1、节函数及其表示总纲目录教材研读1.函数与映射的概念考点突破2.函数的有关概念3.分段函数考点二求函数的定义域考点二求函数的定义域考点一函数的基本概念考点三分段函数考点三分段函数教材研读教材研读1.函数与映射的概念函数与映射的概念函数映射两集合A、B设A、B是两个非空数集设A、B是两个非空集合对应关系f:AB按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应按某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f:AB为从集合A到集合B的一个函数称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射记法y=f(x)
2、,xA对应f:AB2.函数的有关概念函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y=f(x),xA中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域.(2)函数的三要素:定义域、值域和对应关系.(3)相等函数:如果两个函数的定义域相同,且对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.(4)函数的表示法表示函数的常用方法:解析法、图象法、列表法.3.分段函数分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.1
3、.下列所给图象是函数图象的有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案答案B中,当x0时,每一个x的值对应两个不同的y值,因此不是函数图象;中,当x=x0时,y的值有两个,因此不是函数图象;中,每一个x的值对应唯一的y值,因此是函数图象,故选B.B2.函数f(x)=的定义域为()A.0,+)B.1,+)C.(-,0D.(-,1答案答案A由2x-10得2x1,所以x0.A3.与函数y=x有相同图象的一个函数是()A.y=B.y=(a0且a1)C.y=D.y=logaax(a0且a1)答案答案D因为函数y=x的定义域是R,而函数y=中的x的取值范围是x0;函数y=中的x的取值范围是x0;函数y=中的
4、x的取值范围是x0,故选D.D4.(2017北京西城二模,2)下列函数中,值域为0,1的是()A.y=x2B.y=sinxC.y=D.y=答案答案DA选项,y=x2的值域为0,+);B选项,y=sinx的值域为-1,1;C选项,y=的值域为(0,1;D选项,当x=0时,y=的值最大,为1,当x=1或-1时,y=的值最小,为0,所以值域为0,1.故选D.D5.若函数f(x)=则f(3)=,函数f(x)的值域是.答案答案3;0,23解析解析f(3)=3;当0 x1时,02x22;当1x2时,f(x)=2;当x2时,f(x)=3,故函数f(x)的值域为0,23.30,23考点一函数的基本概念考点一函
5、数的基本概念典例1有以下判断:f(x)=与g(x)=表示同一函数;函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点最多有1个;考点突破考点突破f(x)=x2-2x+1与g(t)=t2-2t+1是同一函数;若f(x)=|x-1|-|x|,则f=0.其中正确判断的序号是.答案答案解析解析对于,由于函数f(x)=的定义域为x|xR且x0,而函数g(x)=的定义域是R,所以二者不是同一函数;对于,若x=1不是y=f(x)定义域内的值,则直线x=1与y=f(x)的图象没有交点,若x=1是y=f(x)定义域内的值,由函数的定义可知,直线x=1与y=f(x)的图象只有一个交点,即y=f(x)的图象与直线x=1最多有
6、一个交点;对于,f(x)与g(t)的定义域、对应关系均相同,所以f(x)与g(t)表示同一函数;对于,由于f=-=0,所以f=f(0)=1.综上可知,正确的判断是.方法技巧方法技巧函数是否为同一个函数的判断方法(1)两个函数是否为同一函数,取决于它们的定义域和对应关系是否相同,只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时,才表示同一函数.(2)函数的自变量习惯上用x表示,但也可用其他字母表示,如:f(x)=2x-1,g(t)=2t-1,h(m)=2m-1均表示同一函数.1-1下列各组函数中,表示同一个函数的是()A.y=x-1和y=B.y=x0和y=1C.f(x)=x2和g(x)=(x+1)2D
7、.f(x)=和g(x)=答案答案DA中两个函数的定义域不同;B中两个函数的定义域也不同,y=x0中x不能取0;C中两函数的对应关系不同,故选D.D考点二求函数的定义域考点二求函数的定义域命题方向一求给定解析式的函数的定义域命题方向一求给定解析式的函数的定义域典例典例2函数f(x)=+的定义域为()A.(-3,0B.(-3,1C.(-,-3)(-3,0D.(-,-3)(-3,1答案答案A解析解析由题意得解得-3x0.所以函数f(x)的定义域为(-3,0.A典例典例3若函数y=f(x)的定义域是0,2,则函数g(x)=的定义域为.命题方向二求抽象函数的定义域命题方向二求抽象函数的定义域答案答案0,
8、1)解析解析由得0 x1,即定义域是0,1).0,1)方法技巧方法技巧1.求给定解析式的函数定义域的方法求给定解析式的函数的定义域,其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则,列出不等式或不等式组,然后求其解集即可.2.求抽象函数定义域的方法(1)若已知函数f(x)的定义域为a,b,则复合函数f(g(x)的定义域可由不等式ag(x)b求出.(2)若已知函数f(g(x)的定义域为a,b,则f(x)的定义域为g(x)在xa,b上的值域.2-1函数f(x)=+lg(3x+1)的定义域是()A.B.C.D.答案答案A由题意可知解得所以-x1,故选A.A2-2若函数y=f(x)的定义域是1,2
9、016,则函数g(x)=的定义域是()A.0,2015B.0,1)(1,2015C.(1,2016D.-1,1)(1,2015答案答案B要使函数f(x+1)有意义,则有1x+12016,解得0 x2015,故函数f(x+1)的定义域为0,2015.所以使函数g(x)有意义的条件是解得0 x1或10且a1)的定义域为.答案答案(0,2解析解析由0 x2,故所求函数的定义域为(0,2.(0,2考点三分段函数考点三分段函数命题方向一分段函数的求值命题方向一分段函数的求值典例典例4(1)设函数f(x)=则f(-2)+f(log212)=()A.3B.6C.9D.12(2)已知函数f(x)=则f(2+log23)的值为()A.24B.16C.12D.8CA答案答案(1)C(2)A解析解析(1)-21,f(log212)=6.f(-2)+f(log212)=9.(2)1log232,32+log230且a1),若f(-2)=,则f()等于()A.B.C.-D.0(2)已知函数f(x)=若f(a),则实数a的取值范围是()A.(-1,0)(,+)B.(-1,)C.(-1,0)D.DD答案答案(1)D(2)D解析解析(1)由题意得f(-2)=a-2=,解得a=,所以f()=-=0,故选D.(2)由题意知若f(a),则或解得0a或-1a0,即实数a的取值范围是,故选D.
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