第十四章曲线积分曲面积分与场论.doc

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第十四章 曲线积分、曲面积分与场论
教学目的与要求
1 掌握两类曲线积分和两类曲面积分的定义及相互联系；
2 掌握两类曲线积分和两类曲面积分的计算；
3掌握Green公式 公式和公式，并能应用它们来求第二类线面积分；
4理解曲线积分与路径无关的含义；
5了解外微分的定义及应用；
6了解场论初步的基本知识。

教学重点
1两类曲线积分和两类曲面积分的计算；
2 Green公式 公式和公式的应用；
3曲线积分与路径无关的条件。

教学难点
1两类曲线积分互化和两类曲面积分互化；
2 曲线积分与路径无关的条件。

§1第一型曲线积分和第一类面面积分
教学目的
1掌握第一类曲线积分和第一类曲面积分的定义；
2 会求曲面的面积。

教学过程
背景:几何体的质量： 已知密度函数 ， 分析线段、平面区域、空间几何体的质量
1 第一类曲线积分
1.1 定义（P294----295)
1。2 性质(P295）
1.3 计算（P295-———296）
例1 设是半圆周， .
.
例2 设是曲线上从点到点的一段. 计算第一型曲线积分 .
空间曲线上的第一型曲线积分: 设空间曲线,
. 函数连续可导， 则对上的连续函数, 有
。
例3 计算积分, 其中是球面被平面
截得的圆周 。
解 由对称性知 ， ，
=. ( 注意是大圆 )
2 曲面的面积P298----304

3 第一型曲面积分
3.1 定义（P304-—--305）
3。2 计算
1 设有光滑曲面 .为上的连续函数,
则 。
例4 计算积分, 其中是球面 被平面
所截的顶部 .
例5 求，其中是球面与平面的交线.
解法1

解法2 求曲线的参数方程。由，消去，得
, 即
令，则

于是得到两组参数方程

我们可任选一组，例如第一组。显然，被积函数和都具有轮换对称性,则

解法3 作坐标旋转。就坐标是，新坐标是，旋转角为，则旋转变换的一般公式为
，
因为平面的单位法矢为，则它与轴的夹角余弦为。下面分两步进行旋转，先将平面旋转，得新坐标系；再将平面旋转，得新坐标系。即

由旋转公式得

于是得

在这组变换下,曲线：，变为，,故

注1 三种解法各具特点:
解法1技巧性强,直接利用了几何意义，而不必化为定积分。
解法2常规的方法，即
写出参数方程 套公式 计算定积分
这里主要难在第一步,写参数方程。通过解法2，给出了一种求参数方程的方法。
解法3先通过坐标旋转，将问题转化为另一个与之等价的问题,再按常规的方法计算。
坐标系下的线积分 坐标系下的线积分
写出参数方程 套公式 计算定积分
在新的坐标下，曲线有简单的参数方程.这个解法表明,可以适当地转化问题，例如作坐标旋转，从而获得简单的参数方程。

