2021-2022学年高中数学-第2章-等式与不等式-2.2-微专题2-不等式恒成立、能成立问题学案.doc

2021-2022学年高中数学 第2章 等式与不等式 2.2 微专题2 不等式恒成立、能成立问题学案 新人教B版必修第一册2021-2022学年高中数学 第2章 等式与不等式 2.2 微专题2 不等式恒成立、能成立问题学案 新人教B版必修第一册年级：姓名：微专题2不等式恒成立、能成立问题 类型1数形结合法解决恒成立问题【例1】当1x2时，不等式x2mx40恒成立，求m的取值范围解令yx2mx4.y0在1,2上恒成立，x2mx40的根一个小于1，另一个大于2.如图，得即解得m5.m的取值范围是(，5)结合函数的图像将问题转化为函数图像的对称轴，区间端点的函数值或函数图像的位置(相对于x轴)关系求解.可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.1(1)已知不等式kx22kx(k2)0恒成立，求实数k的取值范围；(2)若不等式x22x3a23a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围解(1)当k0时，原不等式化为20，显然符合题意当k0时，令ykx22kx(k2)，y0恒成立，其图像都在x轴的下方，即开口向下，且与x轴无交点解得1k0.综上，实数k的取值范围是(1,0(2)原不等式可化为x22xa23a30，该不等式对任意实数x恒成立，0，即44(a23a3)0，即a23a40，解得a1或a4，实数a的取值范围是(，14，) 类型2分离参数法解决恒成立问题【例2】设函数ymx2mx1，x1,3，若ym5恒成立，求m的取值范围解ym5恒成立，即m(x2x1)60恒成立，x2x10，又m(x2x1)60，m.y在1x3上的最小值为，只需m即可m的取值范围为.通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题.2已知函数y对于任意x1且y0恒成立，求实数a的取值范围解x1时，y0恒成立，等价于x22xa0恒成立，即a(x22x)恒成立，即a(x22x)max.令y1(x22x)，则当x1时，y1(x22x)(x22x1)1(x1)213.实数a的取值范围为a|a3 类型3转换主元解决恒成立问题【例3】已知a1,1时不等式x2(a4)x42a0恒成立，求x的取值范围解把不等式的左端看成关于a的一次函数，记y(x2)ax24x4，则由y0对于任意的a1,1恒成立，将a1和a1代入，解不等式组得x1或x3.x的取值范围是(，1)(3，)转换思维角度，即把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围求解.3对于满足0p4的一切实数，不等式x2px4xp3恒成立，试求x的取值范围解不等式x2px4xp3恒成立，即(x1)p(x24x3)0，设y(x1)p(x24x3)是以p为自变量的一次函数，则0p4时y0恒成立，即解得x3或x1x的取值范围是x|x3或x1 类型4转化为函数的最值解决能成立问题【例4】若存在xR，使得2成立，求实数m的取值范围解x22x3(x1)220，4xm2(x22x3)能成立，m2x28x6能成立，令y2x28x62(x2)222，m2，m的取值范围为2，)能成立问题可以转化为mymin或mymax的形式，求出y的最大值与最小值，从而求得参数的取值范围.4已知函数y|2x1|x|.(1)求不等式y0的解集；(2)若存在xR，使得ym成立，求实数m的取值范围解(1)由y0，得|2x1|x|，两边同时平方，得3x24x10，解得x1或x.故原不等式的解集为.(2)存在xR，使得ym成立，故mymin.当x，yx1；当x0，y3x1；当x0，yx1当x时，y取得最小值为.m，即m的取值范围为.