2022届高考数学一轮复习-课后限时集训绝对值不等式北师大版.doc

2022届高考数学一轮复习 课后限时集训绝对值不等式北师大版

2022届高考数学一轮复习 课后限时集训绝对值不等式北师大版

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课后限时集训(七十六)　绝对值不等式
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1．(2020·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝|x－a2|＋|x－2a＋1|.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4的解集；
(2)若f(x)≥4，求a的取值范围．
[解]　(1)当a＝2时，f(x)＝
因此，不等式f(x)≥4的解集为.
(2)因为f(x)＝|x－a2|＋|x－2a＋1|≥|a2－2a＋1|＝(a－1)2，故当(a－1)2≥4，即|a－1|≥2时，f(x)≥4.
所以当a≥3或a≤－1时，f(x)≥4.
当－1<a<3时，f(a2)＝|a2－2a＋1|＝(a－1)2<4.
所以a的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
2．(2020·沈阳市教学质量监测(一))已知函数f(x)＝|2x＋3|－|x－1|.
(1)求不等式f(x)≤3的解集；
(2)若不等式f(x)＞2a－|3x－3|对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
[解]　(1)由f(x)≤3，得|2x＋3|－|x－1|≤3，
不等式可化为或或，
解得无解或－＜x≤或－7≤x≤－，
∴不等式f(x)≤3的解集为.
(2)若不等式f(x)＞2a－|3x－3|对任意的x∈R恒成立，
即不等式|2x＋3|－|x－1|＞2a－|3x－3|对任意的x∈R恒成立，
即不等式|2x＋3|＋|2x－2|＞2a对任意的x∈R恒成立，
∵|2x＋3|＋|2x－2|≥|(2x＋3)－(2x－2)|＝5，
∴2a＜5，即a＜，故实数a的取值范围是.

1．(2020·贵阳市四校联考)已知函数f(x)＝|x－m|＋|2x－1|，m∈R.
(1)当m＝1时，解不等式f(x)＜2；
(2)若不等式f(x)＜3－x对任意x∈[0,1]恒成立，求实数m的取值范围．
[解]　(1)当m＝1时，f(x)＝|x－1|＋|2x－1|，∴f(x)＝，
f(x)＜2，即或或，解得0＜x＜或≤x≤1或1＜x＜，
∴f(x)＜2的解集为.
(2)由题意，f(x)＜3－x对任意的x∈[0,1]恒成立，
即|x－m|＜3－x－|2x－1|对任意的x∈[0,1]恒成立．
令g(x)＝3－x－|2x－1|＝，
∴函数y＝|x－m|的图像应该恒在g(x)的图像的下方，数形结合可得0＜m＜2.
2．(2020·湖北八校第一次联考)设函数f(x)＝|2x－a|＋|x＋a|(a＞0)．
(1)当a＝2时，求函数f(x)的最小值；
(2)若关于x的不等式f(x)＜＋a在区间上有解，求实数a的取值范围．
[解]　(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋|x＋2|＝
∴f(x)min＝f(1)＝3.
(2)当x∈，且a＞0时，原不等式可化为|2x－a|＋x＋a＜＋a，
即|2x－a|＜－x，即－＜2x－a＜－x，
即3x－＜a＜x＋，
∴题设等价于存在x∈，3x－＜a＜x＋且a＞0.
由得≤x＜1，
∴题设等价于存在x∈，3x－＜a＜x＋且a＞0，
即min＜a＜max且a＞0.
则a的取值范围为.