高三一轮排列组合二项式完整.doc

排列、组合和二项式----高三第一轮复习完整版
一、备考知识点：
排列数公式
排列
排列应用题
分类计数原理
分步计数原理
排列、组合应用题
组合数公式及性质
组合

组合应用题
二项式系数的性质
二项式定理
二项式定理的应用
二、知识点：
1．两个基本原理：
（1）分类计数原理：完成一件事，有类办法，有第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法……，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．
（2）分步计数原理：完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法……，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．
2．排列和排列数公式：
（1）排列：从个不同元素中取出个元素．按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．
（2）排列数：从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，记作.
（3）排列数公式：

3．组合、组合数公式和性质：
（1）组合：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．
（2）组合数：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，记作.
（3）组合数公式：

（4）组合数性质：
①
②
③
4．二项式定理和二项式系数的性质：
（1）二项式定理：
通项公式：
（2）二项式系数的性质：
① 对称性：到二项展开式首末两项距离相等的项的二次式系数相等．
② 单调性：以二项展开式中间项为分界，二项式系数先单调增，后单调减．
③
④
三、重点、难点与教学建议：
1．排列组合应用题是本章的重点和难点，也是高考的重点．高考常以选择题或填空题形式出现，一般难度为中等（有时较难），比较抽象、灵活，要求考生能熟练运用分类计数原理和分步计数原理分析问题，正确区分是排列还是组合，要有较强的思维能力．
要解决排列组合应用题这一难点，建议：①适当多做练习，多见一些不同类型的问题，让自己的思维得到充分的训练．②在练习中，注意归纳总结规律，如：捆绑法；插入法；隔板法；去杂法等．从而收到举一反三的效果．③“分类”和“分步”是解排列组合应用题的重要方法，一般是先分类再分步，特别注意分类时要不重复不遗漏，有时分步中还要分类．审题时一定要仔细推敲，准确理解题意后再列式．
2．二项式定理是本章的又一重点内容，也是高考的重点，高考常以选择题或填空题形式出现，一般难度不大，大多是考查二项展开式某项（或某项的系数）或系数和，但二项式定理的应用比较广泛，如计算或化简某些组合式，求余数或证明整除问题，证明等式或不等式，近似计算等，2001年高考考查了利用二项式定理证明不等式，难度较大．许多考生感到束手无策，失分较多．因此，在高考复习中对二项式定理的有关内容应全面复习，不能片面，在广度和深度上都应适应高考的要求．
1．介绍两个基本原理
　　先考虑下面的问题：
　　问题1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有4个班次，汽车有2个班次，轮船有3个班次．那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？
因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每种走法都可以完成由甲地到乙地这件事情．所以，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有4+2+3=9种不同的走法．
　　问题2：由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条（见下图），从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？
这里，从A村到B村，有3种不同的走法，按这3种走法中的每一种走法到达B村后，再从B村到C村又各有2种不同的走法，因此，从A村经B村去C村共有3×2=6种不同的走法．
2.排列组合基础知识
【基础练习】
1．若则 7 .
2．若则 7或4 .
3． 466 .
分析：由代入计算将466。
4．若则 14 .
5．设则的个位数字是 3 ．
6．不等式的解集为．
【典型例题】
例1．计算：
（1）
（2）
（3）
解：（1）

