C,∴sinC=-2sinCcosB,
又sinC≠0,∴cosB=-12.
∵02AB·BC·cosB=1+2-2×2×22=1,
∴△ABC为直角三角形,不合题意,舍去,
∴B=135°,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB=1+2-2×1×2×-22=5,
∴AC=5.
答案:B
2.在△ABC中,a=1,B=45°,S△ABC=2,则△ABC外接圆的半径为(　　)
A.23 B.42
C.522 D.32
解析:S△ABC=12acsinB=12csin45°=24c.
∵S△ABC=2,∴c=42.
由余弦定理得,b2=a2+c2-2accosB=1+32-2×1×42×22=25,∴b=5.
又∵bsinB=2R,∴R=b2sinB=52sin45°=522.
答案:C
3.在△ABC中,sin A=sinB+sinCcosB+cosC,则△ABC的形状为(　　)
A.直角三角形
B.等边三角形
C.等腰三角形
D.等腰或直角三角形
解析:(方法一)∵sinA=sinB+sinCcosB+cosC,
又A+B+C=π,
∴sinAcosB+sinAcosC=sin(A+C)+sin(A+B),
∴sinAcosB+sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC+sinAcosB+cosAsinB,
∴cosA(sinC+sinB)=0,
又sinC+sinB≠0,∴cosA0,
∵0b222.现有周长为22+5的△ABC满足sin A∶sin B∶sin C=(2-1)∶5∶(2+1),试用以上给出的公式求得面积为(　　)
A.34 B.32 C.54 D.52
解析:由正弦定理得sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c.
∵sinA∶sinB∶sinC=(2-1)∶5∶(2+1),
∴可设a=(2-1)x,b=5x,c=(2+1)x,
∴(2-1)x+5x+(2+1)x=22+5,
解得x=1,
∴a=2-1,b=5,c=2+1,∴S=34.
答案:A
5.如图所示,一块三角形土地ABC,AD是一条小路,BC=5 m,AC=4 m,cos∠CAD=3132,AD=BD,则该土地的面积是　　　　 m2. 

解析:设CD=xm,则AD=BD=(5-x)m.
在△CAD中,由余弦定理,可知
cos∠CAD=(5-x)2+42-x22×4×(5-x)=3132,解得x=1.
∴CD=1m,AD=BD=4m.
在△CAD中,由正弦定理,可知ADsinC=CDsin∠CAD,
∴sinC=ADCD·1-cos2∠CAD
=41-31322=378.
∴S△ABC=12AC·BC·sinC=12×4×5×378=1574(m2).
答案:1574
6.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c2=(a-b)2+6,△ABC的面积为323,则C=　　　　　. 
解析:∵c2=(a-b)2+6=a2+b2-2ab+6,
又由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC,
∴2ab-6=2abcosC,∴ab=31-cosC,
∴S△ABC=12absinC=3sinC2(1-cosC)=332,
∴3-3cosC=sinC,∴sin(C+60°)=32,
又C为△ABC的内角,∴C=60°.
答案:60°
7.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.

(1)若PB=12,求PA;
(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.
解1)由已知得∠PBC=60°,所以∠PBA=30°.
在△PBA中,由余弦定理,得
PA2=3+14-2×3×12cos30°=74.
故PA=72.
(2)设∠PBA=α,则∠PCB=∠PBA=α,
由已知得PB=sinα.
在△PBA中,由正弦定理,得3sin150°=sinαsin(30°-α),
化简得3cosα=4sinα.
所以tanα=34,即tan∠PBA=34.
8.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(b,-3a)与n=(cos A,sin B)垂直.
(1)求A;
(2)若B+π12=A,a=2,求△ABC的面积.
解:(1)∵m⊥n,
∴m·n=b·cosA-3a·sinB=0,
即bcosA=3asinB.
由正弦定理得sinBcosA=3sinAsinB.
又sinB≠0,
∴cosA=3sinA,∴tanA=33,
又0