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数值分析 课程实验指导书
实验一 函数插值方法
一、问题提出
对于给定的一元函数的n+1个节点值。试用Lagrange公式求其插值多项式或分段二次Lagrange插值多项式。
数据如下：
（1）

0.4
0.55
0。65
0。80
0。95
1.05

0.41075
0.57815
0。69675
0.90
1.00
1。25382

求五次Lagrange多项式,和分段三次插值多项式，计算，
的值。（提示:结果为, ）
（2）

1
2
3
4
5
6
7

0。368
0。135
0。050
0。018
0.007
0。002
0。001
试构造Lagrange多项式，计算的,值.（提示：结果为， ）
二、要求
1、 利用Lagrange插值公式

编写出插值多项式程序；
2、 给出插值多项式或分段三次插值多项式的表达式;
3、 根据节点选取原则,对问题(2）用三点插值或二点插值,其结果如何；
4、 对此插值问题用Newton插值多项式其结果如何.Newton插值多项式如下：

其中：

三、目的和意义
1、 学会常用的插值方法，求函数的近似表达式，以解决其它实际问题；
2、 明确插值多项式和分段插值多项式各自的优缺点；
3、 熟悉插值方法的程序编制；
4、 如果绘出插值函数的曲线，观察其光滑性。

四、实验学时：2学时
五、实验步骤：
1．进入C或matlab开发环境；
2．根据实验内容和要求编写程序；
3．调试程序；
4．运行程序；
5．撰写报告，讨论分析实验结果。

实验二 函数逼近与曲线拟合
一、问题提出
从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。
在某冶炼过程中,根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量与时间t的拟合曲线。

t（分)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

0 1。27 2。16 2。86 3.44 3。87 4。15 4。37 4.51 4。58 4.02 4.64

二、要求
1、用最小二乘法进行曲线拟合；
2、近似解析表达式为;
3、打印出拟合函数，并打印出与的误差，；
4、另外选取一个近似表达式,尝试拟合效果的比较；
5、* 绘制出曲线拟合图。

三、目的和意义
1、掌握曲线拟合的最小二乘法；
2、最小二乘法亦可用于解超定线代数方程组;
3、探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系。

四、实验学时:2学时

五、实验步骤:
1．进入C或matlab开发环境；
2．根据实验内容和要求编写程序；
3．调试程序；
4．运行程序;
5．撰写报告,讨论分析实验结果．

实验三 数值积分与数值微分

一、基本题
选用复合梯形公式，复合Simpson公式，Romberg算法，计算
（1）
（2）
(3)
二、应用题
1。文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位(一天文单位为地球到太阳的平均距离：9300万里）在五个不同的时间对小行星作了五次观察，测得轨道上五个点的坐标数据如下表所示:

P1
P2
P3
P4
P5
x坐标
5.764
6。286
6。759
7.168
7.408
y坐标
0.648
1。202
1。823
2.526
7。408
由开普勒第一定律知，小行星轨道为一椭圆,椭圆的一般方程可表示为：

现需要建立椭圆的方程以供研究.
 （1)分别将五个点的数据代入椭圆一般方程中，写出五个待定系数满足的等式，整理后写出线性方程组AX = b。
（2）用MATLAB求低价方程组的指令A / b求出待定系数 。
（3)卫星轨道是一个椭圆，其周长的计算公式是：

式中，a是椭圆的半长轴， 是地球中心与轨道中心（椭圆中心）的距离, .其中h为近地点距离,H为远地点距离，R = 6371（km)为地球半径.
   有一颗人造卫星近地点距离h = 439 (km），远地点距离H = 2384(km）。试分别按下列方案计算卫星轨道的周长,误差限取为 。

三、要求
1、 编制数值积分算法的程序；
2、 分别用两种算法计算同一个积分，并比较其结果；
3、 分别取不同步长，试比较计算结果（如n = 10, 20等）；
4、 给定精度要求ε，试用变步长算法，确定最佳步长。

四、目的和意义
1、 深刻认识数值积分法的意义；
2、 明确数值积分精度与步长的关系；
3、 根据定积分的计算方法，结合专业考虑给出一个二重积分的计算问题.

