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数学教师招聘考试专业知识 作者： 日期：2 个人收集整理 勿做商业用途数学教师招聘考试 专业知识复习一、复习要求1、 理解集合及表示法，掌握子集,全集与补集，子集与并集的定义；2、 掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法;3、 理解逻辑联结词的含义，会熟练地转化四种命题，掌握反证法;4、 理解充分条件，必要条件及充要条件的意义，会判断两个命题的充要关系; 5、学会用定义解题,理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。二、学习指导 1、集合的概念:（1） 集合中元素特征，确定性，互异性,无序性；（2） 集合的分类： 按元素个数分：有限集，无限集; 按元素特征分;数集,点集。如数集yy=x2,表示非负实数集，点集(x，y）y=x2表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；（3） 集合的表示法: 列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+=0，1，2，3，;描述法.2、两类关系：（1） 元素与集合的关系，用或表示; (2)集合与集合的关系,用，=表示，当AB时，称A是B的子集；当AB时，称A是B的真子集.3、集合运算 （1）交,并，补，定义:AB=xxA且xB，AB=x|xA，或xB，CUA=xxU，且xA，集合U表示全集；（2） 运算律,如A(BC）=（AB)(AC）,CU(AB）=（CUA）（CUB），CU（AB）=（CUA）（CUB）等。 4、命题：（1） 命题分类：真命题与假命题,简单命题与复合命题；（2） 复合命题的形式：p且q，p或q，非p; （3）复合命题的真假：对p且q而言，当q、p为真时，其为真;当p、q中有一个为假时，其为假。对p或q而言，当p、q均为假时，其为假；当p、q中有一个为真时,其为真；当p为真时，非p为假;当p为假时,非p为真. （3）四种命题：记“若q则p”为原命题，则否命题为“若非p则非q,逆命题为“若q则p“,逆否命题为若非q则非p“.其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。因此，四种命题为真的个数只能是偶数个。5、 充分条件与必要条件 （1)定义：对命题“若p则q”而言，当它是真命题时，p是q的充分条件,q是p的必要条件，当它的逆命题为真时，q是p的充分条件，p是q的必要条件，两种命题均为真时，称p是q的充要条件； （2)在判断充分条件及必要条件时,首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论，其次，结论要分四种情况说明：充分不必要条件，必要不充分条件，充分且必要条件，既不充分又不必要条件。从集合角度看，若记满足条件p的所有对象组成集合A，满足条件q的所有对象组成集合q,则当AB时，p是q的充分条件。BA时，p是q的充分条件.A=B时,p是q的充要条件；（3） 当p和q互为充要时，体现了命题等价转换的思想。6、 反证法是中学数学的重要方法.会用反证法证明一些代数命题。 7、集合概念及其基本理论是近代数学最基本的内容之一。学会用集合的思想处理数学问题。三、典型例题 例1、已知集合M=y|y=x2+1，xR，N=yy=x+1，xR，求MN。解题思路分析:在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征。M、N均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。其次要化简集合,或者说使集合的特征明朗化。M=y|y=x2+1,xR=y|y1,N=yy=x+1，xR=y|yR MN=M=y|y1说明：实际上，从函数角度看，本题中的M，N分别是二次函数和一次函数的值域。一般地，集合yy=f（x)，xA应看成是函数y=f(x）的值域，通过求函数值域化简集合.此集合与集合（x,y)|y=x2+1，xR是有本质差异的，后者是点集，表示抛物线y=x2+1上的所有点，属于图形范畴.集合中元素特征与代表元素的字母无关，例y|y1=x|x1。例2、已知集合A=xx2-3x+2=0，B+xx2-mx+2=0,且AB=B，求实数m范围。解题思路分析：化简条件得A=1,2，AB=BBA根据集合中元素个数集合B分类讨论，B=，B=1或2,B=1,2当B=时，=m280 当B=1或2时，m无解当B=1,2时， m=3综上所述,m=3或说明：分类讨论是中学数学的重要思想，全面地挖掘题中隐藏条件是解题素质的一个重要方面，如本题当B=1或2时，不能遗漏=0。