作业：P309-310 1（1)(3）（5）（7）、3(2）（4）(6）、4（1）（4）（7）、9、11

§2 第二型曲线积分和第二型曲面积分
教学目的
1 掌握第二型曲线积分和第二型曲面积分的定义和计算
2

教学过程
1 第二类曲线积分
（1）力场沿平面曲线从点A到点B所作的功：
先用微元法 , 再用定义积分的方法讨论这一问题 , 得
, 即 .
(2）稳流场通过曲线 （ 从一侧到另一侧 ) 的流量: 解释稳流场。 ( 以磁场为例 ).
设有流速场。 求在单位时间内通过曲线AB从左侧到
右侧的流量E 。 设曲线AB上点处的切向量 B
为， （ 是切向量方向与X轴
正向的夹角。 切向量方向按如下方法确定: 法线方
向是指从曲线的哪一侧到哪一侧， 在我们现在的问 A
题中是指从左侧到右侧的方向。 切向量方向与法线
方向按右手法则确定, 即以右手拇指所指为法线方向， 则食指所指为切线方向 .) 。在弧段
上的流量 . ,
因此 ，
.
由, 得
.
于是通过曲线AB从左侧到右侧的总流量E为
。
1.1 第二型曲线积分的定义
闭路积分的记法. 按这一定义 , 有
力场沿平面曲线从点A到点B所作的功为
.
流速场在单位时间内通过曲线AB从左侧到
右侧的总流量E为 .
第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对二型曲线积分有 ,
因此, 定积分是第二型曲线积分中当曲线为X轴上的线段时的特例.
可类似地考虑空间力场沿空间曲线
AB所作的功. 导出空间曲线上的第二型曲线积分
.
1.2 第二型曲线积分的性质
第二型曲线积分可概括地理解为向量值函数的积累问题 。 与我们以前讨论过的积分相比, 除多了一层方向性的考虑外， 其余与以前的积累问题是一样的， 还是用Riemma的思想建立的积分 . 因此 ， 第二型曲线积分具有(R ）积分的共性 ， 如线性、关于函数或积分曲线的可加性 . 但第二型曲线积分一般不具有关于函数的单调性 , 这是由于一方面向量值函数不能比较大小, 另一方面向量值函数在小弧段上的积分还与弧段方向与向量方向之间的夹角有关。
1.3 第二型曲线积分的计算
曲线的自然方向： 设曲线L由参数式给出. 称参数增大时曲线相应的方向为自然方向.
设L为光滑或按段光滑曲线 ， L : 。
A, B; 函数和在L上连续， 则沿L的自然方向（ 即从点A到点B的方向）有
。 (证略）
例1 计算积分， L的两个端点为A（ 1， 1 ） ， B（ 2 , 3 ). 积分从点A到点B或闭合， 路径为
ⅰ〉 直线段AB
ⅱ> 抛物线;
ⅲ> A（ 1， 1 ）D( 2 , 1 ) B( 2 ， 3 ) A（ 1， 1 ）, 折线闭合路径 .
例2 计算积分, 这里L :
ⅰ〉 沿抛物线从点O( 0 , 0 ）到点B（ 1 ， 2 ）；
ⅱ> 沿直线从点O( 0 ， 0 ）到点B( 1 , 2 );
ⅲ> 沿折线闭合路径O（0，0） A(1,0 ） B(1,2 ） O（0，0).
例3 计算第二型曲线积分 I = , 其中L是螺旋线
， 从到的一段 。
例4 求在力场作用下,
ⅰ> 质点由点A沿螺旋线到点B所作的功, 其中
L : ， 。
ⅱ> 质点由点A沿直线L到点B所作的功
例5 计算曲线积分
，
（1）是球面三角形，，，的边界线，从球的外侧看去，的方向为逆时针方向；
（2）是球面和柱面的交线位于平面上方的部分，从轴上点看去，是顺时针方向。
解 （1）显然，具有轮换对称性,且被积表达式也具有轮换对称性，将分为三段
：， （，）
：， （，）
：， （，）
则

或

注1 这里利用轮换对称性使计算化简,都是写为某积分的3倍。它们的区别在于
第一种方法：积分表达式不变，积分化为上的积分的3倍.
第二种方法:积分曲线不变，积分化为表达式中第一项积分的3倍.
问题1 是否可化为既是上的积分的3倍,又是表达式中第一项积分的3倍，即

（2)曲线关于平面对称，且方向相反

同理
故
下面求曲线的参数方程。
方法1 利用球面的参数方程
,，，
代入柱面方程得，于是得的参数方程
， ， , 从到
方法2 利用柱面的参数方程，，代入球面方程
，得的参数方程
， , ， 从到
不妨取方法1中的参数方程进行计算,

注2 这里利用对称性（不是轮换对称性），立即可知前两项的积分为0。值得注意的是第二型的曲线积分与第一型的曲线积分对称性的应用是不同的.例如第一项积分，曲线关于平面对称,且方向相反，而被积函数关于是偶函数（不是奇函数）,则