五、实验学时：2学时
六、实验步骤：
1．进入C或matlab开发环境；
2．根据实验内容和要求编写程序；
3．调试程序；
4．运行程序；
5．撰写报告,讨论分析实验结果．
实验四 线方程组的直接解法
一、问题提出
给出下列几个不同类型的线性方程组,请用适当算法计算其解。
1、 设线性方程组


2、 设对称正定阵系数阵线方程组



3、 三对角形线性方程组

二、要求
1、 对上述三个方程组分别利用Gauss顺序消去法与Gauss列主元消去法；平方根法与改进平方根法；追赶法求解（选择其一）；
2、 应用结构程序设计编出通用程序；
3、 比较计算结果，分析数值解误差的原因；
4、 尽可能利用相应模块输出系数矩阵的三角分解式。

三、目的和意义
1、通过该课题的实验，体会模块化结构程序设计方法的优点;
2、运用所学的计算方法,解决各类线性方程组的直接算法；
3、提高分析和解决问题的能力，做到学以致用;
4、 通过三对角形线性方程组的解法，体会稀疏线性方程组解法的特点。

四、实验学时：2学时
五、实验步骤：
1．进入C或matlab开发环境；
2．根据实验内容和要求编写程序；
3．调试程序；
4．运行程序；
5．撰写报告,讨论分析实验结果．

实验五 解线性方程组的迭代法
一、问题提出
对实验四所列目的和意义的线性方程组，试分别选用Jacobi 迭代法，Gauss—Seidel迭代法和SOR方法计算其解.

二、要求
1、体会迭代法求解线性方程组，并能与消去法做以比较；
2、分别对不同精度要求,如由迭代次数体会该迭代法的收敛快慢；
3、对方程组2，3使用SOR方法时，选取松弛因子ω=0.8，0。9，1，1。1,1.2等,试看对算法收敛性的影响，并能找出你所选用的松弛因子的最佳者；
4、给出各种算法的设计程序和计算结果。

三、目的和意义
1、通过上机计算体会迭代法求解线性方程组的特点，并能和消去法比较；
2、运用所学的迭代法算法,解决各类线性方程组,编出算法程序；
3、体会上机计算时，终止步骤或k 〉（给予的迭代次数），对迭代法敛散性的意义;
4、 体会初始解，松弛因子的选取，对计算结果的影响.

四、实验学时：2学时
五、实验步骤：
1．进入C或matlab开发环境；
2．根据实验内容和要求编写程序；
3．调试程序；
4．运行程序;
5．撰写报告，讨论分析实验结果．

实验六 非线性方程求根
一、问题提出
设方程有三个实根
现采用下面六种不同计算格式，求 f(x)=0的根或
1、
2、
3、
4、
5、
6、

二、要求
1、编制一个程序进行运算，最后打印出每种迭代格式的敛散情况；
2、用事后误差估计来控制迭代次数，并且打印出迭代的次数；
3、初始值的选取对迭代收敛有何影响;
4、分析迭代收敛和发散的原因。

三、目的和意义
1、通过实验进一步了解方程求根的算法；
2、认识选择计算格式的重要性;
3、掌握迭代算法和精度控制;
4、明确迭代收敛性与初值选取的关系。

四、实验学时：2学时
五、实验步骤：
1．进入C或matlab开发环境;
2．根据实验内容和要求编写程序；
3．调试程序；
4．运行程序；
5．撰写报告，讨论分析实验结果．

实验七 矩阵特征值问题计算
一、问题提出
利用冪法或反冪法，求方阵的按模最大或按模最小特征值及其对应的特征向量。
设矩阵A的特征分布为：
且
试求下列矩阵之一
（1） 求，及
取
结果
（2) 求及
取
结果：

(3) 求及
取
结果

（4)

取
这是一个收敛很慢的例子,迭代次才达到
结果

（5）

有一个近似特征值，试用幂法求对应的特征向量，并改进特征值（原点平移法）。
取
结果

二、要求
1、掌握冪法或反冪法求矩阵部分特征值的算法与程序设计；
2、会用原点平移法改进算法，加速收敛；对矩阵B=A-PI取不同的P值,试求其效果；
3、试取不同的初始向量，观察对结果的影响;
4、对矩阵特征值的其它分布，如且如何计算.

