四川省内江市威远中学2020届高三数学5月月考试题-理.doc

四川省内江市威远中学2020届高三数学5月月考试题 理

四川省内江市威远中学2020届高三数学5月月考试题 理

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四川省内江市威远中学2020届高三数学5月月考试题 理（含解析）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1..已知集合，则= （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先化简集合,再根据交集运算法则求交集即可.
【详解】,
,
所以,
故选:B.
【点睛】本题考查了交集运算,考查了解不等式,属于简单题.
2.已知复数z满足，则的共轭复数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接由复数代数形式的除法运算化简复数z，然后求得其共轭复数即可.
【详解】由，得，所以.
故选：B.
【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查了共轭复数的求法，属于基础题.
3.2019年9月25日.阿里巴巴在杭州云栖大会上正式对外发布了含光800AI芯片,在业界标准的ResNet -50测试中,含光800推理性能达到78563lPS,比目前业界最好的AI芯片性能高4倍;能效比500 IPS/W,是第二名的3.3倍.在国内集成电路产业发展中,集成电路设计产业始终是国内集成电路产业中最具发展活力的领域,增长也最为迅速.如图是2014-2018年中国集成电路设计产业的销售额(亿元)及其增速(%)的统计图,则下面结论中正确的是( )

A. 2014-2018年,中国集成电路设计产业的销售额逐年增加
B. 2014-2017年,中国集成电路设计产业的销售额增速逐年下降
C. 2018年中国集成电路设计产业的销售额的增长率比2015年的高
D. 2018年与2014年相比,中国集成电路设计产业销售额的增长率约为110%
【答案】A
【解析】
【分析】
根据条形统计图可以判断选项A,D的正误,根据折线图可以判断选项B,C的正误.
【详解】对于A,由图可得2014-2018年中国集成电路设计产业的销售额逐年增加,所以A正确;
对于B,2017年中国集成电路设计产业的销售额增速比2016年高,所以B错误;
对于C,2018年中国集成电路设计产业的销售额的增长率(约21.5%)低于2015年的增长率(约26.5%),所以C错误;
对于D,2018年与2014年相比,中国集成电路设计产业销售额的增长率为,所以D错误.
故选:A.
【点睛】本题主要考查统计图的实际应用,考查学生的理解分析能力,难度不大.
4.在等差数列中，，则数列的前5项之和的值为（ ）
A. 108 B. 90 C. 72 D. 24
【答案】B
【解析】
由于，所以，应选答案A．
点睛：解答本题的简捷思路是巧妙运用等差数列的性质，然后整体代换前项和中的，从而使得问题的解答过程简捷、巧妙．当然也可以直接依据题设条件建立方程组进行求解，但是解答过程稍微繁琐一点．
5.已知b=log32，c=log2(cos)，则（ ）
A. a>b>c B. b>a>c C. c>a>b D. a>c>b
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数单调性进而确定函数值的范围再进行比较即可.
【详解】对于，因为在上单调递增，
即
对于，因为在定义域内单调递增，
即
对于，因为在上单调递减，
则
则
综上，
故选：A
【点睛】本题较易。只需根据函数单调性进而确定函数值的范围再进行比较即可.注意自变量所在区间.
6.已知向量，且∥，若均为正数，则的最小值是
A. 24 B. 8 C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：由∥得，因此，当且仅当时取等号，所以选B.
考点：基本不等式求最值
【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
7.已知函数的两个相邻的对称轴之间的距离为，为了得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
【答案】D
【解析】
【分析】
先由函数的两个相邻的对称轴之间的距离为，得到周期，求出，再由平移原则，即可得出结果.
【详解】因为函数的两个相邻的对称轴之间的距离为，
所以的最小正周期为，因此，
所以，
因此，为了得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位长度.
故选D
【点睛】本题主要考查三角函数的性质，以及三角函数的平移问题，熟记三角函数的平移原则即可，属于常考题型.
8.函数在上的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
易得函数为偶函数，排除部分选项，再采用特殊值法由，确定选项.
【详解】因为，
所以函数为偶函数，故排除D；
因为，故排除B；
因为，故排除C.
故选：A.
【点睛】本题主要考查函数图象的识别以及函数的奇偶性的应用，特殊值法的应用，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于中档题.
9.古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现，如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的， 若圆柱的表面积是现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设球的半径为，则由题意可得球的表面积为，即可求出，从而得到圆柱的底面半径和高，最后由圆柱的体积减去球的体积即可；
【详解】解：设球的半径为，则由题意可得球的表面积为，所以，所以圆柱的底面半径为1，高为2，所以最多可以注入的水的体积为.
故选：B
【点睛】本题考查圆柱和球表面积和体积的相关计算，属于基础题.
10.椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，若，是线段的三等分点，的周长为，则椭圆的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据椭圆的定义及的周长为，可求出，根据，是线段的三等分点，利用中点坐标公式可先求出点的横坐标，代入椭圆可求出纵坐标，再由中点坐标公式可求出点的坐标，代入椭圆的方程即可求出的值.
【详解】由椭圆的定义，得，
的周长，所以，
所以椭圆.
不妨令点C是的中点，点A在第一象限，因为，
所以点A的横坐标为c，所以，可得，所以，
由中点坐标公式可得，把点B的坐标代入椭圆E的方程，得
，，化简得，又，
所以，得，所以.
所以，椭圆的方程为.
故选：A.
【点睛】本题主要考查椭圆的定义，中点坐标公式，关键是利用中点坐标求相应点的坐标，用点在曲线上求出.
11.若曲线在点处的切线与直线垂直，则a=（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
求出函数的导数,求得切点处的切线的斜率,再由两直线垂直的条件可得斜率为3,即可解得的值.
【详解】解:的导数为，即有在处的切线斜率为，
由在处的切线与直线垂直,即有,即.
故选:C.
【点睛】本题考查导数的几何意义、两直线垂直的基本条件,正确求导是前提,注意复合函数的求导不要遗忘内层函数的导数.
12.设函数，其中，若仅存在两个正整数，使得，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
令,因为仅存在两个正整数使得,即仅有两个整数使得,利用函数的导数求解函数的最小值,列出不等式组,转化求解即可．
【详解】解：令，其定义域；过定点，
则，，解得，
当时，，单调递减，
当时，单调递增，
故，，
作出与的大致图像如图所示.