例3、用反证法证明：已知x、yR，x+y2，求 证x、y中至少有一个大于1。解题思路分析：假设x1且y1，由不等式同向相加的性质x+y2与已知x+y2矛盾 假设不成立 x、y中至少有一个大于1说明；反证法的理论依据是：欲证“若p则q”为真，先证“若p则非q为假，因在条件p下，q与非q是对立事件（不能同时成立,但必有一个成立），所以当“若p则非q”为假时，“若p则q”一定为真。例4、若A是B的必要而不充分条件,C是B的充要条件，D是C的充分而不必要条件,判断D是A的什么条件。解题思路分析：利用“”、“符号分析各命题之间的关系 DCBA DA，D是A的充分不必要条件说明：符号“”、“”具有传递性，不过前者是单方向的,后者是双方向的。例5、求直线l：axy+b=0经过两直线l1:2x2y3=0和l2：3x5y+1=0交点的充要条件。解题思路分析：从必要性着手,分充分性和必要性两方面证明。由 得l1,l2交点P（） l过点P 17a+4b=11充分性:设a，b满足17a+4b=11 代入l方程：整理得:此方程表明，直线l恒过两直线的交点（)而此点为l1与l2的交点 充分性得证 综上所述，命题为真说明：关于充要条件的证明，一般有两种方式，一种是利用“”，双向传输，同时证明充分性及必要性;另一种是分别证明必要性及充分性,从必要性着手,再检验充分性。四、同步练习（一） 选择题1、 设M=x|x2+x+2=0,a=lg（lg10）,则a与M的关系是A、a=M B、Ma C、aM D、Ma2、 已知全集U=R，A=xx-a|2，B=x|x-1|3，且AB=，则a的取值范围是A、 0，2 B、（2，2） C、（0，2 D、（0,2）3、 已知集合M=x|x=a23a+2，aR,N、x|x=b2-b,bR,则M，N的关系是A、 MN B、MN C、M=N D、不确定 4、设集合A=x|xZ且-10x1,B=x|xZ，且x|5，则AB中的元素个数是A、11 B、10 C、16 D、155、集合M=1，2,3，4,5的子集是A、15 B、16 C、31 D、326、对于命题“正方形的四个内角相等，下面判断正确的是 A、所给命题为假 B、它的逆否命题为真C、它的逆命题为真 D、它的否命题为真7、“”是coscos的A、充分不必要条件 B、必要不充分条件C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 8、集合A=xx=3k2，kZ，B=y|y=3l+1,lZ,S=y|y=6m+1，mZ之间的关系是A、SBA B、S=BA C、SB=A D、SB=A9、方程mx2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是A、0m1或m0 B、0m1C、m1 D、m110、已知p：方程x2+ax+b=0有且仅有整数解，q：a，b是整数，则p是q的A、充分不必要条件 B、必要不充分条件充要条件 D、既不充分又不必要条件（二） 填空题11、 已知M=，N=x|，则MN=_。 12、在100个学生中,有乒乓球爱好者60人,排球爱好者65人，则两者都爱好的人数最少是_人。13、 关于x的方程|x|x-1=a有解的充要条件是_。14、 命题“若ab=0，则a、b中至少有一个为零”的逆否命题为_.15、 非空集合p满足下列两个条件:(1）p1，2,3，4,5，(2）若元素ap，则6-ap,则集合p个数是_。（三） 解答题16、 设集合A=(x，y)y=ax+1，B=(x，y)y=x，若AB是单元素集合，求a取值范围。17、 已知抛物线C：y=x2+mx-1，点M（0，3），N（3,0),求抛物线C与线段MN有两个不同交点的充要条件。18、 设A=xx2+px+q=0，M=1，3，5，7，9，N=1，4，7，10，若AM=，AN=A，求p、q的值。19、 已知，b=2-x,c=x2x+1，用反证法证明：a、b、c中至少有一个不小于1。函 数一、复习要求7、 函数的定义及通性；2、函数性质的运用。二、学习指导 1、函数的概念: （1）映射：设非空数集A，B，若对集合A中任一元素a，在集合B中有唯一元素b与之对应，则称从A到B的对应为映射，记为f：AB，f表示对应法则，b=f(a）。若A中不同元素的象也不同,则称映射为单射,若B中每一个元素都有原象与之对应，则称映射为满射。既是单射又是满射的映射称为一一映射. （2）函数定义：函数就是定义在非空数集A,B上的映射，此时称数集A为定义域，象集C=f(x)xA为值域。