2023年高考新课标I卷第9题的探究与备考启示.pdf

2024 年第 2 期(上半月刊)中学数学研究152023 年高考新课标 I 卷第 9 题的探究与备考启示广东省佛山市乐从中学(528315)林国红摘要文章对 2023 年高考新课标 卷的第 9 题进行解答,对选项 C 进行深入探究,给出其中一个相关命题的严格证明,并对试题进行探源,展示近三年的相关考题,得到一些备考启示.关键词新高考;样本的数字特征;平移不变性;链接高考;备考启示一、试题呈现题目(2023 年高考新课标 卷第 9 题)有一组样本数据x1,x2,x6,其中 x1是最小值,x6是最大值,则().A.x2,x3,x4,x5的平均数等于 x1,x2,x6的平均数B.x2,x3,x4,x5的中位数等于 x1,x2,x6的中位数C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于的标准差D.x2,x3,x4,x5的极差不大于 x1,x2,x6的极差本题是多项选择题,试题突出基础性要求,考查样本数据的基本数字特征,考查考生对样本的平均数、标准差、中位数、极差概念的理解和掌握,不仅注重试题的基础性,而且使基础知识的考查和能力的考查有机结合,较好地体现了统计中数字特征的核心内容和基本思想方法的考查,对于考生运用数学知识,寻找合理的解题策略以及推理论证和运算能力有较高的要求.二、试题的解答解析对于选项 A:设 x2,x3,x4,x5的平均数为 m,x1,x2,x6的平均数为 n,则n m=x1+x2+x3+x4+x5+x66x2+x3+x4+x54=2(x1+x6)(x2+x3+x4+x5)12.因为不能确定 2(x1+x6),x2+x3+x4+x5的大小关系,所以无法判断 m,n 的大小.例如:1,2,3,4,5,6,可得m=n=3.5;又如 1,1,1,1,1,7,可得 m=1,n=2;再如1,2,2,2,2,2,可得 m=2,n=116;故 A 错误.对于选项 B:不妨设 x16 x26 x36 x46 x56 x6,可知 x2,x3,x4,x5的中位数等于 x1,x2,x6的中位数均为x3+x42,故 B 正确.对 于 选 项 C:因 为 x1是 最 小 值,x6是 最 大 值,则x2,x3,x4,x5的波动性不大于 x1,x2,x6的波动性,即 x2,x3,x4,x5的标准差不大于 x1,x2,x6的标准差.例 如:对 正 整 数 2,4,6,8,10,12,则 其 平 均 数 n=16(2+4+6+8+10+12)=7,标准差s1=16(27)2+(47)2+(67)2+(87)2+(107)2+(127)2=1053.对于 4,6,8,10,则平均数 m=14(4+6+8+10)=7,标准差s2=14(4 7)2+(6 7)2+(8 7)2+(10 7)2=5显然10535,即 s1 s2;故 C 错误.对于选项 D:不妨设 x16 x26 x36 x46 x56 x6,则x6x1 x5x2,当且仅当 x1=x2,x5=x6时,等号成立,故 D 正确.故选:B,D.评注本题根据平均数、中位数、标准差、极差的定义逐项分析判断即可.另外,作为多项选择题也可以用排除法作答:取 x1,x2,x6为 1,1,1,1,1,7,则 x2,x3,x4,x5的平均数为 1,x1,x2,x6的平均数为 2,故 A 错误;x2,x3,x4,x5的标准差为 0,x1,x2,x6的标准差显然大于 0,故 C 错误,所以只能选 BD.三、选项 C 的探究选项 C 表明:样本数据 x1,x2,x6去掉最大值和最小值后,标准差不大于原来的标准差.这个事实看起来自然,但是要怎么严格证明呢?考虑一般 n 个数据的情形:设 x16 x26 6 xn(n 3),且 x1,x2,xn(n 3)的 平 均 数 为 x,记x=x2+x3+xn1n 2,s21=1nnk=1(xk x)2,s22=1n 2n1k=2(xk x)2,我们需要证明命题:s226 s21.证法 1 为证明上述命题,先给出引理 1 与引理 2:引理 1 设 x1,x2,xn的方差为 s2x,y1,y2,yn的方差为 s2y,其中 yi=xi+b(i=1,2,n),b 为非零常数,则 s2x=s2y.证明 设 x1,x2,xn的平均数为 x,则 x=1nni=1xi,s2x=1nni=1(xi x)2.因为 yi=xi+b(i=1,2,n),所 以 y1,y2,yn的 平 均 数 为 y=1nni=1(xi+b)=16中学数学研究2024 年第 2 期(上半月刊)1nni=1xi+b=x+b.从而s2y=1nni=1(xi+b)(x+b)2=1nni=1(xi x)2=s2x.故引理 1 得证.评注 引理 1 实际上是教材(人教 A 版 2019 年版)必修第二册 213 页练习题的第 2 题,此性质称为方差的平移不变性.引理 2设 x1,x2,xn的平均数为 x,方差为 s2,x21,x22,x2n的平均数为 m,则 s2=m x2.证明 因为 m=1n(nk=1x2k),所以s2=1nnk=1(xk x)2=1n(nk=1x2k)nx2=1n(nk=1x2k)x2=m x2.