数列的概念及简单表示法[高考数学总复习][高中数学课时训].doc

数列的概念及简单表示法

1.下列对数列的理解有四种：
①数列可以看成一个定义在N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）上的函数；
②数列的项数是有限的；
③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；
④数列的通项公式是惟一的.
其中说法正确的是 （填序号）.
答案 ①③
2.设an=-n2+10n+11，则数列{an}从首项到第 项的和最大.
答案 10或11
3.(2008·安徽文，15)在数列{an}中,an=4n-,a1+a2+…+an=an2+bn,n∈N*,其中a、b为常数，则ab= .
答案 -1
4.已知数列{an}的通项公式是an=则a2·a3= .
答案 20
5.（2008· 北京理，6）已知数列{an}对任意的p,q∈N*满足ap+q=ap+aq且a2=-6,那么a10= .
答案 -30

例1 写出下面各数列的一个通项公式：
（1）3，5，7，9，…；
（2），，，，，…；
（3）-1，，-，，-，，…；
（4），-1，，-，，-，…；
（5）3，33，333，3 333，….
解 （1）各项减去1后为正偶数，
所以an=2n+1.
（2）每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21，22，23，24，…，所以an=.
（3）奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子（-1）n；各项绝对值的分母组成数列1，2，3，4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2-1，偶数项为2+1，
所以an=（-1）n·.
也可写为an=.
（4）偶数项为负，奇数项为正，故通项公式必含因子（-1）n+1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7，9，11，13组成，而分子则是32+1，42+1，52+1，62+1，按照这样的规律第1、2两项可改写为，-，
所以an=(-1)n+1·.
（5）将数列各项改写为，，，，…，分母都是3，而分子分别是10-1,102-1,103-1,104-1,…,
所以an=(10n-1).
例2 已知数列的通项公式为an=.
（1）0.98是不是它的项？
（2）判断此数列的增减性.
解 （1）假设0.98是它的项，则存在正整数n,满足=0.98，∴n2=0.98n2+0.98.
∵n=7时成立，∴0.98是它的项.
（2）an+1-an=
=＞0.
∴此数列为递增数列.
例3 （14分）已知数列{an}的前n项和Sn满足an+2SnSn-1=0 (n≥2),a1=,求an.
解 ∵当n≥2时，an=Sn-Sn-1,
∴Sn-Sn-1+2SnSn-1=0，
即-=2， 4分
∴数列是公差为2的等差数列. 6分
又S1=a1=，∴=2，
∴=2+（n-1）·2=2n，
∴Sn=. 10分
∴当n≥2时，an=-2SnSn-1=-2··
=-， 12分
∴an=. 14分

1.根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：
（1），，，，，…
（2），2，，8，，…
（3）5，55，555，5 555，55 555，…
（4）5，0，-5，0，5，0，-5，0，…
（5）1，3，7，15，31，…
解（1）这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解成1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，经过组合，则所求数列的通项公式
an=.
（2）数列的项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察：，，，，，…，
可得通项公式an=.
（3）联想=10n-1,
则an===(10n-1),
即an= (10n-1).
（4）数列的各项都具有周期性，联想基本数列1，0，-1，0，…，
则an=5sin.
（5）∵1=2-1，3=22-1，7=23-1，…
∴an=2n-1
故所求数列的通项公式为an=2n-1.
2.已知函数f（x）=2x-2-x，数列{an}满足f（log2an）=-2n.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：数列{an}是递减数列.
（1）解 ∵f（x）=2x-2-x，
∴f（log2an）=2-2=-2n，
即an-=-2n.
∴a+2n·an-1=0.
∴an=，又an＞0，∴an=-n.
（2）证明 ∵an＞0，且an=-n,
∴=
=＜1.
∴an+1＜an.即{an}为递减数列.
3.已知在正项数列{an}中，Sn表示前n项和且2=an+1，求an.
解 ∵2=an+1,
∴Sn=(a+2an+1),
∴Sn-1=(a+2an-1+1),
∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1
=［（a-a）+2（an-an-1）］，
整理可得：（an+an-1）（an-an-1-2）=0，
∵an＞0，∴an-an-1=2，
当n=1时，a1=1,
∴{an}是以1为首项，2为公差的等差数列.
∴an=2n-1 (n∈N*).