定义域,对应法则，值域构成了函数的三要素,从逻辑上讲，定义域,对应法则决定了值域，是两个最基本的因素。逆过来,值域也会限制定义域.求函数定义域，通过解关于自变量的不等式（组）来实现的.要熟记基本初等函数的定义域,通过四则运算构成的初等函数，其定义域是每个初等函数定义域的交集。复合函数定义域，不仅要考虑内函数的定义域，还要考虑到外函数对应法则的要求。理解函数定义域,应紧密联系对应法则。函数定义域是研究函数性质的基础和前提。函数对应法则通常表现为表格，解析式和图象.其中解析式是最常见的表现形式。求已知类型函数解析式的方法是待定系数法，抽象函数的解析式常用换元法及凑合法。求函数值域是函数中常见问题,在初等数学范围内，直接法的途径有单调性，基本不等式及几何意义，间接法的途径为函数与方程的思想,表现为法,反函数法等，在高等数学范围内,用导数法求某些函数最值（极值）更加方便。在中学数学的各个部分都存在着求取值范围这一典型问题，它的一种典型处理方法就是建立函数解析式，借助于求函数值域的方法。2、函数的通性 （1）奇偶性:函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件，在利用定义判断时，应在化简解析式后进行，同时灵活运用定义域的变形,如，（f（x）0）。奇偶性的几何意义是两种特殊的图象对称.函数的奇偶性是定义域上的普遍性质，定义式是定义域上的恒等式。利用奇偶性的运算性质可以简化判断奇偶性的步骤。 （2)单调性：研究函数的单调性应结合函数单调区间，单调区间应是定义域的子集。判断函数单调性的方法：定义法，即比差法；图象法；单调性的运算性质（实质上是不等式性质)；复合函数单调性判断法则。函数单调性是单调区间上普遍成立的性质，是单调区间上恒成立的不等式。函数单调性是函数性质中最活跃的性质，它的运用主要体现在不等式方面,如比较大小，解抽象函数不等式等。 （3）周期性：周期性主要运用在三角函数及抽象函数中，是化归思想的重要手段.求周期的重要方法：定义法；公式法；图象法；利用重要结论：若函数f(x）满足f（ax)=f（a+x）,f(bx）=f（b+x），ab，则T=2a-b。 （4）反函数:函数是否是有反函数是函数概念的重要运用之一，在求反函数之前首先要判断函数是否具备反函数，函数f(x）的反函数f1(x)的性质与f(x）性质紧密相连，如定义域、值域互换，具有相同的单调性等，把反函数f-1（x)的问题化归为函数f(x)的问题是处理反函数问题的重要思想。设函数f(x）定义域为A，值域为C，则 f1f(x）=x，xA ff-1（x)=x,xC8、 函数的图象函数的图象既是函数性质的一个重要方面,又能直观地反映函数的性质,在解题过程中，充分发挥图象的工具作用。图象作法:描点法；图象变换.应掌握常见的图象变换。4、本单常见的初等函数;一次函数,二次函数，反比例函数,指数函数,对数函数。在具体的对应法则下理解函数的通性，掌握这些具体对应法则的性质。分段函数是重要的函数模型.对于抽象函数，通常是抓住函数特性是定义域上恒等式，利用赋值法（变量代换法）解题.联系到具体的函数模型可以简便地找到解题思路，及解题突破口。应用题是函数性质运用的重要题型。审清题意，找准数量关系，把握好模型是解应用题的关键.5、主要思想方法:数形结合，分类讨论，函数方程,化归等。三、典型例题 例1、已知，函数y=g(x）图象与y=f1（x+1）的图象关于直线y=x对称,求g(11)的值。分析：利用数形对应的关系，可知y=g(x）是y=f-1(x+1)的反函数,从而化g(x)问题为已知f(x）。 y=f-1（x+1) x+1=f(y） x=f（y）-1 y=f1（x+1）的反函数为y=f(x）-1即 g(x）=f（x）-1 g(11)=f(11)-1=评注：函数与反函数的关系是互为逆运算的关系，当f（x）存在反函数时，若b=f(a），则a=f-1(b)。例2、设f(x）是定义在（，+）上的函数，对一切xR均有f（x）+f（x+2）=0,当1x1时，f(x）=2x1，求当1x3时，函数f(x）的解析式.解题思路分析:利用化归思想解题 f（x)+f（x+2)=0 f（x）=-f(x+2) 该式对一切xR成立 以x2代x得：f(x-2)=-f(x2)+2=f（x）当1x3时，-1x21 f（x2）=2(x2）1=2x5 f（x）=-f(x-2)=2x+5 f(x)=2x+5（1x3）评注：在化归过程中,一方面要转化自变量到已知解析式的定义域，另一方面要保持对应的函数值有一定关系。在化归过程中还体现了整体思想。例3、已知g(x)=x2-3,f(x）是二次函数,当x-1，2时，f(x） 的最小值，且f（x）+g(x）为奇函数，求f(x)解析式。