直线系、圆系方程.pdf

直线系方程直线系方程1、过定点、过定点的的直线系方程在解题中的应用直线系方程在解题中的应用过定点（0 x，0y）的直线系方程：00()()0A xxB yy（A,B 不同时为 0）.例 1：求过点(14)P ，且与圆22(2)(3)1xy相切的直线方程分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法.解析：设所求直线的方程为(1)(4)0A xB y（其中AB，不全为零），则整理有40AxByAB，直线 l 与圆相切，圆心(2 3)C，到直线 l 的距离等于半径 1，故222341ABABAB，整理，得(43)0AAB，即0A（这时0B），或304AB故所求直线 l 的方程为4y 或34130 xy点评：对求过定点(0 x,0y)的直线方程问题，常用过定点直线系法，即设过该定点的直线系方程为:00()()0A xxB yy，注意此方程表示的是过点00()P xy，的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象2、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用过直线l：1110AxB yC（11,A B不同时为 0）与m：2220A xB yC（22,A B不同时为 0）的交点的直线系方程为：111222()0AxB yCA xB yC（R，为参数）.例 2：求过直线：210 xy 与直线：210 xy 的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.分析：本题是过两直线交点的直线系问题，可用过交点直线系求解.解析：设所求直线方程为：21(21)0 xyxy，当直线过原点时，则1=0，则=1，此时所求直线方程为：20 xy；当所求直线不过原点时，令x=0，解得y=12，令y=0，解得x=121，由题意得，12=121，解得13，此时，所求直线方程为：5540 xy.综上所述，所求直线方程为：20 xy或5540 xy.3、垂直直线系方程在解题中的应用垂直直线系方程在解题中的应用与直线：0AxByC（A,B 不同时为 0）垂直的直线系方程为：0BxAyC.例 3：已知直线l是曲线21yx的一条切线且与直线250 xy垂直，求直线l的方程.分析：本题是已知两直线垂直和其中一条直线方程求另一直线方程问题，可用垂直直线系法.解析：设l：20 xyc，由2120yxxyc消去y得，2210 xxc ，由l与曲线21yx相切得，=224(1)c=0，解得c=0，l：20 xy.点评：对已知两直线垂直和其中一条直线方程求另一直线方程问题，常用垂直直线系法，可以简化计算.本题设出切点坐标，用导数求出切线斜率，利用切线与已知直线垂直，列出关于切点横坐标的关系式，求出切点横坐标，写出直线方程.4、平行直线系方程在解题中的应用平行直线系方程在解题中的应用与直线：0AxByC（A,B 不同时为 0）平行的直线系方程为：0AxByC（CC）.例 4：直线 l 平行于两平行直线 3x+4y10=0 和 3x+4y35=0，且分这两平行线间的距离为2：3，求直线 l 的方程.解：设 l：3x+4y+m=0(35 m 10)，35|10|25|10|mm或由，解得 m=20 或 m=-25，故所求直线 l 的方程为：3x+4y20=0 或 3x+4y25=0.点评：对于已知两直线平行或由一条直线方程求另一直线方程问题，常用平行直线系法，以简化计算。5、求直线系方程过定点问题、求直线系方程过定点问题例 3 证明：直线10mxym(m是参数且mR)过定点，并求出定点坐标.分析：本题是证明直线系过定点问题，可用恒等式法和特殊直线法.解析：（恒等式法）直线方程化为:(1)10 xmy,mR,1010 xy ，解得，1x，1y，直线10mxym(m是参数且mR)过定点（1,1）.（特殊直线法）取m=0，m=1 得，1y，20 xy，联立解得，1x，1y，将（1,1）代入10mxym 检验满足方程，直线10mxym(m是参数且mR)过定点（1,1）.点评：对证明直线系过定点问题，常用方法有恒等式法和特殊直线法，恒等式法就是将直线方程化为关于参数的恒等式形式，利用参数属于 R，则恒等式个系数为 0，列出关于 x，y 的方程组，通过解方程组，求出定点坐标;特殊直线法，去两个特殊参数值，得到两条特殊直线，通过接着两条特殊直线的交点坐标，并代入原直线系方程检验，即得定点.