级高等代数试卷A参考答案及评分标准样本.doc

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重庆大学《高等代数( 2) 》课程试题( A卷) 参考答案
~ 第 2 学期 考试时间: -7-11

1. 解: 显然所给集合对于定义的加法和数乘运算封闭。
对于加法运算, 易证:
( 1) ; ………………………….( 1分)
( 2) ; ...( 2分)
( 3) ; ………………….………………………….( 3分)
( 4) ; ………………….……………………….( 4分)
对于数乘运算,
( 5) ; …….…………..………….( 5分)
( 6) ; ………….( 6分)
( 7)
.…………..………..…….( 8分)
( 8)
……..…….( 10分)
故构成实数域上的一个线性空间。

2. 解: 取中间基, , , 。
则, , 其中
, , 从而,
, ..…………………..….( 5分)
其中
, , 这就是由基到基的过渡矩阵。..……………………………………………….….( 7分)
,
于是在下的坐标为。……………………….….( 10分)
3. 解: 二次型的矩阵为, ………………………….( 1分)
由经过正交变换后的标准型为, 的特征值为.( 3分)
故, 即

因此, 于是。…………………………….…….……….( 6分)
相应于特征值的特征向量分别为:
, ………………………….……………..……….( 8分)
因此,其中。………………………….…….……….( 10分)
4. 证明: 下证AA-1
设AA, 因A, 故,使A, …………..( 2分)
因A,因此A。………………………………………………………..( 4分)
于是AA, 因此(A),A, 即AA-1。( 6分)
又因为A+A,因此(A+A)
从而A+A,故AA.……………………………………..…..( 10分)

5. 证明: 因为A, B都是正定矩阵, 因此存在可逆矩阵C使得
, 。其中。( 4分)
于是
。……………………………………..…..…..( 6分)
又因为正定, 故。………………………………..…..( 8分)
于是。……………………………....…..…..( 10分)

6. 证明: A相似于一个若当形矩阵, 即存在可逆阵T, 使得
, 其中。…………....…..…..( 2分)
首先证明。
因为, 于是, 从而。..…..…..( 5分)
再证。
因为, 于是, 从而有某个, 于是若当块的阶数为n。………………………………………………………….………..…..( 8分)
综上所述, A相似于若当块。………………….………..…..( 9分)
同理, B也相似于若当块。
于是A与B相似。……………………………………………………….………..…..( 10分)

7. 证明:
（1） 必要性。
设A是反对称线性变换, 且A在标准正交基下的矩阵为A。则有A。于是
( A, ) ＝, ( , A) ＝。
又因为A是反对称线性变换, 因此＝－, 从而A是反对称矩阵。..( 4分)
充分性。
设A在标准正交基下的矩阵为反对称矩阵A, 其中。则有
( A, ) ＝＝－＝－, A) 。
, 设, 于是
( A, ) ＝( AA)
＝( A ＝ A
＝－( AA)
＝－( , A) 。
因此A是反对称线性变换。…………….……………….…..…..( 8分)
( 2) 。因为W是A的不变子空间, 故A。
于是, 由A是反对称线性变换, 得
( A, ) ＝－( , A) ＝0。
因此也是A的不变子空间。…………….……………..…..( 15分)

8. 解: 对A的特征矩阵进行初等变换, 得
。…………….………..…..( 4分)
（1） 由上式, 得A得最小多项式为; …………….………..( 8分)
（2） 由上式, 得A的初等因子为。…………….……..( 10分)
故A的若当标准形为
; ………………………….………..………..( 12分)
（3） 由( 2) 知, A的特征值为。………..( 14分)
对于特征值, 相应的线性无关的特征向量为
。
对于特征值, 相应的特征向量为。
令, 则有。…….( 18分)
（4） 将正交化得

。
再将单位化, 得
。
再将单位化得。
令, 则有。..( 25分)