分析:用待定系数法求f（x）解析式设f(x)=ax2+bx+c（a0）则f(x）+g(x)=（a1)x2+bx+c3由已知f（x）+g(x)为奇函数 f（x）=x2+bx+3下面通过确定f（x）在1，2上何时取最小值来确定b，分类讨论. ，对称轴（1） 当2，b4时，f(x）在1，2上为减函数 2b+7=1 b=3（舍)（2） 当(1，2），-41，且对任意的a、bR,有f（a+b)=f（a)f（b)，（1） 求证：f(0)=1；（2） 求证：对任意的xR，恒有f（x)0；（3） 证明：f(x)是R上的增函数;（4） 若f（x）f（2x-x2）1，求x的取值范围。分析：（1） 令a=b=0，则f(0）=f(0)2 f(0）0 f（0）=1（2） 令a=x，b=x 则 f(0）=f（x)f(x） 由已知x0时，f(x)10 当x0,f(x)0 又x=0时,f（0）=10 对任意xR，f（x）0（3） 任取x2x1,则f(x2）0，f(x1)0，x2x10 f（x2）f(x1） f(x)在R上是增函数（4） f(x）f(2x-x2）=fx+（2x-x2)=f（x2+3x） 又1=f(0）,f(x)在R上递增 由f(3xx2)f(0）得：3xx20 0xc B、acb C、bca D、cba2、方程（a0且a1)的实数解的个数是A、0 B、1 C、2 D、33、的单调减区间是A、（，1) B、（1,+） C、(-，1）（1，+） D、（-，+）9、 函数的值域为A、 （-，3 B、(，3 C、（3，+） D、(3，+）10、 函数y=log2|ax1|(ab）的图象的对称轴是直线x=2，则a等于A、 B、 C、2 D、2 6、有长度为24的材料用一矩形场地，中间加两隔墙，要使矩形的面积最大，则隔壁的长度为A、 3 B、4 C、6 D、12（二） 填空题 7、已知定义在R的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f（x)，且当0x1时，f（x）=x，则=_。8、 已知y=loga（2-x)是x的增函数，则a的取值范围是_。9、 函数f(x)定义域为1，3，则f（x2+1）的定义域是_. 10、函数f(x）=x2bx+c满足f(1+x）=f(1-x），且f(0)=3，则f(bx)与f（cx)的大小关系是_。 11、已知f(x)=log3x+3,x1，9，则y=f(x）2+f（x2)的最大值是_.12、已知A=y|y=x24x+6，yN，B=y|y=x22x+18，yN，则AB中所有元素的和是_。13、若(x），g(x）都是奇函数，f(x）=m（x）+ng(x）+2在（0，+）上有最大值,则f（x)在（-，0)上最小值为_。14、函数y=log2(x2+1)(x0）的反函数是_.15、求值：=_。（三） 解答题16、若函数 的值域为1,5，求a，c。17、设定义在-2,2上的偶函数f（x)在区间0，2上单调递减,若f(1-m)f(m)，求实数m的取值范围.18、已知0a1，在函数y=logax(x1）的图象上有A,B，C三点，它们的横坐标分别是t,t+2，t+4（1） 若ABC面积为S，求S=f（t）；（2） 判断S=f（t)的单调性；（3） 求S=f(t)最大值。19、 设f（x)=,xR（1） 证明：对任意实数a,f(x)在(,+）上是增函数；（2） 当f(x)为奇函数时,求a；（3） 当f（x）为奇函数时，对于给定的正实数k，解不等式。20、 设00 anan1=2 an为公差为2的等差数列在中，令n=1，a1=1 an=2n1 （II) 注：递推是学好数列的重要思想，例本题由4Sn=(an+1)2推出4Sn-1=(an1+1）2，它其实就是函数中的变量代换法。在数列中一般用n1,n+1等去代替n，实际上也就是说已知条件中的递推关系是关于n的恒等式，代换就是对n赋值。例4、等差数列an中,前m项的和为77（m为奇数)，其中偶数项的和为33，且a1am=18，求这个数列的通项公式。分析：利用前奇数项和和与中项的关系令m=2n1，nN+则 n=4 m=7 an=11 a1+am=2an=22又a1am=18 a1=20,am=2 d=3 an=3n+23例5、设an是等差数列，,已知b1+b2+b3=，b1b2b3=，求等差数列的通项an。解题思路分析： an为等差数列 bn为等比数列从求解bn着手 b1b3=b22 b23= b2= 或 或 an=2n-3 或 an=2n+5注：本题化归为bn求解，比较简单。若用an求解,则运算量较大。例6、已知an是首项为2，公比为的等比数列,Sn为它的前n项和，（1） 用Sn表示Sn+1；（2） 是否存在自然数c和k，使得成立。 