高等代数2011-2012第一学期试卷参考答案及评分标准.doc

高等代数2011-2012第一学期参考答案及评分标准 （A卷）一选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.请在每小题的四个备选答案中选出一个正确的答案，并将其号码填入题后的括号内）.1设A、B、C都是n阶矩阵，则下列说法中正确的是 【 D 】AAB=BA B若AB=AC，则B=CCr(AB)=r(A)+r(B) D若A、B都可逆，则AB可逆2设A、B为n阶方阵，A0，且AB=0，则下列成立的是 【 A 】A|B|=0或|A|=0 BBA=O C DB=O3下列关于多项式的说法中错误的是 【 B 】A奇数次实系数多项式一定有实根 B若在有理数域上可约,则一定存在有理根C若，则D若是的k重因式，则是的k-1重因式4设，且，若，则 【 C 】A BC D5设A是数域F上的矩阵，若A的秩等于，则 【 D 】 A至多有一个阶子式不为零B所有阶子式都不为零C所有阶子式不为零D所有阶子式都为零6设A为mn矩阵，则下列叙述中正确的是 【 B 】A.当m=n时，齐次线性方程组AX=0仅有零解B.当mn时，齐次线性方程组AX=0有非零解C.当mn时，非条线性方程组AX=B有唯一解D.当mn时，非齐线性方程组AX=B有无穷多解7已知是5阶行列式中的一项，且带正号，其中，则的值是 【 C 】A4 B3 C2 D18用初等矩阵 左乘矩阵A得到，其结果相当于 【 A 】 A用数乘以的第行加到第行上 B用数乘以的第行加到第行上 C用数乘以的第列加到第列上 D用数乘以的第列加到第列上二填空题（本大题共8个小题，每空3分，共24分.请将正确结果填在题中横线上）.1设 ，则；2设A是3阶方阵，是A的伴随矩阵，则=125；3（ax-b）除多项式f（x）的余式为 ；4把表示成的方幂和为；5= ；6设，则= ；7至少是多项式的二重根，则= 5 ；8行列式的展开式中，x的系数是 2 .三计算题（本大题共4个小题，共28分.请写出必要的推演步骤和文字说明）.1（本小题6分）解矩阵方程：解：， 2分 4分 = 6分2（本小题6分）为何值时，齐次线性若方程组有非零解，并求出它的一般解.解：组有非零解，得=3 2分增广矩阵4分易知组的通解为 （为自由未知量） 5分取，得一般解 6分3（本小题6分）已知是多项式的一个根，求其余的根；并写出在C上的典型分解式.解：因是的根,所以,也是的根,从而 2分 所以, 的典型分解式为: 6分4（本小题10分）求解含参数的线性方程组.解: 对增广矩阵施行行初等变换 4分 对参数a讨论如下: (1).当,方程组有唯一解; 6分 (2). 当,方程组有无穷多解 8分(3). 当,方程组无解. 10分四证明题：（本大题共3个小题，共24分.证明须写出必要的推演步骤和文字说明）.1（本小题7分）设，求证：|；证明： 3分 令不整除，则 6分所以不整除，与题设矛盾 7分2（本小题7分）A为n阶方阵，且=I，证明：不可逆.证明: 因 5分 所以, 7分 故不可逆. 7分3（本小题10分）设为非零多项式，且是一个不可约多项式,证明：;证明：用反证法.若与不互素，不妨令，则从而； 2分又不可约，故存在，使，所以 4分与0矛盾，所以