线性代数齐次方程组解法.doc

D=
按第一列展开，再将各列的公因子提出来
D=
=(a2－a1）（a3－a1）…(ak－a1)
得到的k－1阶范德蒙德行列式，由归纳假设知其值为

于是 D=（a2－a1)(a3－a1)…（ak－a1)=
因此，对于任意正整数n≥2，范德蒙德行列式的展开式都成立。 证毕
例1.14 计算n阶三对角行列式:
Dn=
解 由行列式的性质1.4，将Dn的第一列的每个元看成两个元之和,得
Dn=+
第一个行列式按第一列展开；第二个行列式从第一行开始依次加到下一行,得
Dn=Dn－1+=Dn－1+1
反复利用上面的递推公式，得到
Dn=Dn－1+1=Dn－2+2=…=D1+n－1=2+n－1=n+1
例1.15 计算n阶行列式
Dn= （ai≠b， i=1，2，…，n)
解 对于这个行列式,采用一种“加边”的技巧。
Dn=
第一行乘以(－1）加到其他各行上去，得
Dn=
第二列乘以加到第一列上去,第三列乘以加到第一列上去,依次类推，最后一列乘以加到第一列上去，得到
Dn=
=
1。4 行列式的应用
1。4.1 克拉默法则
本小节以行列式为工具，研究解线性方程组的问题。设n个未知量n个方程的线性方程组为
（1。18）
简记为
=bk （k=1，2,…，n） （1.19）
它的系数构成的行列式
D= (1.20）
称为方程组（1。18）的系数行列式。
定理1.7 如果方程组（1。19）的系数行列式不为零，则该方程组有唯一解：
x1=, x2=， …， xn= （1。21）
这里Dj（j=1，2，…,n）是把方程组的常数项b1,b2,…，bn依次替换系数行列式中的第j列元所得到的n阶行列式。
通常称这个定理为克拉默（G。Cramer)法则。
证明 取正整数1,2,…，n中任意一个为j，以A1j，A2j，…,Anj分别乘以方程组中第一，第二，…，第n个方程，然后相加，得
（）x1+()x2+…+（）xj+…+（）xn = (1。22）
由性质1.13可知，方程左边xj的系数为D,而其它的xi的系数为零;方程右边恰好是用b1,b2,…，bn依次替换D中第j列每个元所得到的行列式Dj,因此有
Dxj=Dj
令j=1,2,…,n，就得到方程组
Dx1=D1， Dx2=D2,…,Dxn=Dn （1。23)
显然方程组(1.18）的解是(1.23)的解,而当D≠0时，方程组（1。23）有惟一解:
x1=， x2=， …， xn= （1.24）
因此，方程组（1.18)最多有一组解.
将（1。24）代入（1。18）的第i个方程，得
=(）==bi (i=1，2，…，n)
则（1.24）的解是（1。18）的解。而且是唯一解. 证毕
例1。16 解线性方程组

解 系数行列式
D = = 196
由于系数行列式不为零，所以可以使用克拉默法则，方程组有唯一解。此时
D1= = －54 D2= = 38
D3= = 80
则有

用克拉默法则解一个有n个未知量、n个方程的线性方程组,需要计算n+1个n阶行列式，这样的计算量通常是相当大的，但克拉默法则在理论上具有重要意义。
1。4.2 拉普拉斯定理
行列式按任意一行(列）展开的方法可以推广到按若干行(列）展开.行列式按若干行（列）的展开式称为拉普拉斯展开式。
在n阶行列式D中任选k行和k列,位于这些行、列交叉处的元按原来顺序排成一个k阶行列式M,称为行列式D的k阶子式；而划去这k行k列后，剩余的元按原来的顺序排列成的n－k阶行列式N,称为M的余子式；如果k阶子式在D中所在的行、列的序号依次为，i1，i2，…,ik,j1，j2，…,jk,则把

称为M的代数余子式。
例如
D=
从中取第二、三行，第一、三列，交叉处元组成一个二阶子式，记为M;M的余子式记为N,具体写出来就是：
M= N=
M的代数余子式为（－1）2+3+1+3N=－N
定理1.8 在n阶行列式中任取k行（列），则由这k行（列)的元所组成的所有的k阶子式与它的代数余子式的乘积之和，等于行列式的值。
通常把这个定理称为拉普拉斯（Laplace）定理,证明从略。
例1。17 利用拉普拉斯定理将下面的行列式按第一、二两行展开
D=
解 D中由第一、二两行的元组成的二阶子式共有六个
M1==3, M2==1， M3==0
M4==1, M5==0, M6==0
其中M1,M2,M4的代数余子式为
A1=(－1）1+2+1+2=13, A2=（－1)1+2+1+3=4
A4=（－1)1+2+2+3=0
由拉普拉斯定理知
D=M1A1+ M2A2+ M3A3+ M4A4+ M5A5+ M6A6=3×13+1×4=43
由此可见,当选出的行（列)中所组成的k阶子式大部分都为零时，应用拉普拉斯定理计算行列式的值比较简单.
例1。18 计算n阶行列式
D=
解 先做n－2次相邻行的互换，使得最后一行换到第二行位置上；再做n－2次相邻列的互换,使最后一列换到第二列的位置上
D=(－1)n－2=
用拉普拉斯定理,可得
D=·=an－2(a2－b2）
1.4。3 方阵与行列式
行列式作为方阵的一个数字特征，具有如下性质（其中A，B为n阶方阵,l为数）
性质1.14 detAT=detA
性质1.15 det（lA）=lndet（A)
证明 设
A=
则
lA= 及det(lA）=
依据行列式的性质，将det（lA)中每一行中的公因子l提出，得到
det（lA）=ln =lndet（A） 证毕
性质1.16 设A、B为n阶方阵，则有
det（AB）=（detA）·（detB） （此性质称为行列式的乘法定理) (1.25）
证明 设C=AB，并设A=（aij）n×n,B=（bij）n×n,C=(cij）n×n
构造2n阶行列式如下：
D=
根据拉普拉斯定理，把D按照前n行展开，有 D=（detA) ·(detB)
另一方面，对D中的后n列实施行列式的性质1。11，将第k列(1≤k≤n）乘以bkj加入到第n+j列中去，使得原来矩阵B位置上的每个元都变为零，得到
D=
其中cij=，即C=(cij)=AB
再用拉普拉斯定理，把D按照最后n行展开，有
D=（－1）s·（detC）=（－1）s·（－1)n·（detC）
其中s=[（n+1)+（n+2）+…+2n］+（1+2+…+n）=n（2n+1)， s+n=n（2n+2）为偶数。
所以 D=detC=det（AB） 故 det（AB）=(detA)·(detB） 证毕
显然，行列式的乘法定理可以推广到有限个方阵相乘的情形,即
det(A1A2…Ak)=（detA1)·(detA2)…（detAk)
1.4。4 行列式和伴随矩阵与逆矩阵的关系
前面给出了逆矩阵的概念以及用行初等变换求逆矩阵的方法,利用行列式还可给出判明可逆阵的一个简单条件，并给出逆阵的一个公式。为此,需要引入n阶矩阵A的转置伴随阵的定义。
定义1。9 对任意n阶方阵A=(aij)，则称由detA中每个元的代数余子式所构成的如下方阵：
adjA = （1。25)
为A的转置伴随阵（adjugate matrix)或伴随矩阵,用记号A＊表示。
定理1。8 设A是n阶矩阵，adjA为其转置伴随矩阵，则有
A（adjA）=（adjA）A=（detA）E (1.26）
证明 因为