2021-2022学年高中数学-第7章-复数-7.1.2-复数的几何意义训练新人教A版必修第二册.docx

2021-2022学年高中数学 第7章 复数 7.1.2 复数的几何意义训练新人教A版必修第二册

2021-2022学年高中数学 第7章 复数 7.1.2 复数的几何意义训练新人教A版必修第二册

年级：
姓名：

7.1.2　复数的几何意义
课后·训练提升
基础巩固
1.当23<m<1时,复数z=(3m-2)+(m-1)i在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析复数z在复平面内对应点Z(3m-2,m-1).
由23<m<1,得3m-2>0,m-1<0.故点Z位于第四象限.故选D.
答案D
2.已知x+xi=1+yi(x,y∈R),则|x+yi|=(　　)
A.1 B.2 C.3 D.2
解析∵x+xi=1+yi(x,y∈R),∴x=1,x=y,即x=y=1.
∴|x+yi|=x2+y2=2.故选B.
答案B
3.在复平面内,O为原点,向量OA对应的复数为-1+2i.若点A关于直线y=-x的对称点为点B,则向量OB对应的复数为(　　)
A.-2-i B.-2+i
C.1+2i D.-1+2i
解析∵向量OA对应的复数为-1+2i,
∴A(-1,2),又点A关于直线y=-x的对称点为点B,∴B(-2,1),
∴向量OB对应的复数为-2+i.
答案B
4.已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z在复平面内对应的点Z的集合是(　　)
A.一个圆 B.一条线段 C.两个点 D.两个圆
解析由题意可知(|z|-3)(|z|+1)=0.
∵|z|≥0,∴|z|=3.∴复数z在复平面内对应的点Z的集合是一个圆.
答案A
5.已知复数z=(cos θ+sinθ)+(sin θ-cos θ)i,若θ∈3π4,5π4,则z在复平面内所对应的点在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析由题意可知z=(cosθ+sinθ)-(sinθ-cosθ)i,
∵θ∈3π4,5π4,∴cosθ+sinθ<0,sinθ-cosθ>0,
∴z在复平面内所对应的点在第三象限.
答案C
6.已知复数z=1+i,则|z|=　　　　. 
解析|z|=|z|=2.
答案2
7.若复数z=5cos α-4i(-π<α<0)在复平面内对应的点在直线y=x-1上,则sin α=　　　　　,tan α=　　　　　. 
答案-45　43
8.在复平面内,O为坐标原点,向量OB对应的复数为3-4i.若点B关于原点的对称点为点A,点A关于虚轴的对称点为点C,则向量OC对应的复数为　　　　　. 
解析由题意,可知点B的坐标为(3,-4),则点A的坐标为(-3,4),点C的坐标为(3,4),故向量OC对应的复数为3+4i.
答案3+4i
9.当实数m取何值时,复数z=(m2-4m)+(m2-m-6)i在复平面内对应的点分别满足下列条件?
(1)在第三象限;(2)在虚轴上;(3)在直线y=x+3上.
解复数z=(m2-4m)+(m2-m-6)i在复平面内对应的点Z的坐标为(m2-4m,m2-m-6).
(1)∵点Z在第三象限,∴m2-4m<0,m2-m-6<0,
解得0<m<3.
(2)∵点Z在虚轴上,
∴m2-4m=0,解得m=0或m=4.
(3)∵点Z在直线y=x+3上,
∴m2-m-6=m2-4m+3,解得m=3.
10.已知复数z在复平面内对应的点在直线y=12x上,且|z|=35,求复数z.
解设z=a+bi(a,b∈R).
由题意,可知b=12a,a2+b2=35,
解得a=6,b=3或a=-6,b=-3.
故z=6+3i或z=-6-3i.
能力提升
1.已知在复平面内复数z1=2-ai(a∈R)对应的点在直线y=13x+43上,则复数z2=a+2i对应的点在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析在复平面内复数z1=2-ai对应的点的坐标为(2,-a).由题意,可知-a=23+43=2,即a=-2.故在复平面内z2=-2+2i对应的点在第二象限.故选B.
答案B
2.对于下列四个结论:
①任何复数的模都是正数;
②如果复数z1=5i,z2=2-3i,z3=-5i,z4=2-i,那么这些复数的对应点共圆;
③|cos θ+isinθ|的最大值为2,最小值为0;
④在复平面内,x轴是实轴,y轴是虚轴.
其中正确的有(　　)
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解析当z=0时,|z|=0,故①错误;因为|z1|=5,|z2|=5,|z3|=5,|z4|=5,所以这些复数的对应点均在以原点为圆心,5为半径的圆上,故②正确;|cosθ+isinθ|=cos2θ+sin2θ=1,为定值,故③错误;④正确.
答案C
3.定义复数的一种运算z1*z2=|z1|+|z2|2.若复数z=a+bi,且正实数a,b满足a+b=3,则z*z的最小值为(　　)
A.92 B.322 C.32 D.94
解析z*z=|z|+|z|2=a2+b2=(a+b)2-2ab,
∵a+b=3,a>0,b>0,∴ab≤a+b22=94,
当且仅当a=b=32时,等号成立.
∴z*z≥9-2×94=322.
答案B
4.已知复数(sin θ-1)+(sin θ-cos θ)i(θ∈R)在复平面内对应的点在直线y=-x-1上,则tan θ的值为　　　. 
解析由题意,可知sinθ-cosθ=-(sinθ-1)-1,即2sinθ=cosθ,故tanθ=12.
答案12
5.设z∈C,在复平面内z对应的点为Z,则满足条件2≤|z|≤4的点Z的集合对应的图形的面积为　　　. 
解析满足条件2≤|z|≤4的点Z的集合对应的图形的面积是以原点O为圆心,以2及4为半径的两个圆所夹的圆环(包括边界)的面积,故所求面积为π×42-π×22=12π.
答案12π
6.已知x,y∈R,若x2+2x+(2y+x)i和3x-(y+1)i互为共轭复数,求复数z=x+yi和z.
解由已知得x2+2x=3x,2y+x=y+1,解得x=0,y=1或x=1,y=0.
所以z=i或z=1.
所以当z=i时,z=-i;
当z=1时,z=1.
7.已知复数z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i,它们在复平面内的对应点是一个正方形的三个顶点,求这个正方形的第四个顶点对应的复数.
解如图,设复数z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i在复平面内所对应的点分别为A,B,C,正方形的第四个顶点D(x,y)对应的复数为z=x+yi(x,y∈R),则A(1,2),B(-2,1),C(-1,-2).

∴AD=(x-1,y-2),BC=(1,-3).
∵四边形ABCD为正方形,
∴AD=BC.
∴x-1=1,y-2=-3,解得x=2,y=-1.
∴点D对应的复数为z=2-i.