若仅存在两个正整数使得，即有两个正整数解，
由题意得，即，解得，
所以实数a取值范围是
故选：D.
【点睛】本题主要考查了根据不等式的解的分布求解参数范围的问题,需要将原函数分成两个函数数形结合分析,同时也考查了利用导数求解函数的单调性求解的方法.属于难题.
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡相应位置上.
13.若，则的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
直接把已知方程两边同时平方即得解.
【详解】由题得
故答案为：
【点睛】本题主要考查二倍角的正弦，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
14.在的展开式中，各项系数之和为，则展开式中的常数项为__________________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用展开式各项系数之和求得的值，由此写出展开式的通项，令指数为零求得参数的值，代入通项计算即可得解.
【详解】的展开式各项系数和为，得，
所以，的展开式通项为，
令，得，因此，展开式中的常数项为.
故答案为：.
【点睛】本题考查二项展开式中常数项的计算，涉及二项展开式中各项系数和的计算，考查计算能力，属于基础题.
15.已知是椭圆的右焦点，为椭圆上一点，，则的最大值为______
【答案】
【解析】
【分析】
由椭圆的标准方程可表示焦点，以及由定义转化，再由三角形成形原则构建不等式关系求最大值.
【详解】根据题意，设椭圆的左焦点为，椭圆的方程为，其中为椭圆上一点，则，则，则，则，且显然点A在椭圆内，
则，
分析可得：，(三角形成形原则)
当三点共线时，等号成立，则的最大值为
故答案为：
【点睛】本题考查求椭圆中求距离最值以及由椭圆的定义转化距离表达式，属于简单题.
16.已知四面体内接于球O，且，若四面体体积为，球心O恰好在棱DA上，则球O的表面积是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据,可知△ 为直角三角形,其外接圆的圆心为AC的中点,连,可知平面,根据 为的中点可知 平面,所以 为四面体的高,根据四面体的体积可求得,在直角三角形 中由勾股定理可求得外接球的直径,从而可得球的半径,再由球的表面积公式可求得球的表面积.
【详解】如图:在三角形ABC中,因为,所以△ 为直角三角形,所以三角形ABC的外接圆的圆心为AC的中点,连,根据垂径定理,可得平面,因为 为的中点可知平面,所以 为四面体的高.
所以,解得.所以.
所以四面体的外接球的半径为2,表面积为=.

【点睛】本题考查了球与四面体的组合体,三棱锥的体积,球的表面积公式,利用垂径定理和中位线平行得到
平面是解题关键.属于中档题.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.22题10分，17题-21题各12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.在中，内角，，所对的边分别为，，，且.
（1）证明：；
（2）若，且的面积为，求.
【答案】（1）见解析（2）2
【解析】
试题分析：（1）由，根据正弦定理可得 ，利用两角和的正弦公式展开化简后可得，所以，；（2）由，根据余弦定理可得，结合（1）的结论可得三角形为等腰三角形，于是可得，由 ，解得.
试题解析：（1）根据正弦定理，
由已知得： ，
展开得： ，
整理得：，所以，.
（2）由已知得：，∴ ，
由，得：，，∴，
由，得：，所以，，
由 ，得：.
18.某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额(单位：千元)，网购次数和支付方式等进行了问卷调査.经统计这100位居民的网购消费金额均在区间内，按，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示.

