高等数学中求极限的方法小结.doc

高等数学中求极限的方法小结2.求极限的常用方法2.1 利用等价无穷小求极限这种方法的理论基础主要包括：(1)有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)非零无穷小与无穷大互为倒数.(4)等价无穷小代换(当求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小代替).3设、且；则：与是等价无穷小的充分必要条件为：常用等价无穷小：当变量时，例1 求解 ， 故，原式例2 求解 ,因此:原式例3 求 解 ，故:原式=例4 求解 ,故:原式例5 试确定常数与，使得当时，与为等价无穷小解 而左边，故 即 2.2 利用洛必达法则求极限利用这一法则的前提是：函数的导数要存在；为0比0型或者型等未定式类型.洛必达法则分为3种情况：（1）0比0，无穷比无穷的时候直接用.（2）0乘以无穷，无穷减去无穷（无穷大与无穷小成倒数关系时）通常无穷大都写成无穷小的倒数形式,通项之后，就能变成（1）中形式了.（3）0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方，对于（指数,幂函数）形式的方法主要是取指数的方法，这样就能把幂函数指数位置的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了.洛必达法则中还有一个定理：当时，函数及都趋于0；在点的某去心邻域内，的导数都存在且的导数不等于0；存在，那么 . 1求极限有很多种方法如洛必达法则，夹逼定理求极限的秘诀是：强行代入，先定型后定法. 3例6 求.分析 秘诀强行代入，先定型后定法.（此为强行代入以定型）.可能是比高阶的无穷小，倘若不这样，或 或. 解 ，由洛必达法则的.例7 求.解 .例8 求.解 原式.（二次使用洛必达法则）.例9 求.解 原式.例10 求.解 原式原式=.例11 求.解 原式.例12 求.解 原式.例13 求.解 原式“”型：例14 求.解 原式.“”型：例15 求 .解 ，故原式.“”型：例16 求.解 原式.“”型：例17 求.解 原式. “”型：例18 求.解 原式，而，因此：原式=1.2.3 泰勒公式（含有的次方的时候，尤其是含有正、余弦的加减的时候要特别注意）泰勒中值定理定理：如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶的导数，则对任一，有+(-)+(-)+(-)+()其中，这里是与之间的某个值. 1例19 利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式，求极限.解 由于公式的分母，我们只需将分子中的代入计算，于是 ，对上式做运算时，把两个高阶的无穷小的代数和还是记作.例20 ， ， .2.4 无穷小与有界函数的处理方法 面对复杂函数，尤其是正、余弦的复杂函数与其它函数相乘的时候，一定要注意这个方法.3 例21 求 .解 原式.2.5 夹逼定理主要介绍的是如何用之求数列极限，这个主要是看见极限中的通项是方式和的形式，对之放缩或扩大.1例22 求.解 ， ，根据夹逼定理 .2.6 等比等差数列公式（的绝对值要小于） 1例23 设，证等比数列1，的极限为0.证 任取，为使，而，使，即，当，当时，即，即，由定义知.因此,很显然有:.2.7 各项以拆分相加3将待求的和式子的各项拆分相加来消除中间的大多数，主要应用于数列极限,可以使用待定系数来拆分简化函数.例24 求.解 原式 =.2.8 求左右极限的方式例25 求函数，求时，的极限.解 ，因为，所以，当时，的极限不存在.例26 .解 ，因为，所以,原式=0.2.9 应用两个重要极限，例27 求.解 记 ，则原式= .例28 求.解 原式=.例29 求.解 原式=.2.10 根据增长速度 例30 求.解 原式=.例31 求.解 .同函数趋近于无穷的速度是不一样的，的次方快于（的阶乘）快于指数函数，快于幂函数，快于对数函数.所以增长速度： .故以后上述结论可直接在极限计算中运用.2.11 换元法例32 .解 令，则原式=2.12 利用极限的运算法则1利用如下的极限运算法则来求极限：(1) 如果那么若又有，则（2）如果存在，而为常数，则（3）如果存在，而为正整数，则（4）如果，而，则（5）设有数列和，如果那么，当且时，2.13 求数列极限的时候可以将其转化为定积分1例33 已知 ,在区间上求（其中将分为个小区间,，为中的最大值）.解 由已知得: .（注释：由已知可以清楚的知道，该极限的求解可以转化为定积分,求函数在区间上的面积）.在有的极限的计算中，需要利用到如下的一些结论、概念和方法：（1）定积分中值定理：如果函数在积分区间上连续，则在上至少有一个点，使下列公式成立： ；（2）设函数在区间上连续，取，如果极限 存在，则称此极限为函数在无穷区间上的反常积分，记作，即；设在区间上连续且，求以曲线为曲线，底为的曲边梯形的面积，把这个面积表示为定积分： 的步骤是：首先，用任意一组的点把区间分成长度为的个小区间，相应地把曲线梯形分成个窄曲边梯形，第个窄曲边梯形的面积设为，于是有；其次，计算的近似值 ；然后，求和，得的近似值 ；最后，求极限，得.例34 设函数连续，且，求极限 .解 =，.例35 计算反常积分: .解 =.2.14 利用函数有界原理证明极限的存在性，利用数列的逆推求极限（1）单调有界数列必有极限；（2）单调递增且有上界的数列必有极限，单调递减且有下界的数列必有极限.3例36 数列:，极限存在吗？解 由已知可得单调递增且有界，由单调有界原理，知 存在又，记，即可证，得到 .2.15 直接使用求导的定义求极限当题目中告诉你时，的导数等于0的时候，就是暗示你一定要用导数定义：（1）设函数在点的某个领域内有定义，当自变量在处取得增量（点仍在该领域内）时，相应的函数取得增量；如果与之比时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记作，即 ；（2）在某点处可导的充分必要条件是左右导数都存在且相等.例36 ，求.解 .例37 若函数有连续二阶导数且， 则 .A:不存在 B：0 C：-1 D：-2 解 .所以，答案为D.例38 若，求.解 .2.16 利用连续性求极限1例39 设在处有连续的一阶导数，且，求.解 原式 .2.17 数列极限转为函数极限求解数列极限中是趋近，而不是趋近.面对数列极限时，先要转化成求趋近情况下的极限，当然趋近是趋近的一种情况而已，是必要条件.（还有数列极限的当然是趋于正无穷的）.1例40 求.解 令,则原式，所以在时，与等价，因此，原式.29