高等数学中求极限的方法小结.doc

高等数学中求极限的方法小结
2.求极限的常用方法
2.1 利用等价无穷小求极限
这种方法的理论基础主要包括：(1)有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)非零无穷小与无穷大互为倒数.(4)等价无穷小代换(当求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小代替).[3]
设、且；则：与是等价无穷小的充分必要条件为：．
常用等价无穷小：当变量时，
．
例1 求．
解 ，
故，原式
例2 求．
解 ,因此:
原式．
例3 求 ．
解 ，故:原式=．
例4 求．
解 ,故:
原式．
例5 试确定常数与，使得当时，与为等价无穷小．
解 而左边，
故 即 ．
2.2 利用洛必达法则求极限
利用这一法则的前提是：函数的导数要存在；为0比0型或者型等未定式类型.
洛必达法则分为3种情况：（1）0比0，无穷比无穷的时候直接用.（2）0乘以无穷，无穷减去无穷（无穷大与无穷小成倒数关系时）通常无穷大都写成无穷小的倒数形式,通项之后，就能变成（1）中形式了.（3）0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方，对于（指数,幂函数）形式的方法主要是取指数的方法，这样就能把幂函数指数位置的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了.
洛必达法则中还有一个定理：当时，函数及都趋于0；在点的某去心邻域内，﹑的导数都存在且的导数不等于0；存在，那么 . [1]
求极限有很多种方法如洛必达法则，夹逼定理求极限的秘诀是：强行代入，先定型后定法. [3]
例6 求.
分析 秘诀强行代入，先定型后定法.
（此为强行代入以定型）.
可能是比高阶的无穷小，倘若不这样，或 或.
解
，
由洛必达法则的.
例7 求.
解 .
例8 求.
解 原式.（二次使用洛必达法则）.
例9 求.
解 原式.
例10 求.
解 原式原式=.
例11 求.
解 原式.
例12 求.
解 原式.
例13 求.
解 原式

“”型：
例14 求.
解 原式.
“”型：
例15 求 .
解 ，
故原式.
“”型：
例16 求.
解 原式.
“”型：
例17 求.
解 原式.
“”型：
例18 求.
解 原式，
而，因此：原式=1.
2.3 泰勒公式
（含有的次方的时候，尤其是含有正、余弦的加减的时候要特别注意）
泰勒中值定理定理：如果函数在含有的某个开区间内具有直到
阶的导数，则对任一，有
+(-)+(-)+……+(-)+()
其中，这里是与之间的某个值. [1]
例19 利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式，求极限.
解 由于公式的分母，我们只需将分子中的
代入计算，
于是 ，对上式做运算时，把两个高阶的无穷小的代数和还是记作.
例20 ，
，
.
2.4 无穷小与有界函数的处理方法
面对复杂函数，尤其是正、余弦的复杂函数与其它函数相乘的时候，一定要注意这个方法.[3]
例21 求 .
解 原式.
2.5 夹逼定理
主要介绍的是如何用之求数列极限，这个主要是看见极限中的通项是方式和的形式，对之放缩或扩大.[1]
例22 求.
解 ，
，
，
根据夹逼定理 .
2.6 等比等差数列公式（的绝对值要小于） [1]
例23 设，证等比数列1，，，…的极限为0.
证 任取，为使，而，使，即，
当，当时，即，
即，
由定义知
.
因此,很显然有:
.
2.7 各项以拆分相加[3]
将待求的和式子的各项拆分相加来消除中间的大多数，主要应用于数列极限,可以使用待定系数来拆分简化函数.
例24 求.
解 原式

=.
2.8 求左右极限的方式
例25 求函数，求时，的极限.
解 ，，
因为，所以，当时，的极限不存在.
例26 .
解 ，，
因为，所以,原式=0.
2.9 应用两个重要极限
，
例27 求.
解 记 ，则
原式= .
例28 求.
解 原式==.
例29 求.
解 原式==.
2.10 根据增长速度
例30 求.
解 原式==.
例31 求.
解 .
同函数趋近于无穷的速度是不一样的，的次方快于（的阶乘）快于指数函数，快于幂函数，快于对数函数.
所以增长速度： .
故以后上述结论可直接在极限计算中运用.
2.11 换元法
例32 .
解 令，
则原式==
2.12 利用极限的运算法则[1]
利用如下的极限运算法则来求极限：
(1) 如果
那么

若又有，则
（2）如果存在，而为常数，则
（3）如果存在，而为正整数，则
（4）如果，而，则
（5）设有数列和，如果
那么，
当且时，
2.13 求数列极限的时候可以将其转化为定积分[1]
例33 已知 ,在区间上求（其中将分为个小区间,，为中的最大值）.
解 由已知得:

.
（注释：由已知可以清楚的知道，该极限的求解可以转化为定积分,求函数在区间上的面积）.
在有的极限的计算中，需要利用到如下的一些结论、概念和方法：
（1）定积分中值定理：如果函数在积分区间上连续，则在上至少有一个点，使下列公式成立： ；
（2）设函数在区间上连续，取，如果极限 存在，则称此极限为函数在无穷区间上的反常积分，记作，即；
设在区间上连续且，求以曲线为曲线，底为的曲边梯形的面积，把这个面积表示为定积分： 的步骤是：
首先，用任意一组的点把区间分成长度为的个小区间，相应地把曲线梯形分成个窄曲边梯形，第个窄曲边梯形的面积设为，于是有；
其次，计算的近似值 ；
然后，求和，得的近似值 ；
最后，求极限，得.
例34 设函数连续，且，求极限 .
解 =
，

.
例35 计算反常积分: .
解 ===.
2.14 利用函数有界原理证明极限的存在性，利用数列的逆推求极限
（1）单调有界数列必有极限；
（2）单调递增且有上界的数列必有极限，单调递减且有下界的数列必有极限.[3]
例36 数列:，，，……．极限存在吗？
解 由已知可得单调递增且有界，由单调有界原理，知 存在．
又，
记，
即可证，得到 .
2.15 直接使用求导的定义求极限
当题目中告诉你时，的导数等于0的时候，就是暗示你一定要用导数定义：
（1）设函数在点的某个领域内有定义，当自变量在处取得增量（点仍在该领域内）时，相应的函数取得增量；如果与之比时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记作，即 ；
（2）在某点处可导的充分必要条件是左右导数都存在且相等.
例36 ，求.
解 .
例37 若函数有连续二阶导数且，，，
则 .
A:不存在 B：0 C：-1 D：-2
解 .
所以，答案为D.
例38 若，求.
解

.
2.16 利用连续性求极限[1]
例39 设在处有连续的一阶导数，且，求.
解 原式

.

2.17 数列极限转为函数极限求解
数列极限中是趋近，而不是趋近.面对数列极限时，先要转化成求趋近情况下的极限，当然趋近是趋近的一种情况而已，是必要条件.（还有数列极限的当然是趋于正无穷的）.[1]
例40 求.
解 令,则原式，
所以在时，与等价，因此，原式.
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