圆系方程圆系方程一、常见的圆系方程有如下几种：一、常见的圆系方程有如下几种：1、以、以(,)a b为圆心的同心圆系方程为圆心的同心圆系方程：222()()(0)xayb与圆22yx DxEyF0 同心的圆系方程为：22yx DxEy0.2、过直线过直线AxByC0 与圆与圆22yx DxEyF0 交点的圆系方程为交点的圆系方程为：22yx DxEyF(AxByC)0（R），若圆 C 与直线 l 切于点 P，则方程表示与直线 l：AxByC=0 相切于 P 点的圆系方程3、过两圆、过两圆1C:22yx 111FyExD0，2C:22yx 222FyExD0 交点的圆系方程为：交点的圆系方程为：22yx 111FyExD（22yx 222FyExD）0（-，此圆系不含2C:22yx 222FyExD0）特别地：当1 时，上述方程为根轴方程两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示内公切线方程；两圆相离时，表示到两圆切线长相等的直线方程。注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆2C，可等价转化为过圆1C和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:22111121212()()()0 xyD xE yFDD xEEyFF.4、过一过一个个定点的圆系定点的圆系方程方程过定点 P(x0，y0)的圆系方程为：(xx0)2(yy0)2D(xx0)E(yy0)=05、过两定点的圆系过两定点的圆系方程方程过两已知点 A(x1，y1)，B(x2，y2)的圆系方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)(xx1)(y2y1)(yy1)(x2x1)=0，方程的前半部分是以 AB 为直径的圆的方程，后半部分是直线 AB 的两点式，当=0 时，方程为以 AB 为直径的圆的方程6、与已知圆切于圆上一定点的圆系与已知圆切于圆上一定点的圆系方程方程与圆 C：x2y2DxEyF=0 切于点 P(x0，y0)的圆系方程为(xx0)2(yy0)2(x2y2DxEyF)=0(1)，当=1 时，方程表示过 P(x0，y0)的切线方程二、圆系方程在解题中的应用：二、圆系方程在解题中的应用：1、利用圆系方程求圆的方程：、利用圆系方程求圆的方程：例 1(1)：求经过两圆 x2+y2+6x-4=0 和 x2+y2+6y-28=0 的交点，并且圆心在直线 x-y-4=0 上的圆的方程.例 1(2)：求经过两圆22yx+3x-y-20 和2233yx 2xy10 交点和坐标原点的圆的方程解：由题可设所求圆的方程为：(22yx 3xy2)(2233yx 2xy1)0,（0，0）在所求的圆上，有20从而2,故所求圆的方程为：0)1233(2)23(2222yxyxyxyx,即:2277yx 7xy0.)0,2(),3,1(02024:22的圆的方程且过切于求与圆练习BAyxyx.02018477,78)0,2(0)1543(202401543)3,1(2222yxyxyxyxyxyxA所以所求圆方程为得代入，。与已知圆构造圆系的圆的切线为解：过2、利用圆系方程求最小面积的圆的方程：例 2（1）：求过两圆225xy和22(1)(1)16xy的交点且面积最小的圆的方程.分析：本题若先联立方程求交点，再设所求圆方程，寻求各变量关系，求半径最值，虽然可行，但运算量较大。自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行。为了避免讨论，先求出两圆公共弦所在直线方程。则问题可转化为求过两圆公共弦与圆的交点且面积最小的圆的问题。解：圆225xy和22(1)(1)16xy的公共弦方程为22110 xy，过直线22110 xy与圆225xy的交点的圆系方程为：2225(2211)0 xyxy，即2222(1125)0 xyxy依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，又圆心(,)必在公共弦所在直线22110 xy上，即22110，则114，代回圆系方程得所求圆方程为：22111179()()448xy.例 2（2）：求经过直线l：2xy40 与圆 C：22yx 2x4y10 的交点且面积最小的圆的方程解：设圆的方程为：22yx 2x4y1（2xy4）0，即22yx yx)4()1(2（14）0，则54)58(45)41(4)4()1(4412222r，当58时，2r最小，从而圆的面积最小，故所求圆的方程为：2255yx 26x12y370.练习：1求经过圆 x2+y2+8x-6y+21=0 与直线 x-y+7=0 的两个交点且过原点的圆的方程.（常数项为零）2求经过圆 x2+y2+8x-6y+21=0 与直线 x-y+5=0 的两个交点且圆心在 x 轴上的圆的方程.（圆心的纵坐标为零）3求经过圆 x2+y2+8x-6y+21=0 与直线 x-y+5=0 的两个交点且面积最小的圆方程.（半径最小或圆心在直线上）4 求经过圆 x2+y2+8x-6y+21=0 与直线 x-y+5=0 的两个交点且与 x 轴相切的圆的方程；并求出切点坐标.（圆心到 x 轴的距离等于半径）3、利用圆系方程求参数的值：、利用圆系方程求参数的值：例3：已知圆2260 xyxym与直线230 xy相交于P，Q两点，O为坐标原点，若OPOQ，求实数 m 的值。