（2）

点评：注意裂项法在求和中的应用．
例2．集合
（1）A列B的映射共有多少个？
（2）A到B且B中每一个元素都有原象的映射共有多少个？
解：（1）A中每个元素在B中的象都有种选择，由分步计数原理，A到B的映射共有个．
（2）B中每个元素都有原象，只可能二类情况：一类是A中的3个元素与B中的1个元素对应，A中另2个元素与B中另2个元素一一对应；一类是A中的1个元素与B中的1个元素对应，A中剩下的4个元素平均分为2组分别与B中另2个元素对应，故A到B且B中每个元素都有原象的映射共有个．
点评：分类计数原理和分步计数原理是排列组合的两个基本原理．学生应熟练掌握，而映射又是学生的薄弱环节．在例2的教学中，教师应先复习一下有关映射的概念，再启发学生如何分析，最后利用两个基本原理解决问题，切忌操之过急
3. 排列组合应用题
　历届高考数学试题中，排列与组合部分的试题主要是应用问题。一般都附有某些限制条件；或是限定元素的选择，或是限定元素的位置，这些应用问题的内容和情景是多种多样的，而解决它们的方法还是有规律可循的。常用的方法有：一般方法和特殊方法两种。
　　一般方法有：直接法和间接法。
　　（1）在直接法中又分为两类，若问题可分为互斥各类，据加法原理，可用分类法；若问题考虑先后次序，据乘法原理，可用占位法。
　　（2）间接法一般用于当问题的反面简单明了，据A∪=I且A∩ = 的原理，采用排除的方法来获得问题的解决。
　　特殊方法：
　　（1）特元特位：优先考虑有特殊要求的元素或位置后，再去考虑其它元素或位置。
　　（2）捆绑法：某些元素必须在一起的排列，用“捆绑法”，紧密结合粘成小组，组内外分别排列。
　　（3）插空法：某些元素必须不在一起的分离排列用“插空法”，不需分离的站好实位，在空位上进行排列。
　　（4）其它方法。
下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.
1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.
例1.五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法种数有
A、60种 B、48种 C、36种 D、24种
解析：把视为一人，且固定在的右边，则本题相当于4人的全排列，种，答案：.
2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.
例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是
A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种
解析：除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位有种，不同的排法种数是种，选.
3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.
例3.五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻）那么不同的排法种数是
A、24种 B、60种 C、90种 D、120种
解析：在的右边与在的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即种，选.
4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.
例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有
A、6种 B、9种 C、11种 D、23种
解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选.
5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.
例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是
A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种
解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有种，选.
（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有
A、种 B、种 C、种 D、种
答案：.
6.全员分配问题分组法:
例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？
解析：把四名学生分成3组有种方法，再把三组学生分配到三所学校有种，故共有种方法.
说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.
（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为
A、480种 B、240种 C、120种 D、96种
答案：.
7.名额分配问题隔板法:
例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？
解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为种.
8.限制条件的分配问题分类法:
例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？
解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：
①若甲乙都不参加，则有派遣方案种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有方法，所以共有；③若乙参加而甲不参加同理也有种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有种，共有方法.所以共有不同的派遣方法总数为种.
9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.
例9.（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有
A、210种 B、300种 C、464种 D、600种
解析：按题意，个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有、、、
和个，合并总计300个,选.
（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？
解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做共有86个元素；由此可知，从中任取2个元素的取法有，从中任取一个，又从中任取一个共有，两种情形共符合要求的取法有种.
（3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？
解析：将分成四个不相交的子集，能被4整除的数集；能被4除余1的数集，能被4除余2的数集，能被4除余3的数集，易见这四个集合中每一个有25个元素；从中任取两个数符合要；从中各取一个数也符合要求；从中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有种.
10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式.
例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？
解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：
种.
11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
例11.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？
解析：老师在中间三个位置上选一个有种，4名同学在其余4个位置上有种方法；所以共有种.
12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理.
例12.（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是
A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种
解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共
种，选.
（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？
解析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有种，其余5个元素任排5个位置上有种，故共有种排法.
13.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:抽取两类混合元素不能分步抽.
例13.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有
A、140种 B、80种 C、70种 D、35种
解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有种,选.
解析2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有台,选.
14.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.
例14.（1）四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？
解析：“先取”四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有种，“再排”在四个盒中每次排3个有种，故共有种.
（2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？
解析：先取男女运动员各2名，有种，这四名运动员混和双打练习有中排法，故共有种.
15.部分合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.
例15.（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有
A、70种 B、64种 C、58种 D、52种
解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有个.
（2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有
A、150种 B、147种 C、144种 D、141种
解析：10个点中任取4个点共有种，其中四点共面的有三种情况：①在四面体的四个面上，每面内四点共面的情况为，四个面共有个；②过空间四边形各边中点的平行四边形共3个；③过棱上三点与对棱中点的三角形共6个.所以四点不共面的情况的种数是种.
16.圆排问题线排法:把个不同元素放在圆周个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列个普通排列：
在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，个元素的圆排列数有种.因此可将某个元素固定展成线排，其它的元素全排列.
例16.5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？
解析：首先可让5位姐姐站成一圈，属圆排列有种，然后在让插入其间，每位均可插入其姐姐的左边和右边，有2种方式，故不同的安排方式种不同站法.
说明：从个不同元素中取出个元素作圆形排列共有种不同排法.
17.可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地个不同元素排在个不同位置的排列数有种方法.
例17.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？
解析：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有种不同方案.
18.复杂排列组合问题构造模型法:
例18.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？
解析：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法,所以满足条件的关灯方案有10种.
说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决.
19.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:
例19.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？
解析：从5个球中取出2个与盒子对号有种，还剩下3个球与3个盒子序号不能对应，利用枚举法分析，如果剩下3，4，5号球与3，4，5号盒子时，3号球不能装入3号盒子，当3号球装入4号盒子时，4，5号球只有1种装法，3号球装入5号盒子时，4，5号球也只有1种装法，所以剩下三球只有2种装法，因此总共装法数为种.
20.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法:
例20.（1）30030能被多少个不同偶数整除？
解析：先把30030分解成质因数的形式：30030=2×3×5×7×11×13；依题意偶因数2必取，3，5，7，11，13这5个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为
个.
（2）正方体8个顶点可连成多少队异面直线？
解析：因为四面体中仅有3对异面直线，可将问题分解成正方体的8个顶点可构成多少个不同的四面体，从正方体8个顶点中任取四个顶点构成的四面体有个，所以8个顶点可连成的异面直线有3×58=174对.
21.利用对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.
例21.（1）圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点最多有多少个？
解析：因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的10个点可以确定多少个不同的四边形，显然有个，所以圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有个.
（2）某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从到的最短路径有多少种？
A
B