（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；
（2）将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；

男
女
合计
网购迷

20

非网购迷
45

合计

100

（3）调査显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不. 影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示：

网购总次数
支付宝支付次数
银行卡支付次数
微信支付次数
甲
80
40
16
24
乙
90
60
18
12

将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为，求的数学期望.
附：观测值公式：
临界值表：

0.01
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

【答案】(1) 中位数估计为17.5千元. (2)见解析；(3)
【解析】
【分析】
(1)利用频率分布直方图的中位数公式求解即可(2) 由直方图知，网购消费金额在20千元以上的频数为，得“网购迷”共有35人，列出列联表计算即可得出结论；(3) 设甲，乙两人采用支付宝支付的次数分别为，，据题意得，，计算，由，即可求解
【详解】（1）在直方图中，从左至右前3个小矩形的面积之和为，
后2个小矩形的面积之和为，所以中位数位于区间内.
设直方图的面积平分线为，则，得，所以该社区居民网购消费金额的中位数估计为17.5千元.
（2）由直方图知，网购消费金额在20千元以上的频数为，
所以“网购迷”共有35人，由列联表知，其中女性有20人，则男性有15人.
所以补全的列联表如下：

男
女
合计
网购迷
15
20
35
非网购迷
45
20
65
合计
60
40
100

因为，查表得，
所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”.
（3）由表知，甲，乙两人每次网购采用支付宝支付的概率分别为，.
设甲，乙两人采用支付宝支付的次数分别为，，据题意，，.
所以，.
因为，则，所以的数学期望为.
【点睛】本题考查频率分布直方图，独立性检验，二项分布，熟记公式准确计算是关键，是中档题
19.如图，在多面体中，底面是边长为的的菱形，，四边形是矩形，平面平面，，和分别是和的中点．

（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的大小．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；
（Ⅱ）．
【解析】
试题分析：第一问根据三角形的中位线找到平行线，利用面面平行的判定定理，在其中一个平面内找到和另一个平面平行的两条相交直线，证得结果，第二问先在几何体中找到共点的相互垂直的三条直线，建立相应的空间直角坐标系，求得面的法向量，利用面的法向量所成的角的余弦值判断求得二面角的余弦值，结合二面角的取值范围，求得二面角的大小．
试题解析：（Ⅰ）证明：在中，因为分别是的中点，
所以， 又因为平面，平面，
所以平面． 设，连接，
因为为菱形，所以为中点
在中，因为，，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面． 又因为，平面，
所以平面平面．
（Ⅱ）解：取的中点，连接，因为四边形是矩形，分别为的中点，
所以，因为平面平面，所以平面，
所以平面，因为为菱形，所以，得两两垂直．
所以以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系．

因为底面是边长为的菱形，，，所以，，，，，．所以，．设平面的法向量为，则．令，得．
由平面，得平面的法向量为，则
所以二面角的大小为．
考点：面面平行的判定定理，求二面角的大小．
20.已知椭圆经过点，直线与椭圆C交于两点，O是坐标原点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求面积的最大值
【答案】（1）；（2）1
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法，将点代入直接求解即可.
（2）将直线与椭圆方程联立消，求出，然后利用弦长公式求出，利用点到直线的距离公式求出O到的距离，从而，设，可得，利用基本不等式即可求解.
【详解】解：（1）依题意可得解得，
椭圆C的标准方程为，
（2）设，由，得，

由得，∴，
∴，
∴O到的距离，

设，则，
，
当且仅当，即时，得，面积取得最大值1.
【点睛】本题考查了待定系数法求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系中的面积问题，考查了数学计算能力，属于中档题.
21.已知为函数的一个极值点.
（1）求实数的值，并讨论函数的单调性；
（2）若方程有且只有一个实数根，求实数的值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【详解】（1），．
．
∵ 为函数的一个极值点，
∴ ，
故，．
令，解得或．
∴ 当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
（2）方程，
整理得．因为，所以有
．
令，则．
令，，故在上是增函数．
∵ ，
∴ 当时，，即，单调递减；
当时，，即，单调递增；
∴ ．
∵ 当或时，，
∴ 方程有且只有一个实数根时，实数．
点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
22.在直角坐标系中，以原点为极点，以轴的正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为.
（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）过点作倾斜角为的直线与圆交于，两点，试求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）求出直线的参数方程，代入圆的方程可得：，利用根与系数的关系可得结果.
【详解】（1）将曲线的极坐标方程，化为直角坐标方程为
；
（2）直线的参数方程为：（为参数），
将其带入上述方程中得：，
则，
所以.
【点睛】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程及其应用、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
23.已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）对于任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）当时，，根据，由或或求解.

（2）将对任意实数，不等式恒成立，转化为，再分别求得最大值和最小值求解即可.
【详解】（1）当时，，
因为，
所以或或，
解得：或，
所以不等式的解集为.
（2）对于任意实数，不等式恒成立，
等价于.
因为，当且仅当时等号成立，
所以
因为时，
所以
函数单增区间为，单间区减为，
所以当时，
所以，
所以实数的取值范围.
【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.