三、目的和意义
1、求矩阵的部分特征值问题具有重要实际意义,如求矩阵谱半径,稳定性问题往往归于求矩阵按模最小特征值;
2、进一步掌握冪法、反冪法及原点平移加速法的程序设计技巧；
3、问题中的题(5),反应了利用原点平移的反冪法可求矩阵的任何特征值及其特征向量.

四、实验学时：2学时
五、实验步骤：
1．进入C或matlab开发环境；
2．根据实验内容和要求编写程序；
3．调试程序；
4．运行程序；
5．撰写报告，讨论分析实验结果．

实验八 常微分方程初值问题数值解法
一、基本题
科学计算中经常遇到微分方程（组）初值问题，需要利用Euler法，改进Euler法，Rung-Kutta方法求其数值解，诸如以下问题:
（1）

分别取h=0.1，0。2，0。4时数值解。 初值问题的精确解。
(2）

用r=3的Adams显式和预 - 校式求解

取步长h=0.1，用四阶标准R—K方法求值。
(3）

用改进Euler法或四阶标准R-K方法求解
取步长0.01,计算数值解，参考结果 .

（4）利用四阶标准R— K方法求二阶方程初值问题的数值解
（I）

（II）

（III）

(IV) 

二、应用题
1。 小型火箭初始质量为900千克，其中包括600千克燃料。火箭竖直向上发射时燃料以15千克/秒的速率燃烧掉，由此产生30000牛顿的恒定推力．当燃料用尽时引擎关闭。设火箭上升的整个过程中，空气阻力与速度平方成正比，比例系数为0。4（千克/米）．重力加速度取9.8米/秒2。
建立火箭升空过程的数学模型（微分方程）；
求引擎关闭瞬间火箭的高度、速度、加速度，及火箭到达最高点的时间和高度．

2. 小型火箭初始质量为1200千克，其中包括900千克燃料。火箭竖直向上发射时燃料以15千克/秒的速率燃烧掉，由此产生40000牛顿的恒定推力．当燃料用尽时引擎关闭。设火箭上升的整个过程中，空气阻力与速度平方成正比，比例系数记作k，火箭升空过程的数学模型为

其中为火箭在时刻t的高度,m=1200—15t为火箭在时刻t的质量，T(=30000牛顿)为推力,g （=9。8米/秒2)为重力加速度， t1 （=900/15=60秒）为引擎关闭时刻．
今测得一组数据如下（t~时间（秒）,x ~高度（米），v~速度(米/秒））：
t
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
x
1070
1270
1480
1700
1910
2140
2360
2600
2830
3070
3310
v
190
200
210
216
225
228
231
234
239
240
246
现有两种估计比例系数k的方法：
1．用每一个数据（t,x，v）计算一个k的估计值（共11个），再用它们来估计k。
2．用这组数据拟合一个k　．
请你分别用这两种方法给出k的估计值,对方法进行评价，并且回答，能否认为空气阻力系数k=0.5(说明理由）．

三、要求
1、 根据初值问题数值算法,分别选择二个初值问题编程计算；
2、 试分别取不同步长，考察某节点处数值解的误差变化情况；
3、 试用不同算法求解某初值问题，结果有何异常；
4、 分析各个算法的优缺点.

四、目的和意义
1、 熟悉各种初值问题的算法，编出算法程序；
2、 明确各种算法的精度与所选步长有密切关系；
3、 通过计算更加了解各种算法的优越性.

五、实验学时：2学时
六、实验步骤:
1．进入C或matlab开发环境；
2．根据实验内容和要求编写程序；
3．调试程序;
4．运行程序；
5．撰写报告，讨论分析实验结果。