2020年3月高三第一次大联考(新课标Ⅱ卷)理科数学试卷(含答案).pdf

理科数学第 1页（共 6页）2020 年 3 月高三第一次大联考（新课标卷）理科数学试卷（满分：150 分 考试时间：120 分钟）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1若21iiz ，则z的虚部是A3B3C3iD3i2已知集合2|1Ax x,2|log1Bxx，则A|02ABxxB|2ABx xC|2ABx xD|12ABxx 3已知等差数列na的前 n 项和为nS，262,21aS，则5a A3B4C5D64刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在九章算术中对勾股定理的证明如图所示.“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也合成弦方之幂，开方除之，即弦也”.已知图中网格纸上小正方形的边长为 1，其中“正方形ABCD为朱方，正方形BEFG为青方”，则在五边形AGFID内随机取一个点，此点取自朱方的概率为A1637B949C937D3115根据国家统计局发布的数据，2019 年 11 月全国 CPI（居民消费价格指数）同比上涨 4.5%，CPI 上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响 CPI 上涨 3.27 个百分点.下图是 2019 年 11 月 CPI一篮子商品所占权重，根据该图，下列结论错误的是理科数学第 2页（共 6页）ACPI 一篮子商品中所占权重最大的是居住BCPI 一篮子商品中吃穿住所占权重超过 50%C猪肉在 CPI 一篮子商品中所占权重为 2.5%D猪肉与其他畜肉在 CPI 一篮子商品中所占权重约为 0.18%6函数cos()cosxxf xxx在 2,2 的图象大致为ABCD72019 年 10 月 1 日，中华人民共和国成立 70 周年，举国同庆.将 2,0,1,9,10 这 5 个数字按照任意次序排成一行，拼成一个 6 位数，则产生的不同的 6 位数的个数为A96B84C120D3608已知直线30 xym过双曲线 C：22221(0,0)xyabab的左焦点 F，且与双曲线 C 在第二象限交理科数学第 3页（共 6页）于点 A，若|FAFO（O 为坐标原点），则双曲线 C 的离心率为A2D519 如图，已知正方体1111B 3+1 C 5ABCD A B C D 的棱长为 2，点 P 段1CB上，且12B PPC，平面经过点1,A P C，则正方体1111ABCDABC D被平面截得的截面面积为A3 6B2 6C5D5 3410已知1F，2F是椭圆22221(0)xyCabab：的左、右焦点，过2F的直线交椭圆于,P Q两点.若2211|,|,|,|QFPFPFQF依次构成等差数列，且1|PQPF，则椭圆C的离心率为A23B34C155D1051511为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线OL时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线OKL时，表示收入完全不平等.记区域A为不平等区域，a表示其面积，S为OKL的面积，将GiniaS称为基尼系数.对于下列说法：Gini越小，则国民分配越公平；设劳伦茨曲线对应的函数为()yf x，则对(0,1)x，均有()1f xx；理科数学第 4页（共 6页）若某国家某年的劳伦茨曲线近似为2(0,1)yxx，则1Gini4；若某国家某年的劳伦茨曲线近似为3(0,1)yxx，则1Gini2.其中正确的是：ABCD12 定 义：()()N f xg x表 示 不 等 式()()f xg x的 解 集 中 的 整 数 解 之 和.若2()|log|f xx，2()(1)2g xa x，()()6N f xg x，则实数a的取值范围是A(,1 B2(log 32,0)C2(2log 6,0D2log 32(,04二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13已知单位向量,a b的夹角为23,则|2|ab=_.14若1sin(),(0,)63，则cos()12_.15已知数列na中，nS为其前n项和，11a，12nnna a，则6a _，200S_.16一个长、宽、高分别为 1、2、2 的长方体可以在一个圆柱形容器内任意转动，则容器体积的最小值为_.三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分 12 分）已知ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，且满足22cosabBc.（1）求角C的大小；（2）若ABC的面积为3 32，求ABC的周长的最小值.18（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥PABCD中，PAB是等边三角形，BC AB，2 3BCCD，2ABAD.（1）若3PBBE，求证：AE平面PCD；（2）若4PC，求二面角APCB的正弦值19（本小题满分 12 分）理科数学第 5页（共 6页）已知抛物线2:2(0)C ypx p的焦点为F，直线l交C于,A B两点（异于坐标原点 O）.（1）若直线l过点F,12OA OB ，求C的方程；（2）当0OA OB 时，判断直线l是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.20（本小题满分 12 分）手工艺是一种生活态度和对传统的坚持，在我国有很多手工艺品制作村落，村民的手工技艺世代相传，有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名，还大量远销海外.