高等代数(一)试题及参考答案.doc

高等代数（一）考试试卷一、单选题（每一小题备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确答案的题号填入答题纸内相应的表格中。错选、多选、不选均不给分，6小题，每小题4分，共24分）1. 以下乘积中（ ）是4阶行列式展开式中取负号的项.A、. B、. C、. D、.2行列式中元素的代数余子式是（ ）.A、. B、. C、. D、.3设都是阶矩阵，若，则正确的是（ ）.A、. B、. C、或. D、.4下列向量组中，线性无关的是（ ）.A、. B、. C、，其中. D、，其中任一向量都不能表示成其余向量的线性组合.5设是阶矩阵且，则中（ ）.A、必有个行向量线性无关. B、任意个行向量线性无关. C、任意个行向量构成一个极大线性无关组. D、任意一个行向量都能被其它个行向量线性表出.6阶矩阵具有个不同的特征值是与对角阵相似的（ ）条件.A、充要. B、充分非必要. C、必要非充分. D、非充分非必要.二、判断题（正确的打，错误的打，5小题，每小题2分，共10分）.1若为阶矩阵，为非零常数，则. （ ）2若两个向量组等价，则它们包含的向量个数相同. （ ）3对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变. （ ）4正交矩阵的逆矩阵仍是正交矩阵. （ ）5任何数域都包含有理数域. （ ）三、填空题（每空4分，共24分）.1行列式 .2已知，则 ， .3矩阵，则 .4设线性方程组有解，其系数矩阵与增广矩阵的秩分别为和，则与的大小关系是 .5设，则 .四、计算题（4小题，共42分）1计算行列式（1）；（2）.（每小题6分，共12分）2用基础解系表出线性方程组的全部解.（10分）3求与向量组等价的正交单位向量组.（10分）4求矩阵的特征根和特征向量.（10分）一、单选题（每题4分，共24分）题号123456答案BCADAB二、判断题（每题2分，共10分）题号12345答案三、填空题（每空4分，共24分）1； 2（1）； （2）；3； 4；5.四、计算题（共42分）1（12分，每小题各6分）(1)解： .（3分） .（3分） 注：中间步骤形式多样，可酌情加分 (2)解： ，此行列式为范德蒙行列式 .（3分） 进而 .（3分）2（10分）解：用初等变换把增广矩阵化为阶梯形 .（3分）得同解方程组取为自由未知量，得方程的一般解为（其中为自由未知量）将代入得特解. .（3分）用同样初等变换，得到与导出组同解的方程组仍取为自由未知量，得一般解，将和分别代入得到一个基础解系： .（3分）所以，原方程组的全部解为 ，为数域P中任意数。 .（1分）注：答案不唯一，但同一齐次方程组的基础解系必等价。3(10分)解：因是线性无关向量组，现将 正交化，令， .（6分）再将向量组单位化，得，. 即就是与等价的正交单位向量组。 .（4分） 注：答案不唯一。4（10分）解：的特征多项式为所以的特征值为（2重）. .（4分）对应的齐次线性方程组为它的基础解系是，（）为的属于特征值的特征向量； .（3分）对应的齐次线性方程组为它的基础解系是；（不同时为零）为的属于特征值的特征向量. .（3分）注：答案不唯一.第6页，共6页