解析：可将图中矩形的一边叫一小段，从到最短路线必须走7小段，其中：向东4段，向北3段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走过4段的走法，便能确定路径，因此不同走法有种.
4.二项式定理
【基础练习】
1．若的展开式中第3项系数等于6，则= 12 ．
2．的展开式 中第21项与第22项相等，则非零实数．
3．展开式中，第3项系数为4，则常数项为．（）
4．的展开式中的系数为 15 ．（）
【典型例题】
例1．展开式中，系数为有理数的项共有多少项？
解：，当且仅当和为整数时，即为6的整数倍时，系数为有理数，共17项，即系数为有理数的项共有17项．
点评：学生常常把遗漏，误认为，教学中一定要强调的取值范围是．
例2．求展开式中一次项的系数．
解1：的积，一次项是从中任一因式中取项，其余4个因式中取常数2相乘而得，所以展开式中一次项系数为．
解2：
展开式中的一次项和常数项分别与展开式中常数项和的一次项相乘可得展开式中的一次项，故一次项系数为．
点评：解法1是从组合的角度考虑，比较简捷，但较抽象，对一些学生来讲有一些困难；解法2是通过因式分解转化为两个二项展开式中某些项的积，比较具体，易掌握，但比较麻烦，两种解法各有利弊，这两种解法是这类题的最常用解法，可由学生根据自己情况加以选择．
5.二项式定理的应用
【基础练习】
1．已知则 -1094 ．
（（－1－37）÷2= －1094）
2．若则= 1．
（）
3．设则．
4．91100除以100的余数是 1 ．
解：91100=(90+1)100=90100+，上式除最后一项外，其余各项均能被100整除，故余数为1．
5．在展开式中，奇数项之和为，偶数项之和为，则．
【典型例题】
例1．，求证：能被25整除．
证明：