近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎，该村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品都请 3 位行家进行质量把关，质量把关程序如下：（i）若一件手工艺品 3 位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为 A 级；（ii）若仅有 1 位行家认为质量不过关，再由另外 2 位行家进行第二次质量把关，若第二次质量把关这 2 位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为 B 级，若第二次质量把关这2 位行家中有 1 位或 2 位认为质量不过关，则该手工艺品质量为 C 级；（iii）若有 2 位或 3 位行家认为质量不过关，则该手工艺品质量为 D 级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被 1 位行家认为质量不过关的概率为13，且各手工艺品质量是否过关相互独立.（1）求一件手工艺品质量为 B 级的概率；（2）若一件手工艺品质量为 A,B,C 级均可外销，且利润分别为 900 元，600 元，300 元，质量为 D 级不能外销，利润记为 100 元.求 10 件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件；记 1 件手工艺品的利润为 X 元，求 X 的分布列与期望.21（本小题满分 12 分）已知函数ln()exxf xa.（1）若()f x在1,2上是减函数，求实数a的最大值；（2）若01a，求证：2ln()af xa.请考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分22（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线 C 的参数方程为1cos|sin|xy(为参数).在以坐标原点为极点，x 轴的理科数学第 6页（共 6页）正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为sin()36.（1）求曲线 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程；（2）求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值与最小值.23（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知()|2|f xxx.（1）求()f x的最小值；（2）求不等式|4|()xf xx的解集.理科数学 全解全析第 1页（共 9页）2020 年 3 月高三第一次大联考（新课标卷）理科数学 全解全析123456789101112BDCCDABBBDAD1B【解析】因为1i2i13iz ，所以z的虚部是3.故选 B2 D【解 析】因 为2|1|11Ax xxx,2|log1|02Bxxxx,所 以|01ABxx,|12ABxx,故选 D3C【解析】方法一：设等差数列na的公差为d，则112656212adad，解得111ad，所以51(51)15a .故选 C方法二：因为166256()3()2aaSaa，所以53(2)21a，则55a.故选 C4C【解析】由题图得，3,4ABBGCI，根据题意得22345DI.五边形AGFID的面积为112534343722AGFIDS 五边形，正方形ABCD的面积为 9，因此，所求概率为937P.故选 C5D【解析】CPI 一篮子商品中，居住所占权重为 23.0%，最大，选项 A 正确；吃穿住所占权重为19.9%+8.0%+23.0%=50.9%50%，选项 B 正确；猪肉在 CPI 一篮子商品中所占权重为 2.5%，选项 C 正确；猪肉与其他畜肉在 CPI 一篮子商品中所占权重为 4.6%，选项 D 错误.故选 D6 A【解析】因为(0)1f，所以排除C、D 当x从负方向趋近于0时，0coscosxxxx，可得0()1f x.故选 A7B【解析】2,0,1,9,10 按照任意次序排成一行，得所有不以 0 开头的排列数共444A96个，其中含有 2个 10 的排列数共24A12个，所以产生的不同的 6 位数的个数为961284.故选 B8 B【解析】直线30 xym的倾斜角为3，易得|FAFOc 设双曲线 C 的右焦点为 E，可得AFE中，90FAE，则|3AEc，所以双曲线 C 的离心率为2313cecc.故选 B9B【解析】延长1C P与 BC 交于点 E，则点 E 为 BC 中点，连接 AE，取11AD中点 F，连接 AF，1C F，则四边形1AEC F就是正方体1111ABCDABC D被平面截得的截面,四边形1AEC F是边长为5的菱形，连接1,AC EF，所以1ACEF，且12 3,2 2ACEF，所以四边形1AEC F的面积为2 6,故选 B理科数学 全解全析第 2页（共 9页）10D【解析】如图所示，设2211|,|,|,|QFPFPFQF依次构成等差数列na，其公差为d.根据椭圆定义得12344aaaaa，又123aaa，则1111111()(2)(3)4()2aadadadaaadad，解得25da，12342468,5555aa aa aa aa.所以18|5QFa，16|5PFa，24|5PFa，6|5PQa.