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2021-2022学年高中数学 第2章 等式与不等式 2.2 微专题2 不等式恒成立、能成立问题学案 新人教B版必修第一册

2021-2022学年高中数学 第2章 等式与不等式 2.2 微专题2 不等式恒成立、能成立问题学案 新人教B版必修第一册

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微专题2　不等式恒成立、能成立问题
类型1　数形结合法解决恒成立问题
【例1】　当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，求m的取值范围．

[解]　令y＝x2＋mx＋4.
∵y＜0在[1,2]上恒成立，
∴x2＋mx＋4＝0的根一个小于1，另一个大于2.
如图，得
即解得m＜－5.
∴m的取值范围是(－∞，－5)．

结合函数的图像将问题转化为函数图像的对称轴，区间端点的函数值或函数图像的位置(相对于x轴)关系求解.可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.

1．(1)已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)＜0恒成立，求实数k的取值范围；
(2)若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．
[解]　(1)当k＝0时，原不等式化为－2＜0，显然符合题意．
当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，
∵y＜0恒成立，
∴其图像都在x轴的下方，即开口向下，且与x轴无交点．
∴解得－1＜k＜0.
综上，实数k的取值范围是(－1,0]．
(2)原不等式可化为x2－2x＋a2－3a－3≥0，
∵该不等式对任意实数x恒成立，
∴Δ≤0，即4－4(a2－3a－3)≤0，即a2－3a－4≥0，解得a≤－1或a≥4，
∴实数a的取值范围是(－∞，－1]∪[4，＋∞)．
类型2　分离参数法解决恒成立问题
【例2】　设函数y＝mx2－mx－1，x∈[1,3]，若y＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．
[解]　y＜－m＋5恒成立，
即m(x2－x＋1)－6＜0恒成立，
∵x2－x＋1＝＋＞0，
又m(x2－x＋1)－6＜0，
∴m＜.
∵y＝＝在1≤x≤3上的最小值为，∴只需m＜即可．
∴m的取值范围为.

通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题.

2．已知函数y＝对于任意x≥1且y＞0恒成立，求实数a的取值范围．
[解]　x≥1时，y＝＞0恒成立，等价于x2＋2x＋a＞0恒成立，
即a＞－(x2＋2x)恒成立，
即a＞[－(x2＋2x)]max.
令y1＝－(x2＋2x)，则当x≥1时，
y1＝－(x2＋2x)＝－(x2＋2x＋1)＋1
＝－(x＋1)2＋1≤－3.
∴实数a的取值范围为{a|a＞－3}．
类型3　转换主元解决恒成立问题
【例3】　已知a∈[－1,1]时不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，求x的取值范围．
[解]　把不等式的左端看成关于a的一次函数，记y＝(x－2)a＋x2－4x＋4，则由y＞0对于任意的a∈[－1,1]恒成立，
将a＝－1和a＝1代入，解不等式组
得x＜1或x＞3.
∴x的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)．

转换思维角度，即把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围求解.

3．对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2＋px＞4x＋p－3恒成立，试求x的取值范围．
[解]　不等式x2＋px＞4x＋p－3恒成立，即(x－1)p＋(x2－4x＋3)＞0，
设y＝(x－1)p＋(x2－4x＋3)是以p为自变量的一次函数，则0≤p≤4时y＞0恒成立，
即
解得x＞3或x＜－1．
∴x的取值范围是{x|x＞3或x＜－1}．
类型4　转化为函数的最值解决能成立问题
【例4】　若存在x∈R，使得≥2成立，求实数m的取值范围．
[解]　∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2＞0，
∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立，
∴m≥2x2－8x＋6能成立，
令y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2，
∴m≥－2，
∴m的取值范围为[－2，＋∞)．

能成立问题可以转化为m＞ymin或m＜ymax的形式，求出y的最大值与最小值，从而求得参数的取值范围.

4．已知函数y＝|2x＋1|－|x|.
(1)求不等式y＞0的解集；
(2)若存在x∈R，使得y≤m成立，求实数m的取值范围．
[解]　(1)由y＞0，得|2x＋1|＞|x|，两边同时平方，得3x2＋4x＋1＞0，
解得x＜－1或x＞－.
故原不等式的解集为
.
(2)存在x∈R，使得y≤m成立，故m≥ymin.
当x＜－，y＝－x－1；
当－≤x＜0，y＝3x＋1；
当x≥0，y＝x＋1．
当x＝－时，y取得最小值为－.
∴m≥－，
即m的取值范围为.