当时，为整数．能被25整除．
当时，显然能被25整除．
综上，能被25整除．
点评：利用二项式定理证明整除问题是二项式定理的重要应用．此题时必须单独另证，这常被忽视而造成错误，应注意强调．
例2．已知、、是正整数，且．
（1）证明：；
（2）证明：．
证明：（1）即证

即 ， ∴当
即 ．
（2）由二项式定理，
由（1）知时
即
又

点评：这道题是2001年全国理科高考题，江苏省此题得分率为16％，是全卷得分率最低的题，可见学生很不适应，主要原因是多年来高考对二项式定理的考查都是选择或填空题，难度较小，因此复习中对二项式定理在整除问题和不等式证明方面的应用比较忽视，深度不到位，训练不到位，这个教训一定要吸取．
6.高考动态
1、（2010全国卷2理数）（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有
（A）12种 （B）18种 （C）36种 （D）54种
【答案】B
【命题意图】本试题主要考察排列组合知识，考察考生分析问题的能力.
【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选B.
2、（2010全国卷2文数）（9）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有
（A） 12种 (B) 18种 (C) 36种 (D) 54种
【解析】B：本题考查了排列组合的知识
∵先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有，余下放入最后一个信封，∴共有
3、（2010江西理数）6. 展开式中不含项的系数的和为（ ）
A.-1 B.0 C.1 D.2
【答案】B
【解析】考查对二项式定理和二项展开式的性质，重点考查实践意识和创新能力，体现正难则反。采用赋值法，令x=1得：系数和为1，减去项系数即为所求，答案为0.
4、（2010重庆文数）（10）某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天 . 若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有
（A）30种 （B）36种
（C）42种 （D）48种
解析：法一：所有排法减去甲值14日或乙值16日，再加上甲值14日且乙值16日的排法
即=42
法二：分两类
甲、乙同组，则只能排在15日，有=6种排法
甲、乙不同组，有=36种排法，故共有42种方法
5、（2010重庆文数）（1）的展开式中的系数为
（A）4 （B）6
（C）10 （D）20
解析：由通项公式得
6、（2010重庆理数）(9)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有
A. 504种 B. 960种 C. 1008种 D. 1108种
解析：分两类：甲乙排1、2号或6、7号 共有种方法
甲乙排中间,丙排7号或不排7号，共有种方法
故共有1008种不同的排法
7、（2010北京理数）（4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为
（A） （B） （C） （D）
答案：A
8、（2010四川理数）（10）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是
（A）72 （B）96 （C） 108 （D）144
解析：先选一个偶数字排个位，有3种选法
①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，3＝24个
②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共3＝12个
算上个位偶数字的排法，共计3(24＋12)＝108个
答案：C
9、（2010天津理数）(10) 如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用
（A）288种 （B）264种 （C）240种 （D）168种
【答案】D
【解析】本题主要考查排列组合的基础知识与分类讨论思想，属于难题。
（1） B,D,E,F用四种颜色，则有种涂色方法；
（2） B,D,E,F用三种颜色，则有种涂色方法；
（3） B,D,E,F用两种颜色，则有种涂色方法；
所以共有24+192+48=264种不同的涂色方法。
【温馨提示】近两年天津卷中的排列、组合问题均处理压轴题的位置，且均考查了分类讨论思想及排列、组合的基本方法，要加强分类讨论思想的训练。
10、（2010天津理数）（4）阅读右边的程序框图，若输出s的值为-7，则判断框内可填写
(A)i＜3? （B）i＜4?
（C）i＜5? （D）i＜6?
【答案】 D
【解析】 本题 主要考查条件语句与循环语句的基本应用，属于容易题。
第一次执行循环体时S=1，i=3;第二次执行循环时s=-2，i=5；第三次执行循环体时s=-7.i=7，所以判断框内可填写“i<6?”,选D.
【温馨提示】设计循环语句的问题通常可以采用一次执行循环体的方式解决。
11、（2010福建文数）

12、（2010全国卷1文数）(5)的展开式 的系数是
(A)-6 (B)-3 (C)0 (D)3
5.A. 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.
【解析】
的系数是 -12+6=-6
13、（2010全国卷1理数）(6)某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有
(A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种

14、（2010全国卷1理数）(5)的展开式中x的系数是
(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4

15、（2010四川文数）（9）由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是
（A）36 （B）32 （C）28 （D）24
解析：如果5在两端，则1、2有三个位置可选，排法为2×＝24种
如果5不在两端，则1、2只有两个位置可选，3×＝12种
共计12＋24＝36种
答案：A
16、（2010湖北文数）6．现有名同学支听同时进行的个课外知识讲座，名每同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是
A． B. C. D.