在12PFF和1PFQ中，由余弦定理得2222221246668()()(2)()()()55555cos4666225555aacaaaFPFaaaa，整理解得10515cea.故选 D11A【解析】对于，根据基尼系数公式GiniaS，可得基尼系数越小，不平等区域的面积a越小，国民分配越公平，所以正确.对于，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得(0,1)x，均有()f xx，可得()1f xx，所以错误.对于，因为1223100111()d()|236axxxxx，所以116Gini132aS，所以错误.对于，因为1324100111()d()|244axxxxx，所以114Gini122aS，所以正确.故选 A12D【解析】由题意得，()()6N f xg x表示不等式22|log|(1)2xa x的解集中整数解之和为 6.当0a 时，数 形 结 合（如 图）得22|log|(1)2xa x的 解 集 中 的 整 数 解 有 无 数 多 个，理科数学 全解全析第 3页（共 9页）22|log|(1)2xa x解集中的整数解之和一定大于 6.当0a 时，()2g x，数形结合（如图），由()2f x 解得144x.在1(,4)4内有 3 个整数解，为 1，2，3，满足()()6N f xg x，所以0a 符合题意.当0a 时，作出函数2()|log|f xx和2()(1)2g xa x的图象，如图所示.若()()6N f xg x，即22|log|(1)2xa x的整数解只有 1，2，3.只需满足(3)(3)(4)(4)fgfg，即2log 342292aa，解得2log 3204a，所以2log 3204a.综上，当()()6N f xg x时，实数a的取值范围是2log 32(,04.故选 D.13 7【解 析】因 为 单 位 向 量,a b的 夹 角 为23，所 以21|cos32 a bab，所 以|2|ab=2214414()42 aa bb=7.14426【解析】因为()()6124，所以()1246.因为(0,)，所以理科数学 全解全析第 4页（共 9页）7(,)666，又1sin()063，所以7(,)66，所以212 2cos()1()633 .cos()cos()coscos()sinsin()1246464622 22142()()23236 .15 8，100323（写为100101223也得分）【解析】由11a，12nnna a得，22a.当2n 时，112nnnaa，所以112nnaa，所以na的奇数项是以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列；其偶数项是以 2 为首项，以2 为公比的等比数列.则26228a，1001001001011002001(12)2(12)2233 231212S.16274【解析】一个长、宽、高分别为 1、2、2 的长方体可以在一个圆柱形容器内任意转动,则圆柱形容器的底面直径及高的最小值均等于长方体的体对角线的长,长方体的体对角线的长为2221+2+2=3,所以容器体积的最小值为2327()3=24.17（本小题满分 12 分）【解析】（1）因为22cosabBc，所以2 cos2bcBa，（1 分）由余弦定理得222222acbbcaac，化简得222abcab，可得222122abcab，解得1cos2C，（4 分）又因为(0,)C，所以3C.（6 分）（2）因为133 3sin242ABCSabCab，所以6ab，（8 分）则22 6abab（当且仅当6ab时，取等号）.（9 分）由（1）得22226cababababab（当且仅当6ab时，取等号），解得6c.（11 分）所以3 6abc（当且仅当6abc时，取等号），所以ABC的周长的最小值为3 6.（12 分）18（本小题满分 12 分）【解析】（1）如图，作EFPC，交BC于F，连接AF.因为3PBBE，所以E是PB的三等分点，可得2 33BF.因为2ABAD，2 3BCCD，ACAC，所以ABCADC，因为BC AB，所以90ABC，（1 分）理科数学 全解全析第 5页（共 9页）因为23tan32 3ABACBBC，所以30ACBACD，所以60BCD，（2 分）因为2tan32 33ABAFBBF，所以60AFB，所以AFCD，（3 分）因为AF 平面PCD，CD 平面PCD，所以AF平面PCD.（4 分）又EFPC，EF 平面PCD，PC 平面PCD，所以EF平面PCD.（5 分）因为AFEFF，AF、EF 平面AEF，所以平面AEF平面PCD，所以AE平面PCD.（6 分）（2）因为PAB是等边三角形，2AB，所以2PB.又因为4PC，2 3BC，所以222PCPBBC，所以BCPB.又BC AB，,AB PB 平面PAB，ABPBB，所以BC 平面PAB.因为BC 平面ABCD，所以平面PAB 平面ABCD.在平面PAB内作Bz 平面ABCD.（7 分）以 B 点为坐标原点，分别以,BC BA Bz所在直线为,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则(2 3,0,0)C，(0,2,0)A，(0,1,3)P，所以(2 3,0,0)BC ，(0,1,3)BP ，(2 3,2,0)AC，(0,1,3)AP .（8 分）设111(,)x y zm为平面BPC的法向量，则00BCBP mm，即1112 3030 xyz，令11z ，可得(0,3,1)m.（9 分）设222(,)xyzn为平面APC的法向量，则00ACAP nn，即22222 32030 xyyz，令21z，可得(1,3,1)n.（10 分）理科数学 全解全析第 6页（共 9页）所以3 155,25cosm n，则252 51()n5s,5im n，所以二面角APCB的正弦值为2 55.