高中数学：2.5-平面向量应用举例.doc

2.5平面向量的应用举例
2.5.1平面几何中的向量方法
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可以用向量方法解决平面几何中的一些问题。下面通过几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用。
B
C
例1平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图2..5.1,=+,=-,你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？D
A

分析：不妨设=，=，则
=+，=-，
=，=。
涉及长度问题常常考虑向量的数量积，为此，我们计算与

解：= ·=（+）·（-）
=·+·+·+·
=+2·+。
同理 =-2·+。
观察（1）、（2）两式的特点，我们发现，（1）+（2）得
+=2（+）=2（+）。
即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍。
思考 如果不用向量的方法，能证明上述关系吗？
平面几何经常涉及距离（线段长度）、夹角问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用下列方法解决部分几何问题。解决几何问题时，先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素；然后通过向量的运算，特别是数量积来研究电、线段等元素之间的关系；最后再把运算结果“翻译”成几何关系得到几何问题的结论。这就是用向量方法解决几何问题的“三部曲”：
（1） 建立皮面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题;
（2） 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3） 把运算结果“翻译”成几何关系。
C
例2 如图2.5-2，连接□ABCD的一个顶点至AD、DC边的中点E、F，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？D
A
B
E
F
R
T

分析：由于R、T是对角线AC上的两点要判断AR、RT、TC之间的关系，只需分别判断AR、RT、TC与AC的关系即可。又因为AR、RT、TC、AC共线，所以只需判断、、、之间的关系即可。
解：第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题：
设=，=，=，=，则=+。
第二步，通过向量计算，研究几何元素之间的关系：
由于与共线，所以，我们设
=n（+），n是实数，
又因为
=-=-
与共线，所以我们设
==m（-）
因为=+，
所以
=+m（-）。
因此，
n（+）= +m（-）
即
（n-m） +（n+ ） =
由于向量、不共线，要使上式为，必须

解得
n=m=
所以
=
=
第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：
AR=RT=TC
思考 用演绎证明的方法如何证明本题的结论？
2.5.2向量在物理中的应用举例
例3在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力。你能从数学的角度解释这种现象吗？
分析：上面的问题可以抽象为如右图所示的数学模型。只要分析清楚F、G和角度三者之间的关系（其中F为F、F的合力），就得到了问题的数学解释。
解：不妨设| F|=| F|,由向量的平行四边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识可以知道

探究
（1） θ为何值时， |F1|最小，最小值是多少？
（2） |F1|能等于|G|吗？为什么？
例4

分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于河岸的方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短，考虑到水的流速，要使船行驶最短航程，那么船的速度与水流速度的合速度v 必须垂直于对岸，如图
解：|v|==（km/h），
所以 t==×60=3.1（min）.
答：行驶航程最短时，所用时间是3.1min.

小结：
物理问题
(实际问题）
向量问题
(数学模型)
数学问题
的解决
解释和验证相关物理现象

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