解题思路分析： (1) （2）（*) 式（*） Sk+1Sk 又Sk4 由得：c=2或c=3当c=2时 S1=2 k=1时，cSk不成立，从而式不成立 由SkSk+1得： 当k2时，,从而式不成立 当c=3时，S12，S2=3 当k=1，2时,CSk不成立 式不成立 当k3时，从而式不成立综上所述，不存在自然数c，k，使成立例7、某公司全年的利润为b元，其中一部分作为资金发给n位职工，资金分配方案如下：首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相等）从大到小，由1到n排序,第1位职工得资金元,然后再将余额除以n发给第2位职工，按此方法将资金逐一发给每位职工,并将最后剩余部分作为公司发展基金。 （1）设ak（1kn）为第k位职工所得资金额，试求a2，a3,并用k，n和b表示ak(不必证明)； (2）证明：akak+1（k=1,2，n-1），并解释此不等式关于分配原则的实际意义.解题思路分析：谈懂题意，理清关系,建立模型第1位职工的奖金第2位职工的奖金第3位职工的奖金第k位职工的奖金 （2）此奖金分配方案体现了“按劳分配或“不吃大锅饭等原则。例8、试问数列的前多少项的和最大，并求这个最大值(lg2=0。3010）解题思路分析：法一： an为首项为2，公差为的等差数列 nN+ n=14时，(Sn)max=14。35法二: a1=20，d= an是递减数列，且Sn必为最大值设 k=14 (Sn）max=S14=14。35四、同步练习（一） 选择题 1、已知a,b,a+b成等差数列，a，b，ab成等比数列，且01 B、1m8 C、m8 D、0m82、设a0,b0，a,x1，x2，b成等差数列,a，y1,y2,b成等比数列，则x1+x2与y1+y2的大小关系是A、x1+x2y1+y2 B、x1+x2y1+y2C、x1+x2y1+y2 D、x1+x2y1+y212、 已知Sn是an的前n项和,Sn=Pn（PR，nN+），那么数列anA、 是等比数列 B、当P0时是等比数列C、 当P0，P1时是等比数列 D、不是等比数列13、 an是等比数列，且an0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，则a3+a5等于A、5 B、10 C、15 D、2014、 已知a,b,c成等差数列，则二次函数y=ax2+2bx+c的图象与x轴交点个数是A、 0 B、1 C、2 D、1或215、 设mN+,log2m的整数部分用F(m）表示,则F（1)+F（2)+F(1024）的值是A、 8204 B、8192 C、9218 D、8021 7、若x的方程x2-x+a=0和x2x+b=0(ab)的四个根可组成首项为的等差数列,则a+b的值为A、 B、 C、 D、8、 在100以内所有能被3整除但不能被7整除的正整数和是A、1557 B、1473 C、1470 D、1368 9、从材料工地运送电线杆到500m以外的公路，沿公路一侧每隔50m埋栽一根电线杆，已知每次最多只能运3根，要完成运载20根电线杆的任务,最佳方案是使运输车运行A、 11700m B、14700m C、14500m D、14000m 10、已知等差数列an中，a3=a9|，公差d0，则使前n项和Sn取最大值的正整数n是A、4或5 B、5或6 C、6或7 D、8或9（二） 填空题11、已知数列an满足a1+2a2+3a3+nan=n(n+1）（n+2)，则它的前n项和Sn=_。12、设等差数列an共有3n项，它的前2n项之和为100，后2n项之和为200，则该等差数列的中间n项的和等于_。13、设数列an，bn（bn0），nN+满足（nN+)，则an为等差数列是bn为等比数列的_条件。14、长方体的三条棱成等比数列,若体积为216cm3，则全面积的最小值是_cm2。15、若不等于1的三个正数a，b，c成等比数列,则(2logba）（1+logca）=_。（三） 解答题16、已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，求这个数列的公比和项数。17、已知等比数列an的首项为a10，公比q1（q1），设数列bn的通项bn=an+1+an+2（nN+)，数列an，bn的前n项和分别记为An，Bn，试比较An与Bn大小。18、数列an中，a1=8，a4=2且满足an+2=2an+1-an(nN+）（1） 求数列an通项公式;（2） 设Sn=|a1|+|a2+an|,求Sn；（3） 设（nN+）Tn=b1+b2+bn，是否存在最大的整数m,使得对于任意的nN+，均有成立？若存在,求出m的值；若不存在,说明理由。