（12 分）19（本小题满分 12 分）【解析】设1122(,),(,)A x yB xy.（1）由题意知(,0)2pF，221212(,),(,)22yyAyBypp.设直线l的方程为()2pxtytR，（1 分）由222ypxpxty得2220yptyp，则2 22440p tp，由根与系数的关系可得212122,yypt y yp，（3 分）所以22212122344y yOA OBy ypp .（4 分）由12OA OB ，得23124p，解得4p.（5 分）所以抛物线C的方程为28yx.（6 分）（2）设直线l的方程为(,0)xnym nmR，（7 分）由22ypxxnym得2220ypnypm，由根与系数的关系可得122y ypm，（9 分）所以2221212121222(2)2044y ypmOA OBx xy yy ypmpp ，解得2mp.（11 分）所以直线l的方程为2()xnyp n R，所以0OA OB 时，直线l过定点(2,0)p.（12 分）20（本小题满分 12 分）【解析】（1）一件手工艺品质量为 B 级的概率为122311116C(1)(1)33381.（3 分）（2）由题意可得一件手工艺品质量为 D 级的概率为2233331117C()(1)C()33327，设 10 件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是件，则7(10,)27B，（5 分）则1010720()C()()2727kkkPk,119101010720C()()(1)7072727720()2020C()()2727kkkkkkPkkPkk.理科数学 全解全析第 7页（共 9页）由70712020kk得5027k，所以当1k 时，(2)1(1)PP，即(2)(1)PP，由70712020kk得5027k，所以当2k 时，(1)()PkPk，所以当2k 时，()Pk最大，即 10 件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是 2 件.（8 分）由上可得一件手工艺品质量为 A 级的概率为318(1)327，一件手工艺品质量为 B 级的概率为1681，一件手工艺品质量为 C 级的概率为1212321111120C(1)C(1)()3333381，一件手工艺品质量为 D 级的概率为727，所以 X 的分布列为X900600300100P82716812081727则期望为81620713100()9006003001002781812727E X.（12 分）21（本小题满分 12 分）【解析】（1）1()e(0)xfxxax，（1 分）在1,2上，因为()f x是减函数，所以1()e0 xfxax恒成立，即1exxa恒成立，只需max1(e)xxa.（3 分）令()ext xx，1,2x，则()eexxt xx，因为1,2x，所以()0t x.所以()ext xx在1,2上是增函数，所以2max(e)2exx，所以212ea，解得2102ea.（4 分）所以实数a的最大值为212e.（5 分）（2）ln()e(0)xxf xxa，1()exfxax.令1()e(0)xg xxax，则21()exg xax，根据题意知()0g x，所以()g x在(0,)上是增函数.（7 分）又因为11()e10aga，当x从正方向趋近于 0 时，1ax趋近于，ex趋近于 1，所以1()e0 xg xax，理科数学 全解全析第 8页（共 9页）所以存在01(0,)xa，使0001()e0 xg xax，即001exax，000ln()lnlnxaxax ，（9 分）所以对任意0(0,)xx，()0g x，即()0fx，所以()f x在0(0,)x上是减函数；对任意0(,)xx，()0g x，即()0fx，所以()f x在0(,)x 上是增函数，所以当0 xx时，()f x取得最小值，最小值为0()f x.（10 分）由于001exax，00lnlnxxa，则000000000lnln11ln1ln2ln()e2xxxaxxaaaf xaaxaaxaaaxaaaa=2lnaa，当且仅当001xaxa=，即01x 时取等号，所以当01a时，2ln()af xa（12 分）22（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程【解析】（1）曲线 C 的参数方程为1cos|sin|xy，消去参数得曲线 C 的普通方程为22(1)1(01)xyy，（2 分）直线 l 的极坐标方程为sin()36，即3 sincos60，由cosx,siny得直线 l 的直角坐标方程为360yx.（5 分）（2）曲线 C 是以(1,0)为圆心，以 1 为半径的上半圆，（6 分）圆心到直线 l 的距离减去半径为最小值，所以最小值为22|7|751122(1)(3)，点(2,0)到直线 l 的距离最大，所以最大值为22264(1)(3)，（9 分）所以曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为 4，最小值为52.（10 分）23（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲【解析】（1）因为()|2|(2)|2f xxxxx，当02x时取等号，所以()f x的最小值为 2.（5 分）（2）当0 x 时，|4|()xf xx等价于|2|4xx，该不等式恒成立；理科数学 全解全析第 9页（共 9页）当02x时，|4|()xf xx等价于24，该不等式不成立；当2x 时，|4|()xf xx等价于224xxx，解得3x，（8 分）所以不等式|4|()xf xx的解集为(,0)(3,).（10 分）