上面等式中,两项恰好相差一个符号，负号的出现是由于方向相反产生的.
2 曲面的侧
P316—---317
单侧曲面与双侧曲面：
双侧曲面的定向： 曲面的上、下侧,左、右侧，前、后侧. 设法向量为
,
则上侧法线方向对应第三个分量， 即选“+"号时,应有，亦即法线方向与轴正向成锐角. 类似确定其余各侧的法线方向 闭合曲面分内侧和外侧.
3 第二类曲面积分
3。1 稳流场的流量： 以磁场为例。
3.2 第二型曲面积分的定义 闭合曲面上的积分及记法。
3。 3 第二型曲面积分的性质： 线性 , 关于积分曲面块的可加性.
3.4 第二型曲面积分与第一型曲面积分的关系：
设为曲面的指定法向, 则

.
3。5 第二型曲面积分的计算
1 设是定义在光滑曲面
D
上的连续函数， 以的上侧为正侧（ 即 ）， 则有
.
类似地， 对光滑曲面D， 在其前侧上的积分
。
对光滑曲面 D， 在其右侧上的积分
.
计算积分时, 通常分开来计算三个积分
, ， .
为此, 分别把曲面投影到YZ平面, ZX平面和XY平面上化为二重积分进行计算. 投
影域的侧由曲面的定向决定.
例6 计算积分，其中是球面 在
部分取外侧。
例7计算积分， 为球面
取外侧.
解 对积分， 分别用和记前半球面和后半球面的外侧, 则有
： ;
: .
因此, =+ =

.
对积分， 分别用和记右半球面和左半球面的外侧， 则有
： ；
: .
因此, +=

。
对积分, 分别用和记上半球面和下半球面的外侧, 则有
： ；
： 。
因此， =+ =

。
综上, =。

作业： P324—--—326 1(4）（6）（7）、4（2)（4）（6）（9）

§ 3 Green公式 公式和公式( 4 时 )

教学目的
1掌握Green公式 公式和公式，并能应用它们来求第二类线面积分
2 掌握积分与路径无关的条件，并能灵活应用于求第二类曲线积分。

教学过程
1 Green公式
闭区域的正面与边界正向的规定搭配： 右手螺旋定向， 即以右手拇指表示区域的正面
( 理解为拇指“站立在” 区域的正面上 ), 则其余四指（ 弯曲 ）表示边界的正向。 右手
螺旋定向法则还可表述为： 人站立在区域的正面的边界上, 让区域在人的左方. 则人前进的方向为边界的正向. 参阅[1]P372图22—8。 若以L记正向边界， 则用-L或L表示反向(或称为负向）边界。
1.1 1 若函数P和Q在闭区域DR上连续， 且有连续的一阶偏导数， 则有
，
其中L为区域D的正向边界.
Green公式又可记为 。
1。2 应用举例:
对环路积分， 可直接应用Green公式。 对非闭路积分， 常采用附加上一条线使变成
环路积分的技巧。
例1 计算积分 ， 其中AB. 曲线AB为圆周在第一象限中的部分.
解法一 （ 直接计算积分 ) 曲线AB的方程为 。
方向为自然方向的反向. 因此
.
解法二 （ 用Green公式 ） 补上线段BO和OA （ O为坐标原点 )， 成闭路. 设所围
区域为D, 注意到D为反向, 以及, 有
.
例2 计算积分 I =， 其中L为任一不包含原点的闭区域D的边界
(方向任意 ）
解 . （和在D上有连续的偏导数).
, .
于是， I = .
例3 验证区域D的面积公式
|D｜, L为D的正向边界.
例4 计算由星形线 所界的面积。
例5 计算积分， 其中L是由曲线 ，
所围区域D的边界， 取正向。
解 .
. .
作代换, 在此代换之下 , 区域D变为UV平面上的区域
.
， 。
于是, 。
例6 计算积分， D : 。
解 令， 有
.
域D为三角形, 三个顶点为OA， B。