分析：此题最易想到设出1122(,),(,)P x yQ xy，由OPOQ得到12120 x xy y，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于 m 的方程，最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系OPOQ，不难得出 O 在以 PQ 为直径的圆上，而 P，Q 刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。解：过直线230 xy与圆2260 xyxym的交点的圆系方程为：226(23)0 xyxymxy，即22(1)2(3)30 xyxym.依题意，O 在以 PQ 为直径的圆上，则圆心1(,3)2显然在直线230 xy上，则12(3)302，解之可得1又(0,0)O满足方程，则30m，故3m。4、利用圆系方程判断直线与圆的位置关系：、利用圆系方程判断直线与圆的位置关系：例 4：圆系22yx 2kx（4k10）y10k200（kR，k-）中，任意两个圆的位置关系如何？解：圆系方程可化为：22yx 10y20k（2x4y10）0与k无关020100104222yyxyx即5)5(05222yxyx易知圆心（0，-5）到直线x2y50 的距离恰等于圆22)5(yx5 的半径故直线x2y50 与圆22)5(yx5 相切，即上述方程组有且只有一个解，从而圆系方程所表示的任意两个圆有且只有一个公共点，故它们的关系是外切或内切总结：在求解过直线与圆，圆与圆交点的圆有关问题时，若能巧妙使用圆系方程，往往能优化解题过程，减少运算量，收到事半功倍的效果。5、过两点的圆系方程的使用、过两点的圆系方程的使用例 5：求过点 A(5，2)和 B(3，2)且圆心在直线 2xy=3 上的圆的方程.解：设所求圆的方程为：(x5)(x3)(y2)(y+2)(x5)(22)(y2)(35)=0即(x5)(x3)(y2)(y+2)-4(x5)+2(y2)=0即 x2(8+4)xy22y11+16=0，求出圆心(4+2,-)代入直线 2x-y=3，解得=-1,所以圆的方程为：x2+y2-4x-2y-5=0.一、巧用过两圆交点的曲线系方程求圆方程一、巧用过两圆交点的曲线系方程求圆方程例 1：求过圆：2x+2y2x+2y+1=0 与圆：2x+2y+4x2y4=0 的交点，圆心在直线：250 xy上的圆的方程.分析：本题是求过两圆的交点的圆的方程问题，用过两圆的交点的圆系方程求解.解析：设所求圆的方程为：2x+2y2x+2y+1+(2x+2y+4x2y4)=0(1).整理得22(1)(1)(42)2(1)14xyxy=0，所以所求圆的圆心为121(,)11，由已知知所求圆的圆心在直线：250 xy上，所以12125110，解得，=8，代入圆系方程整理得，所以，所求圆的方程为223418330777xyxy.点评：对过两圆交点的圆的问题，用过两圆的交点的圆系方程求解，可以优化解题过程，注意过交点的圆系方程表示的圆包括哪一个圆不包括哪一个圆，且参数不等于1这一条件。二、巧用过两圆交点的曲线系方程求直线方程二、巧用过两圆交点的曲线系方程求直线方程例 2：已知圆 O：222410 xyxy 和圆外一点 A（3，4），过点 A 作圆 O 的切线，切点分别为 C、D，求过切点 C、D 的直线方程.分析：本题是求过切点的直线方程，由切线性质知，切点在以线段 AO 为直径的圆上，故直线 CD 是以线段 AO 为直径的圆与圆 O 的公共弦所在的直线方程，故可用过两圆交点的曲线系方程求此直线方程.解析：由切线性质知，切点 C、D 在以线段 AO 为直径的圆上，由题知，O(1,2)，|AO|=22(3 1)(42)=2 10，线段 AO 的中点为（2，1），以线段 AO 为直径的圆的方程为，22(2)(1)10 xy，即224250 xyxy，圆 O 的方程与以 AO 为直径的圆的方程相减整理得：x+3y+3=0，直线 CD 的方程为x+3y+3=0.点评：对过圆切点的直线方程问题，可通过构造圆，利用过两圆交点的曲线系方程求直线方程，注意过两圆交点的曲线系方程参数为何值时表示圆，参数为何值时表示直线.例如：求与圆 x2+y24x2y20=0 切于 A(1,3)，且过 B(2,0)的圆的方程.解：过 A(1,3)的圆的切线为：3x+4y+15=0，与已知圆构造圆系：x2+y24x2y20+(3x+4y+15)=0曲线过 B(2,0)，所求的方程为：7x2+7y24x+18y20=0.例 2：平面上有两个圆，它们的方程分别是 x2+y2=16 和 x2+y26x+8y+24=0，求这两个圆的内公切线方程.解：x2+y26x+8y+24=0，可化为(x3)2+(y+4)2=1，这两圆是外切的，(x2+y26x+8y+24)(x2+y216)=03x4y20=0，所求的两圆内公切线的方程为：3x4y20=0.