第四章第三节教案xin.doc

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第四章 第三节《平面向量的数量积及应用举例》
教案
一、教材分析
平面向量的数量积是在学习了向量的相关概念，以及向量的加法、减法、实数与向量的积之后，高中数学又一重要概念和运算．本课所包含的教学内容：向量的夹角、数量积的概念以及数量积的几何意义，既是学习数量积性质和运算律的前提，也为今后利用数量积处理有关距离、角度、垂直等问题奠定了基础．
二、学情分析
基础知识方面：学生之前学习了向量的相关概念、向量的线性运算以及平面向量基本定理等内容，同时学生对平面向量数量积的物理背景（如功、力的分解等）有一定的了解，这些都为概念的理解作好了必要的铺垫．
认知水平与能力方面:学生已经具备初步的抽象概括能力,能在教师的引导下，通过自主学习、合作交流解决一些实际问题．
任教班级学情:我班学生有较好的学习习惯,基础知识较为扎实,但是概念的深入理解和灵活运用的能力还有待进一步提高．
三、教学目标分析
1．教学目标
依据教学大纲，渗透新课程理念，结合本节课的特点和学生的实际情况，本节课的教学目标确定为：
●知识目标
（1)理解两非零向量的夹角的概念,掌握平面向量的数量积及其几何意义；
（2）能初步运用数量积的相关概念进行运算．
●能力目标
经历向量的夹角、向量的数量积、投影等概念的形成过程,提高类比辨析、抽象概括等数学思维能力．
●情感目标
教学活动过程中，始终贯穿了对平面向量数量积的物理背景的深入挖掘,让学生感悟到数学来源于现实并用于现实，在探索问题的过程中体验成功的喜悦,从而进一步激发学生的学习兴趣．
2．教学重点与难点分析
●重点
理解并掌握数量积的概念及其几何意义．
●难点
理解并掌握数量积的概念及其几何意义。
●重、难点解决的方法策略
通过充分挖掘“功”这一物理背景，建立知识生长点；采用从特殊到一般、从具体到抽象的教学策略;每个概念的学习都让学生经历探究、理解与应用的过程；在教学的过程中借助多媒体的直观演示，这些都有利于突出重点、突破难点．
四、教学方法
启发引导式
教学过程：

1．向量的数量积
（1)向量数量积的概念
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量
｜a|·|b｜cosθ 叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝
|a｜·｜b|cosθ，规定，零向量与任一向量的数量积为 ，即
0·a＝0 .
（2)向量的投影
设两个非零向量a与b的夹角为θ，|a|cosθ称为向量a在b方向上的投影；|b|cosθ称为向量b在a方向上的投影．
(3)向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a｜与b在a方向上的投影｜b｜cosθ的乘积．

温馨提示：（1）投影是一个数量，不是向量．当θ为锐角时，投影为正值;当θ为钝角时，投影为负值；当θ为直角时，投影为0;当θ＝0°时，投影为｜b｜；当θ＝180°时,投影为－｜b｜.
(2)两个向量的数量积，其结果也是数量，而不是向量．
2．平面向量数量积的运算律
(1）交换律：a·b＝b·a；
(2）数乘结合律:(λa）·b＝ λ(a·b)＝a·(λb）；
(3）分配律:a·（b＋c)＝ a·b＋a·c。

1．根据数量积的运算律，判断下列结论是否成立．
（1)a·b＝a·c，则b＝c吗？
（2）(a·b）c＝a（b·c)吗？
提示：(1）不一定，a＝0时不成立，另外a≠0时，a·b＝a·c。由数量积概念可知b与c不能确定；
(2)(a·b)c＝a（b·c)不一定相等．（a·b)c是c方向上的向量，而a（b·c)是a方向上的向量,当a与c不共线时它们必不相等．
3．平面向量数量积的性质及其坐标表示
已知非零向量a＝(x1，y1），b＝(x2，y2）,θ为向量a，b的夹角．
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝
｜a｜＝
数量积
a·b＝|a｜|b|cosθ
a·b＝x1x2＋y1y2
夹角
cosθ＝
cosθ＝

a⊥b的
充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
｜a·b｜与|a|｜b｜
的关系
｜a·b｜≤｜a|｜b|（当且仅当a∥b时等号成立）
|x1x2＋y1y2|≤
·

