数列的概念及简单表示法[高考数学总复习][高中数学课时训].doc

数列的概念及简单表示法1.下列对数列的理解有四种：数列可以看成一个定义在N*（或它的有限子集1，2，3，n）上的函数；数列的项数是有限的；数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；数列的通项公式是惟一的.其中说法正确的是 （填序号）.答案 2.设an=-n2+10n+11，则数列an从首项到第 项的和最大.答案 10或113.(2008安徽文，15)在数列an中,an=4n-,a1+a2+an=an2+bn,nN*,其中a、b为常数，则ab= .答案 -14.已知数列an的通项公式是an=则a2a3= .答案 205.（2008 北京理，6）已知数列an对任意的p,qN*满足ap+q=ap+aq且a2=-6,那么a10= .答案 -30例1 写出下面各数列的一个通项公式：（1）3，5，7，9，；（2），；（3）-1，-，-，；（4），-1，-，-，；（5）3，33，333，3 333，.解 （1）各项减去1后为正偶数，所以an=2n+1.（2）每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21，22，23，24，所以an=.（3）奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子（-1）n；各项绝对值的分母组成数列1，2，3，4，；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2-1，偶数项为2+1，所以an=（-1）n.也可写为an=.（4）偶数项为负，奇数项为正，故通项公式必含因子（-1）n+1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7，9，11，13组成，而分子则是32+1，42+1，52+1，62+1，按照这样的规律第1、2两项可改写为，-，所以an=(-1)n+1.（5）将数列各项改写为，分母都是3，而分子分别是10-1,102-1,103-1,104-1,所以an=(10n-1).例2 已知数列的通项公式为an=.（1）0.98是不是它的项？（2）判断此数列的增减性.解 （1）假设0.98是它的项，则存在正整数n,满足=0.98，n2=0.98n2+0.98.n=7时成立，0.98是它的项.（2）an+1-an=0. 此数列为递增数列.例3 （14分）已知数列an的前n项和Sn满足an+2SnSn-1=0 (n2),a1=,求an.解 当n2时，an=Sn-Sn-1,Sn-Sn-1+2SnSn-1=0，即-=2， 4分数列是公差为2的等差数列. 6分又S1=a1=，=2，=2+（n-1）2=2n，Sn=. 10分当n2时，an=-2SnSn-1=-2=-， 12分an=. 14分1.根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：（1），（2），2，8，（3）5，55，555，5 555，55 555，（4）5，0，-5，0，5，0，-5，0，（5）1，3，7，15，31，解（1）这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解成13，35，57，79，911，每一项都是两个相邻奇数的乘积，经过组合，则所求数列的通项公式an=.（2）数列的项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察：，可得通项公式an=.（3）联想=10n-1,则an=(10n-1),即an= (10n-1).（4）数列的各项都具有周期性，联想基本数列1，0，-1，0，则an=5sin.（5）1=2-1，3=22-1，7=23-1，an=2n-1故所求数列的通项公式为an=2n-1.2.已知函数f（x）=2x-2-x，数列an满足f（log2an）=-2n.（1）求数列an的通项公式；（2）求证：数列an是递减数列.（1）解 f（x）=2x-2-x，f（log2an）=2-2=-2n，即an-=-2n.a+2nan-1=0.an=，又an0，an=-n.（2）证明 an0，且an=-n,=1.an+1an.即an为递减数列.3.已知在正项数列an中，Sn表示前n项和且2=an+1，求an.解 2=an+1,Sn=(a+2an+1),Sn-1=(a+2an-1+1),当n2时，an=Sn-Sn-1=（a-a）+2（an-an-1），整理可得：（an+an-1）（an-an-1-2）=0，an0，an-an-1=2，当n=1时，a1=1,an是以1为首项，2为公差的等差数列. an=2n-1 (nN*).一、填空题1.数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，的第100项是 .答案 142.数列an中，a1=1,对于所有的n2，nN*都有a1a2a3an=n2，则a3+a5= .答案 3.数列-1,，-，的一个通项公式是 .答案 an=(-1)n4.下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖 块.（用含n的代数式表示）答案 4n+85.已知数列an的前n项和Sn=n2-9n，第k项满足5ak8，则k= .答案 86.若数列an的通项公式an=，记f（n）=2(1-a1)(1-a2)(1-an)，试通过计算f(1),f(2),f(3)的值，推测出f(n)= (用含n的代数式表示）.答案 7.（2008沈阳模拟）数列an满足an+1=a1=，则数列的第2 008项为 .答案 8.已知数列an中,a1=1,(n+1)an=nan+1,则数列an的一个通项公式an= .答案 n二、解答题9.已知数列an的前n项和为Sn，满足log2(1+Sn)=n+1,求数列的通项公式.解 Sn满足log2(1+Sn)=n+1,1+Sn=2n+1,Sn=2n+1-1.a1=3,an=Sn-Sn-1=(2n+1-1)-(2n-1)=2n (n2),an的通项公式为an=10.已知数列an中，a1=1,前n项和为Sn，对任意的n2,3Sn-4,an,2-总成等差数列.（1）求a2、a3、a4的值；（2）求通项公式an.解 （1）当n2时，3Sn-4,an,2-成等差数列，2an=3Sn-4+2-Sn-1，an=3Sn-4（n2）.由a1=1,得a2=3(1+a2)-4,a2=,a3=3-4,a3=-,a4=3-4,a4=.a2=，a3=-，a4=.（2）当n2时，an=3Sn-4,3Sn=an+4,可得:3an+1=an+1-an,=-，a2，a3，an成等比数列，an=a2qn-2=-，an=.11.在数列an中，a1=，an=1-(n2,nN*)，数列an的前n项和为Sn.（1）求证：an+3=an;(2）求a2 008.（1）证明 an+3=1-=1-=1-=1-=1-=1-=1-(1-an)=an.an+3=an.（2）解 由（1）知数列an的周期T=3，a1=，a2=-1，a3=2.又a2 008=a3669+1=a1=.a2 008=.12.已知二次函数f(x)=x2-ax+a (xR)同时满足：不等式f(x)0的解集有且只有一个元素；在定义域内存在0x1x2,使得不等式f(x1)f(x2)成立.设数列an的前n项和Sn=f（n）.（1）求函数f(x)的表达式；（2）求数列an的通项公式.解（1）f（x）0的解集有且只有一个元素，=a2-4a=0a=0或a=4，当a=4时，函数f(x)=x2-4x+4在（0，2）上递减，故存在0x1x2,使得不等式f(x1)f(x2)成立，当a=0时，函数f(x)=x2在（0,+）上递增，故不存在0x1x2,使得不等式f(x1)f(x2)成立，综上，得a=4,f(x)=x2-4x+4.（2）由（1）可知Sn=n2-4n+4,当n=1时，a1=S1=1,当n2时，an=Sn-Sn-1=(n2-4n+4)-(n-1)2-4(n-1)+4=2n-5,an=.