一、填空题
1.数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，…的第100项是 .
答案 14
2.数列{an}中，a1=1,对于所有的n≥2，n∈N*都有a1·a2·a3·…·an=n2，则a3+a5= .
答案
3.数列-1,，-，，…的一个通项公式是 .
答案 an=(-1)n
4.下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖 块.（用含n的代数式表示）

答案 4n+8
5.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n，第k项满足5＜ak＜8，则k= .
答案 8
6.若数列{an}的通项公式an=，记f（n）=2(1-a1)(1-a2)…(1-an)，试通过计算f(1),f(2),f(3)的值，推测出f(n)= (用含n的代数式表示）.
答案
7.（2008·沈阳模拟）数列{an}满足an+1=
a1=，则数列的第2 008项为 .
答案
8.已知数列{an}中,a1=1,(n+1)an=nan+1,则数列{an}的一个通项公式an= .
答案 n
二、解答题
9.已知数列{an}的前n项和为Sn，满足log2(1+Sn)=n+1,求数列的通项公式.
解 Sn满足log2(1+Sn)=n+1,∴1+Sn=2n+1,
∴Sn=2n+1-1.
∴a1=3,an=Sn-Sn-1=(2n+1-1)-(2n-1)=2n (n≥2),
∴{an}的通项公式为an=
10.已知数列{an}中，a1=1,前n项和为Sn，对任意的n≥2,3Sn-4,an,2-总成等差数列.
（1）求a2、a3、a4的值；
（2）求通项公式an.
解 （1）当n≥2时，3Sn-4,an,2-成等差数列，
∴2an=3Sn-4+2-Sn-1，∴an=3Sn-4（n≥2）.
由a1=1,得a2=3(1+a2)-4,
∴a2=,a3=3-4,
∴a3=-,a4=3-4,∴a4=.
∴a2=，a3=-，a4=.
（2）∵当n≥2时，an=3Sn-4,∴3Sn=an+4,
∴,可得:3an+1=an+1-an,
∴=-，∴a2，a3，…，an成等比数列，
∴an=a2·qn-2=·=-，
∴an=.
11.在数列{an}中，a1=，an=1-(n≥2,n∈N*)，数列{an}的前n项和为Sn.
（1）求证：an+3=an;(2）求a2 008.
（1）证明 an+3=1-=1-
=1-=
=1-=1-
=1-=1-(1-an)=an.
∴an+3=an.
（2）解 由（1）知数列{an}的周期T=3，
a1=，a2=-1，a3=2.
又∵a2 008=a3×669+1=a1=.∴a2 008=.
12.已知二次函数f(x)=x2-ax+a (x∈R)同时满足：①不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0﹤x1﹤x2,使得不等式f(x1)＞f(x2)成立.设数列{an}的前n项和Sn=f（n）.
（1）求函数f(x)的表达式；
（2）求数列{an}的通项公式.
解（1）∵f（x）≤0的解集有且只有一个元素，
∴Δ=a2-4a=0a=0或a=4，
当a=4时，函数f(x)=x2-4x+4在（0，2）上递减，
故存在0＜x1＜x2,使得不等式f(x1)＞f(x2)成立，
当a=0时，函数f(x)=x2在（0,+∞）上递增，
故不存在0﹤x1﹤x2,使得不等式f(x1)＞f(x2)成立，
综上，得a=4,f(x)=x2-4x+4.
（2）由（1）可知Sn=n2-4n+4,
当n=1时，a1=S1=1,
当n≥2时，an=Sn-Sn-1
=(n2-4n+4)-［(n-1)2-4(n-1)+4］=2n-5,
∴an=.