2．若a·b<0，是否说明向量a和b的夹角为钝角？
提示：不一定，也可能是平角．

1．已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，a·b＝－10，则a与b的夹角为(　B　)
A。　　　　B。π　　　　
C。　　　　D。π
2．等边三角形ABC的边长为1，＝a，＝b,＝c，那么a·b＋b·c＋c·a等于(　D　)
A．3 B．－3
C。 D．－
3．设向量a,b满足｜a｜＝|b|＝1,a·b＝－，则|a＋2b|＝（ B )
A. B.
C。 D.
4．已知｜a|＝4，｜b｜＝3，a与b的夹角为120°，则b在a方向上的投影为(　D　)
A．2 B。
C．－2 D．－
5．已知向量a＝(2,4），b＝（1，1)，若向量b⊥(λa＋b），则实数λ的值为：－

【例1】　(1)(2013·湖北卷)已知点A（－1，1）、B（1，2）、C（－2，－1）、D（3,4），则向量在方向上的投影为(A）
A。 B。
C．－ c。 D．－
2013·(天津卷)在平行四边形ABCD中,AD＝1，∠BAD＝60°,E为CD的中点．若·＝1,则AB的长为：
（1)根据投影的定义求解；
(2)根据数量积的定义，结合平面向量的加法与减法运算
【解析】(1)∵＝(2,1)，＝（5,5)，∴·＝2×5＋1×5＝15，|｜＝5，所求投影为｜｜·cos〈，〉＝＝＝，故选A
（2）·＝（＋)·＝·－||2＋｜｜2－·＝|｜|｜cos60°－｜｜2＋||2＝｜|×1×－||2＋1＝1.∴｜｜－||2＝0，∴|｜＝,即AB＝.文档为个人收集整理，来源于网络

1.（2013·新课标全国卷Ⅱ）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝____2____.
【例2】　(1）设x,y∈R，向量a＝(x，1)，b＝（1，y)，c＝(2,－4)，且a⊥c，b∥c，则｜a＋b｜＝( B )
A。 B.
C．2 D．10

(2)若向量a＝(1，2），b＝(1，－1），则2a＋b与a－b的夹角等于( C ）
A．－ B.
C. D.
(3)若平面向量α,β满足|α｜＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是： ．
【解析】（1)由a⊥c得，a·c＝2x－4＝0，解得x＝2。由b∥c得＝，解得y＝－2，所以a＝(2，1)，b＝（1，－2），a＋b＝(3，－1)，｜a＋b|＝,故选B.
(2)∵2a＋b＝2(1，2)＋（1，－1)＝(3，3）,a－b＝(1，2)－（1,－1）＝（0，3），∴(2a＋b）·（a－b)＝3×0＋3×3＝9，|2a＋
＝－2，所以a＝（2,1），b＝(1,－2），a＋b＝（3，－1），｜a＋b｜＝,故选B.
（2）∵2a＋b＝2(1，2)＋(1，－1)＝(3，3)，a－b＝(1,2）－(1,－1)＝(0，3），∴（2a＋b)·(a－b）＝3×0＋3×3＝9,｜2a＋b｜＝3，｜a－b｜＝3,
∴cosθ＝＝，又θ∈［0，π],∴θ＝
(3)由S＝|α|·|β|sinθ＝｜β|sinθ＝可得，sinθ＝≥,故θ∈.

（1）已知向量a，b的夹角为60°，且|a｜＝2，|b|＝1,则向量a与a＋2b的夹角等于( D )
A．150° B．90°
C．60° D．30°
（2）已知向量a，b夹角为45°，且|a｜＝1，|2a－b|＝，则|b｜＝3.

（第二课备用)：【例3】（2013·山东卷）已知向量与的夹角为120°，且||＝3,||＝2。若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为:．
⊥则·＝0.

已知平面向量a＝（，－1),b＝.
(1）证明：a⊥b;
(2）若存在不同时为零的实数k和t，使c＝a＋（t2－3）b,d＝－ka＋tb，且c⊥d,试求函数关系式k＝f(t）．
(四）课堂小结
本节课我们学习了一种新的向量运算—-向量的数量积，与向量的线性运算一样，它也有明显的物理意义、几何意义，但与线性运算不同的是，它的运算结果不是向量而是数量。本节主要要求要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题。
（五)课后作业
小册子基础练习
教后记：