故引理 2 得证.下面证明命题:s226 s21.由 x16 x26 6 xn(n 3),根 据 方 差 的平 移 不 变 性(引 理 1),不 妨 设 最 大 值 xn=A,最 小值 x1=A(A 0).记 x=x2+x3+xn1n 2,y=x22+x23+x2n1n 2,s22=1n 2n1k=2(xk x)2,由引理 2,得 s22=y x2.因为 x1,x2,xn的平均数为(n 2)x+A+(A)n=(n 2)xn,x21,x22,x2n的平均数为(n 2)y+2A2n,由引理 2,可得 x1,x2,xn的方差s21=(n 2)y+2A2n(n 2)xn2.因为 A 是最大值,所以A2 y,且 n 3.于是s21 s22=(n 2)y+2A2n(n 2)xn2(y x2)=2(A2 y)n+4(n 1)x2n2 0所以 s226 s21,命题得证.证法 2 为证明上述命题,先给出引理 3:引理 3对于 x16 x26 6 xn(n 3),且x1+x2+xn=0,则nk=1x2k6n2(x21+x2n).证明 因为x16 x26 6 xn,且x1+x2+xn=0,当 x1=xn时,则 x1=x2=xn=0,引理显然成立.当 x1=xn时,则必有 x1 0 3),则 x=x1+x2+xnn=1nnk=1xk,设 yi=xi x=xi1nnk=1xk(i=1,2,n),则有 y16 y26 6 yn(n 3),且y1+y2+yn=nk=1yk=nk=1xk nx=nk=1xk n 1nnk=1xk=0.记 y=y1+y2+ynn=1nnk=1yk=0,y=y2+y3+yn1n 2,s2y1=1nnk=1(yk y)2,s2y2=1n 2n1k=2(yk y)2.由引理 3,可得 y21+y2n2nnk=1y2k.于是s2y2=1n 2n1k=2(yk y)2=1n 2(n1k=2y2k)(n 2)y2=1n 2n1k=2y2k y261n 2n1k=2y2k=1n 2(nk=1y2k)(y21+y2n)61n 2(nk=1y2k)2nnk=1y2k=1n 2n 2nnk=1y2k=1nnk=1y2k=1nnk=1(yk y)2=s2y1.又根据方差的平移不变性(引理 1),可得 s21=s2y1,s22=s2y2.所以 s226 s21.当 n 为奇数时,取等条件为所有数均相等;当n 为偶数时,取等条件为一半数为最大数且另一半数为最小数.综上所述,命题得证.评 注当 x16 x26 6 x6时,由 命 题 可 知,x2,x3,x4,x5的 方 差 不 大 于 x1,x2,x6的 方 差,即x2,x3,x4,x5的标准差不大于 x1,x2,x6的标准差(取等条件为一半数为最大数且另一半数为最小数),所以原试题的选项 C 是错误的.普通高中数学课程标准(2017 年版,2020 年修订)中2024 年第 2 期(上半月刊)中学数学研究17多次出现“情境”一词,中国高考评价体系 也规定了高考的考查载体情境,并以此承载考查内容,实现考查要求.数学情境是高考评价体系中最重要的创新之一,是实现“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”的考查目标的载体.数学试题情境一般取材于学生生活中的真实问题,贴近学生实际,具有现实意义,具备研究价值.本题的情境是学生所熟悉的,源于比赛或评比中常用的“去掉一个最高分,去掉一个最低分”的计分方式,引导考生从数学上思考这种计分方式的合理性.对于选项 C,去掉最高分和最低分后,新样本的标准差总是不大于原标本的标准差,且在很多情形下,小于原样本的标准差,这符合考生的直观判断,也说明了在比赛打分去掉最高分和最低分后,总的来说可能降低数据的分散程度和波动性,从而提高评分的合理性.四、追本溯源问“题”那得清如许,唯有源头活水来.题源(2021 年全国新高考 卷 9)有一组样本数据x1,x2,xn,由这组数据得到新样本数据 y1,y2,yn,其中 yi=xi+c(i=1,2,n),c 为非零常数,则().A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差相同可以看出今年考题的“母题”来源于上述高考题,两题的考查内容基本是一致的,只是将原考题进行适当的改编,赋于更丰富的知识,并增加难度而已.传承试题,又适度创新!这说明命题专家很重视命题的相互借鉴,所以在高考的备考中,适当加入高考真题的训练的必要的,特别是近几年的高考真题.五、链接高考在统计模块中,“三数(平均数、中位数、众数)”与“三差(方差、标准差、极差)”相关类型的考题是高考中的重要考点,备受命题者青睐.为了凸现考题的有迹可循,把握复习的侧重点,提高复习效率,下面给出近三年全国卷相关的高考试题,以供参考.1.(2023 年高考全国甲卷文 19)一项试验旨在研究臭氧效应,试验方案如下:选 40 只小白鼠,随机地将其中 20 只分配到试验组,另外 20 只分配到对照组,试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境,对照组的小白鼠饲养在正常环境,一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位:g).