。
2 曲线积分与路线无关性：
2.1 积分与路径无关的等价条件
2 设DR是单连通闭区域. 若函数和在闭区域D内连续, 且有
连续的一阶偏导数 ， 则以下四个条件等价 :
ⅰ> 沿D内任一按段光滑的闭合曲线L， 有 。
ⅱ〉 对D内任一按段光滑的曲线L， 曲线积分与路径无关， 只与曲线L的起点和终点有关.
ⅲ〉 是D内某一函数的全微分, 即在D内有.
ⅳ〉 在D内每一点处有 。
2。2 恰当微分的原函数:
若有， 则称微分形式是一个恰当微分. 恰当微分有原函数，
（ 它的一个 ） 原函数为 ：
。
或
其中点D, 当点D时， 常取=。
验证第一式: =
；
。
例7 验证式 是恰当微分, 并求其原函数。
例8 验证曲线积分与路径无关 ， 并求
被积表达式的原函数.
3 Gauss公式:
3 设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面围成 。 若函数在V
上连续， 且有连续的一阶偏导数 , 则
,
其中取外侧.
称上述公式为Gauss公式
证 只证 。
设V是型区域（ 即型体 ）, 其边界曲面由曲面
下侧 , D,
上侧 ， D。 。
以及垂直于平面的柱面（外侧)组成. 注意到=， 有

.
可类证, .
以上三式相加, 即得Gauss公式.
例8 计算积分， 为球面
取外侧。
解 .

由Gauss公式 .
例9 计算积分，其中是边长为
的正方体V的表面取外侧. V ： .
解 应用Gauss公式 ， 有

。
例10 计算积分,为锥面在平面
下方的部分，取外法线方向 .
解 设为圆取上侧 , 则构成由其所围锥体V的表面外侧 , 由Gauss公式 , 有

=锥体V的体积;
而
因而, 。
例11 设V是三维空间的区域， 其内任何封闭曲面都可不通过V外的点连续收缩
为V上的一点. 又设函数、和在V上有连续的偏导数.
表示V内任一不自交的光滑封闭曲面， 是的外法线. 试证明： 对V内任意曲面恒有

的充要条件是在V内处处成立。
证 .
由Gauss公式直接得到 .
反设不然 ， 即存在点V， 使，
不妨设其。 由在点连续, 存在以点为中心且在V内的小球
, 使在其内有. 以表示小球的表面外侧， 就有
,
与矛盾.
4 Stokes公式
空间双侧曲面的正侧与其边界闭合曲线L正向的匹配关系: 右手螺旋法则， 即当人站
在曲面的正侧上， 沿边界曲线L行走时， 若曲面在左侧， 则把人的前进方向定为L的正向。
4.1 Stokes定理:
4 设光滑曲面的边界L是按段光滑的连续曲线 。 若函数、和在（ 连同L )上连续 ,且有一阶连续的偏导数 , 则
。
其中的侧与L的方向按右手法则确定 。
称该公式为Stokes公式 。
证 先证式 。
Stokes公式也记为 .
例13 计算积分
，
其中 L为平面与各坐标平面的交线， 方向为: 从平面的上方往下看为
逆时针方向.

作业：P345—348 1（4）（6）（8)（9）、3、（2）（3）、5、6、9（2）（4）(6）(8)、12（1）(3）（4）(6）、15、17

小结:
下面的图表给出了各种积分间的联系，在计算中可以根据这些关系，将一种积分转化为另一种积分.
第一型
曲线积分
二重积分
第二型
曲线积分
格林公式

斯托克司公式
三重积分
第一型
曲面积分积分
第二型
曲面积分
面积分

高斯公式

例1 设为平面上封闭曲线，为平面上任意方向,是的外法线方向.证明 y
x
证明 ，
因为 ，
则 ，

注1 此例给出了平面上闭曲线切线正向和外法线矢量的关系:(这个结果在7、8、12题都要用到）
,
注2 利用这个关系,可得格林公式的另一种形式:

或（用外法向矢量）

试比较（用正向的切线矢量)

事实上

注3 我们已经知道，格林公式是斯托克司公式当是平行于坐标面的平面曲线时的特殊情形.而从格林公式的上述形式可以看出,格林公式也可作为高斯公式的特殊情形.
在高斯公式中，设不依赖于.考虑平行于轴的单位高柱体的边界曲面的外侧，它在面的投影为曲线.记柱面的上底面为，下底面为，侧面为，则

又

即
例2 设具有二阶连续偏导数,证明
（1）
（2）
其中,为闭曲线所围的平面区域,为沿外法线方向的导数.
证 （1)在格林公式的等价形式中令得，

即
（2）

注4 在式中令,则（2）即化为（1）.
注5 设，为空间立体的边界，为沿外法线方向的导数，则有格林第一公式：

格林第二公式：
例3 用斯托克司公式计算下列积分
（a)
（b) 是曲线，，它的方向与所围曲面的上侧构成右手法则。
解 是曲面上所围部分的上侧.它关于zx平面对称，在xy平面的投影是。

(斯托克司公式）

(，对称性)
（两类曲面积分的关系）

（，对称性）

（两类曲面积分的关系，几何意义）
注6 这题很巧妙，是一道综合性很强的题，用到的知识有:
1、 斯托克司公式
2、 两类曲面积分的关系，曲面的法向矢量
3、 对称性
4、 几何意义
例4 证明高斯积分
其中是平面上一单连通区域的边界，而是上一点到外某一定点的距离，是的外法线方向.又若表示上一点到内某一定点的距离，则这个积分之值等于。
解 （1）设外某一定点，则
，

=

，

注意是外某一定点,故和在内处处连续，由格林公式得

（2）设是内某一定点，这时格林公式不再成立。以为中心，为半径作圆，充分小使完全含于内。取的方向为顺时针方向,则由（1)知

故

几何解释 积分值是从点所能看到曲线的角的度量。事实上，以为半径作圆心角为的圆弧，则

是在圆弧上的投影，而

就是从点所能看到元素的角的度量，将所有这些角求和，得

就是从点所能看到曲线的角的度量。注意
时是负角，即
时是正角，即
故当是外某一定点时，正负角抵消，积分
.
而当是内某一定点时，总有,因而积分
=。
根据这个几何解释可知，当是曲线上某一定点时,积分
。
注7:这是一个著名的积分，要用到平面上封闭曲线的正向与外法线方向的关系。相应的也有曲面积分的高斯积分，

求解的思想方法是一样的,几何解释也很有意义。
积分与路径无关
例5 求,其中是被积函数的定义域内从（2，0）到（0，2)的逐段光滑曲线。
解 被积函数的定义域
记 ,，则在定义域内有连续的偏导数,且.取，逆时针方向，则

于是内任意一条封闭曲线,若包围了单位圆,则

若不包围单位圆，则由格林公式
2
故积分与路径无关。取平行于坐标轴的折线段如图，得
2

§ 4微分形式的外微分
教学目的
了解外微分的定义及其应用.

教学过程

1 外微分
1。1 定义P348—-—-349
1.2 性质350—-—-351
2 外微分的应用
P351

作业:P352 1（1)（3）、3

§ 5场论初步

教学目的
1 了解场论初步的基本知识

教学过程
1 梯度
2 通量与散度
3向量线
4 环量与旋度
5 保守场与势函数
6 均匀带电直线的电场模型
7 热传导模型

例1 计算曲面积分,其中，为球面：，是上侧的单位向量.
解法1 用Stokes公式。取
： 或

解法2 用高斯公式.补一块面：，下侧

(是在方向的投影，即在z轴方向的分量乘以(—1)）

作业：P370—372 2、3、5、8、10、11、15、18

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