17、（2010湖南理数）7、在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为
A.10 B.11 C.12 D.15

18、（2010湖北理数）8、现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
A．152 B.126 C.90 D.54
8．【答案】B
【解析】分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有；若有1人从事司机工作，则方案有种，所以共有18+108=126种，故B正确
二、填空题
19、（2010上海文数）11. 2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。在右边的框图中，表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入 S←S+a 。
解析：考查算法
20、（2010上海文数）12.在行列矩阵中，
记位于第行第列的数为。当时， 45 。
解析：1+3+5+7+9+2+4+6+8=45
21、（2010上海文数）5.将一个总数为、 、三层，其个体数之比为5:3:2。若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从中抽取 20 个个体。
解析：考查分层抽样应从中抽取
22、（2010浙江理数）（17）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复. 若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人. 则不同的安排方式共有______________种（用数字作答）.
解析：本题主要考察了排列与组合的相关知识点，突出对分类讨论思想和数学思维能力的考察，属较难题
23、（2010全国卷2理数）（14）若的展开式中的系数是，则 ．
【答案】1
【命题意图】本试题主要考查二项展开式的通项公式和求指定项系数的方法.
【解析】展开式中的系数是.
24、（2010辽宁理数）（13）的展开式中的常数项为_________.
【答案】-5
【命题立意】本题考查了二项展开式的通项，考查了二项式常数项的求解方法
【解析】的展开式的通项为，当r=3时，，当r=4时，，因此常数项为-20+15=-5
25、（2010全国卷2文数）(14)(x+1/x)9的展开式中，x3的系数是_________
【解析】84：本题考查了二项展开式定理的基础知识
∵ ，∴ ，∴
26、（2010江西理数）14.将6位志愿者分成4组，其中两个各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 种（用数字作答）。
【答案】 1080
【解析】考查概率、平均分组分配问题等知识，重点考查化归转化和应用知识的意识。先分组，考虑到有2个是平均分组，得，再全排列得：

27、（2010四川理数）（13）的展开式中的第四项是 .
解析：T4＝
答案：－
28、（2010天津理数）（11）甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为 和 。

【答案】24，23
【解析】本题主要考查茎叶图的应用，属于容易题。
甲加工零件个数的平均数为
乙加工零件个数的平均数为
【温馨提示】茎叶图中共同的数字是数字的十位，这事解决本题的突破口。
29、（2010全国卷1文数）(15)某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 种.(用数字作答)
15. A【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.
【解析1】:可分以下2种情况:(1)A类选修课选1门,B类选修课选2门,有种不同的选法;(2)A类选修课选2门,B类选修课选1门,有种不同的选法.所以不同的选法共有+种.
【解析2】:
30、（2010四川文数）(13)(x－)4的展开式中的常数项为______________(用数字作答)
解析：展开式的通项公式为Tr＋1＝
取r＝2得常数项为C42(－2)2＝24
答案：24
31、（2010湖北文数）11.在的展开中， 的系数为______。
【答案】45
【解析】展开式即是10个（1-x2）相乘，要得到x4，则取2个1-x2中的（-x2）相乘，其余选1，则系数为，故系数为45.
32、（2010湖北理数）11、在（x+ ）的展开式中，系数为有理数的项共有_______项。
11.【答案】6
【解析】二项式展开式的通项公式为要使系数为有理数，则r必为4的倍数，所以r可为0.、4、8、12、16、20共6种，故系数为有理数的项共有6项.
33、（2010安徽卷理）