试验结果如下:对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5(1)计算试验组的样本平均数;(2)(i)求 40 只小白鼠体重的增加量的中位数 m,再分别统计两样本中小于 m 与不小于 m 的数据的个数,完成如下列联表.m对照组试验组(ii)根据(i)中的列联表,能否有 95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异?附:K2=n(ad bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),P(K2 k)0.1000.0500.010k2.7063.8416.6352.(2023 年高考全国乙卷文/理 17)某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,进行 10 次配对试验,每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品,随机地选其中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理,测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为 xi,yi(i=1,2,10).试验结果如下:试验序号 i12345678910伸缩率 xi545533551522575544541568596548伸缩率 yi536527543530560533522550576536记 zi=xi yi(i=1,2,10),记 z1,z2,z10的样本平均数为 z,样本方差为 s2.(1)求 z,s2;(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果 z 2s210,则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高,否则不认为有显著提高).3.(2022 年高考全国甲卷文/理 2)某社区通过公益讲座以及普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果,随机抽取 10 位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这 10 位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图:18中学数学研究2024 年第 2 期(上半月刊)则().A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 70%B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 85%C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差4.(2022 年高考全国乙卷文 4)分别统计了甲、乙两位同学 16 周的各周课外体育运动时长(单位:h),得如下茎叶图:则下列结论中错误的是().A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为 7.4B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于 8C.甲同学周课外体育运动时长大于 8 的概率的估计值大于 0.4D.乙同学周课外体育运动时长大于 8 的概率的估计值大于 0.65.(2021 年全国新高考 卷 9)下列统计量中,能度量样本 x1,x2,xn的离散程度的是().A.样本 x1,x2,xn的标准差B.样本 x1,x2,xn的中位数C.样本 x1,x2,xn的极差D.样本 x1,x2,xn的平均数6.(2021 年全国乙卷文/理科 17)某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了 10 件产品,得到各件产品该项指标数据如下:旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 x 和 y,样本方差分别记为 s21和 s22.(1)求 x,y,s21,s22;(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果 y x 2s21+s2210,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高).高考试题是精心之作,具有典型性、示范性和权威性.高考题除了具有测试与选拔功能外,还具有良好的教学功能,要了解高考动向、把握高考脉搏,高考试题的研究分析是重要的路径.