线性代数齐次方程组解法.doc

D=按第一列展开，再将各列的公因子提出来D= =(a2a1）（a3a1）(aka1)得到的k1阶范德蒙德行列式，由归纳假设知其值为于是 D=（a2a1)(a3a1)（aka1)= 因此，对于任意正整数n2，范德蒙德行列式的展开式都成立。 证毕 例1.14 计算n阶三对角行列式:Dn=解 由行列式的性质1.4，将Dn的第一列的每个元看成两个元之和,得 Dn=+第一个行列式按第一列展开；第二个行列式从第一行开始依次加到下一行,得Dn=Dn1+=Dn1+1反复利用上面的递推公式，得到Dn=Dn1+1=Dn2+2=D1+n1=2+n1=n+1例1.15 计算n阶行列式Dn= （aib， i=1，2，n)解 对于这个行列式,采用一种“加边”的技巧。Dn=第一行乘以(1）加到其他各行上去，得Dn=第二列乘以加到第一列上去,第三列乘以加到第一列上去,依次类推，最后一列乘以加到第一列上去，得到Dn= =1。4 行列式的应用1。4.1 克拉默法则本小节以行列式为工具，研究解线性方程组的问题。设n个未知量n个方程的线性方程组为 （1。18）简记为=bk （k=1，2,，n） （1.19）它的系数构成的行列式D= (1.20）称为方程组（1。18）的系数行列式。定理1.7 如果方程组（1。19）的系数行列式不为零，则该方程组有唯一解： x1=, x2=， ， xn= （1。21）这里Dj（j=1，2，,n）是把方程组的常数项b1,b2,，bn依次替换系数行列式中的第j列元所得到的n阶行列式。通常称这个定理为克拉默（G。Cramer)法则。证明 取正整数1,2,，n中任意一个为j，以A1j，A2j，,Anj分别乘以方程组中第一，第二，第n个方程，然后相加，得（）x1+()x2+（）xj+（）xn = (1。22）由性质1.13可知，方程左边xj的系数为D,而其它的xi的系数为零;方程右边恰好是用b1,b2,，bn依次替换D中第j列每个元所得到的行列式Dj,因此有Dxj=Dj令j=1,2,n，就得到方程组Dx1=D1， Dx2=D2,Dxn=Dn （1。23)显然方程组(1.18）的解是(1.23)的解,而当D0时，方程组（1。23）有惟一解: x1=， x2=， ， xn= （1.24）因此，方程组（1.18)最多有一组解.将（1。24）代入（1。18）的第i个方程，得=(）=bi (i=1，2，n)则（1.24）的解是（1。18）的解。而且是唯一解. 证毕例1。16 解线性方程组解 系数行列式 D = = 196由于系数行列式不为零，所以可以使用克拉默法则，方程组有唯一解。此时D1= = 54 D2= = 38D3= = 80则有 用克拉默法则解一个有n个未知量、n个方程的线性方程组,需要计算n+1个n阶行列式，这样的计算量通常是相当大的，但克拉默法则在理论上具有重要意义。1。4.2 拉普拉斯定理行列式按任意一行(列）展开的方法可以推广到按若干行(列）展开.行列式按若干行（列）的展开式称为拉普拉斯展开式。在n阶行列式D中任选k行和k列,位于这些行、列交叉处的元按原来顺序排成一个k阶行列式M,称为行列式D的k阶子式；而划去这k行k列后，剩余的元按原来的顺序排列成的nk阶行列式N,称为M的余子式；如果k阶子式在D中所在的行、列的序号依次为，i1，i2，,ik,j1，j2，,jk,则把称为M的代数余子式。例如D=从中取第二、三行，第一、三列，交叉处元组成一个二阶子式，记为M;M的余子式记为N,具体写出来就是：M= N=M的代数余子式为（1）2+3+1+3N=N定理1.8 在n阶行列式中任取k行（列），则由这k行（列)的元所组成的所有的k阶子式与它的代数余子式的乘积之和，等于行列式的值。通常把这个定理称为拉普拉斯（Laplace）定理,证明从略。例1。17 利用拉普拉斯定理将下面的行列式按第一、二两行展开D=解 D中由第一、二两行的元组成的二阶子式共有六个M1=3, M2=1， M3=0M4=1, M5=0, M6=0其中M1,M2,M4的代数余子式为A1=(1）1+2+1+2=13, A2=（1)1+2+1+3=4A4=（1)1+2+2+3=0由拉普拉斯定理知D=M1A1+ M2A2+ M3A3+ M4A4+ M5A5+ M6A6=313+14=43由此可见,当选出的行（列)中所组成的k阶子式大部分都为零时，应用拉普拉斯定理计算行列式的值比较简单.例1。18 计算n阶行列式D=解 先做n2次相邻行的互换，使得最后一行换到第二行位置上；再做n2次相邻列的互换,使最后一列换到第二列的位置上D=(1)n2=用拉普拉斯定理,可得D=an2(a2b2）1.4。3 方阵与行列式行列式作为方阵的一个数字特征，具有如下性质（其中A，B为n阶方阵,l为数）性质1.14 detAT=detA性质1.15 det（lA）=lndet（A)证明 设A=则lA= 及det(lA）=依据行列式的性质，将det（lA)中每一行中的公因子l提出，得到 det（lA）=ln =lndet（A） 证毕性质1.16 设A、B为n阶方阵，则有 det（AB）=（detA）（detB） （此性质称为行列式的乘法定理) (1.25）证明 设C=AB，并设A=（aij）nn,B=（bij）nn,C=(cij）nn构造2n阶行列式如下：D=根据拉普拉斯定理，把D按照前n行展开，有 D=（detA) (detB)另一方面，对D中的后n列实施行列式的性质1。11，将第k列(1kn）乘以bkj加入到第n+j列中去，使得原来矩阵B位置上的每个元都变为零，得到D=其中cij=，即C=(cij)=AB再用拉普拉斯定理，把D按照最后n行展开，有 D=（1）s（detC）=（1）s（1)n（detC）其中s=（n+1)+（n+2）+2n+（1+2+n）=n（2n+1)， s+n=n（2n+2）为偶数。所以 D=detC=det（AB） 故 det（AB）=(detA)(detB） 证毕显然，行列式的乘法定理可以推广到有限个方阵相乘的情形,即det(A1A2Ak)=（detA1)(detA2)（detAk)1.4。4 行列式和伴随矩阵与逆矩阵的关系 前面给出了逆矩阵的概念以及用行初等变换求逆矩阵的方法,利用行列式还可给出判明可逆阵的一个简单条件，并给出逆阵的一个公式。为此,需要引入n阶矩阵A的转置伴随阵的定义。定义1。9 对任意n阶方阵A=(aij)，则称由detA中每个元的代数余子式所构成的如下方阵： adjA = （1。25)为A的转置伴随阵（adjugate matrix)或伴随矩阵,用记号A表示。定理1。8 设A是n阶矩阵，adjA为其转置伴随矩阵，则有A（adjA）=（adjA）A=（detA）E (1.26）证明 因为