所以在复习中,要加强高考题的渗透,通过高考真题的训练体会命题思想,善于作解后反思,方法的归类,并对试题进行挖掘、拓展、引申,扩大高考题的辐射面,从而实现高考试题功能的最大化、最优化.六、统计模块的备考启示1.夯实基础,注重对数学概念的教学高考对统计内容的考查,虽然试题千变万化,但都以基础概念、基础知识、基本思想为基础,所以在复习中要以课程标准为轴,围绕教材,对重点概念强化复习,夯实基础知识.统计中的概念众多,在复习备考过程中引导学生回归教材,对教材中的基本概念进行梳理.下面的主线可以将统计的有关概念串联起来:统计的基本研究过程:收集数据 整理数据 分析数据 统计推断.2.加强数据处理能力和运算能力的培养课程标准对能力的要求有空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识.其中“数据处理能力”是指:会收集、整理、分析数据,能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息,并做出判断.选择合适的统计方法整理数据,并构建模型对数据进行分析、推断,获得结论.“运算求解能力”是指:会根据法则、公式进行正确运算、变形、和数据处理,能根据问题的条件寻找合理、简捷的运算途径,能根据要求对数据进行估计和近似计算.运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力,也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力.统计问题的核心是样本数据的收集和处理方法,这也是高考考查的核心体现,所以在教学中要加强数据处理能力和运算能力的培养.数据处理的一般过程是:用抽样方法收集数据,用统计图表整理数据,用数字特征分析数据,用估计思想作出推断.即“图表 信息 公式 模型”,体现了数据处理的四个层次.2024 年第 2 期(上半月刊)中学数学研究19权方和不等式的妙用湖北省通山县第一中学(437600)刘昌领摘要 本文结合实例介绍了权方和不等式在解决不等式中的应用.关键词 权方和不等式;柯西不等式,最值问题不等式是高考数学重要内容之一,也是高考的热点问题之一,这类试题蕴含极为丰富的重要数学思想方法,本文通过对我校 10 月联考填空压轴题进行多解法探究与思考,侧重于利用权方和不等式解决分式不等式的最值问题,它比常数代换法更简单快捷,介绍如下.一、原题呈现题目(2022 年 10 月湖北百校大联考)已知正数 x,y 满足 3x+4y=4,则 y(1xy+3+12xy+1)的最小值为.分析 1通过对所要求解的式子进行分子分母同时除以y 变形处理,再与条件式子进行比对,配凑便可使用常数代换法.解法 1(常数代换法)注意到 y(1xy+3+12xy+1)=1x+3y+12x+1y.因为3x+4y=(x+3y)+(2x+1y)=4,所以14(x+3y)+(2x+1y)=1.则y(1xy+3+12xy+1)=14(x+3y)+(2x+1y)(1x+3y+12x+1y)=14(2+x+3y2x+1y+2x+1yx+3y)14(2+2vuuuuutx+3y2x+1y2x+1yx+3y)=1,当且仅当x+3y2x+1y=2x+1yx+3y,即 x=45,y=52时,等号成立.所以 y(1xy+3+12xy+1)的最小值为 1.评注 显然利用常数代换法计算过程较长.分析 2通过观察,可以把 y 换成关于 xy 的式子,再双换元,应用基本不等式即可.3.加强阅读理解能力的培养高考在统计方面的命题常以应用题为载体,重视统计的理论知识与实际生活相结合,题材内容丰富,注重考查考生的应用意识、阅读理解能力、分类讨论与化归转化能力,往往考题的文字描述多,对考生的阅读理解能力要求高.所以要加强阅读理解能力的培养,重视审题教学,教会学生准确理解题意,能从大量的信息中提取对研究问题有效的信息,并做出判断,这是数据处理能力的基本要求.4.注重数学核心素养的培养及数学思想方法的渗透高考命题的趋势是以知识为载体,能力立意,思想方法为灵魂,核心素养为统领.统计的命题兼顾基础性、综合性、应用性和创新性,以此展现数学的科学价值和人文价值,在全面考查综合数学素养的基础上区分考生的数学能力的差异.因此教师在统计复习时,要结合相应的教学内容,落实“四基”,培养“四能”,适当渗透数学思想方法(如数学建模、转化与化归、分类讨论等思想)促进学生数学核心素养(如数据分析与处理、数学运算等)的形成与发展.5.认真研究考题,把握高考命题方向把脉高考命题方向是每位教师备考时的一项重要工作,近几年高考对统计方面的考查内容和方向变化不大,保持较高的稳定性.主要考查统计中的基本概念,抽样方法,样本的数字特征,频率分布直方图,茎叶图,独立性检验与回归方程等知识的应用、决策问题.复习时要做好近年高考题的归类整理,备考选题以全国卷为主,分类分组训练,避免知识类型的“盲区”,并领会题目所蕴含的数学思想与方法.参考文献1 赵萍,林国红.2019 年高考全国 卷概率与统计试题分析及备考建议 J.中学数学研究(华南师范大学版),2019(17):33-37.2 林国红.巧处理,活变形,突破高考统计大题的运算瓶颈 J.教学考试,2019(02):8-11.