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2022版高考数学一轮复习 练案选修4-4 坐标系与参数方程 第二讲 参数方程练习新人教版

2022版高考数学一轮复习 练案选修4-4 坐标系与参数方程 第二讲 参数方程练习新人教版

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第二讲　参数方程
1．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(s为参数)．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．
[解析]　直线l的普通方程为x－2y＋8＝0.
因为点P在曲线C上，设点P(2s2,2s)，
从而点P到直线l的距离d＝
＝.
当s＝时，dmin＝.
因此当点P的坐标为(4,4)时，曲线C上的点P到直线l的距离取到最小值.
2．(2020·宁夏模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos＝.
(1)求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；
(2)设M为曲线C上的动点，求点M到直线l的距离的最大值．
[解析]　(1)曲线C的普通方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.
因为ρcos＝.所以ρ(cosθ－sinθ)＝，
所以直线l的直角坐标方程为x－y－3＝0.
(2)设M(cosα－1，sinα＋2)，则点M到直线l的距离
d＝＝.
所以dmax＝3＋.
另解：∵圆心C(－1,2)到直线l的距离为d1＝＝3，
∴点M到直线l的距离的最大值为d1＋r＝3＋.
3．(2021·江西赣州十五县市期中联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.
(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)已知点P(2,1)，曲线C1与C2的交点为A，B，求||PA|－|PB||的值．
[解析]　(1)将曲线C1的参数方程(t为参数)，
消参得曲线C的普通方程
为x－y－2＋＝0.
由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，
将ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x代入
得C2：(x－2)2＋y2＝4.
(2)将曲线C1的参数方程(t为参数)，
代入(x－2)2＋y2＝4
整理得：t2＋t－3＝0
设A，B对应的参数分别为t1t2，则t1＋t2＝－1，t1t2＝－3
由(1)知C2是以(2,0)圆心，半径为2的圆，且P(2,1)在圆内，所以t1，t2异号，所以||PA|－|PB||＝|t1＋t2|＝1.
4．(2021·湖南邵阳联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos＝1.
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)设曲线C与直线l交于P，Q两点，求|OP|·|OQ|的值．
[解析]　(1)由(θ为参数)，消去参数得(x－1)2＋(y－1)2＝2.
∴曲线C的普通方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
由ρcos＝1，得ρcos θ－ρsin θ＝1，
而ρcos θ＝x，ρsin θ＝y.
∴直线l的直角坐标方程为x－y－1＝0.
(2)化曲线C的方程为极坐标方程：
ρ＝2cos θ＋2sin θ.
联立直线l的极坐标方程ρcos θ－ρsin θ＝1.
消去θ得：ρ4－8ρ2＋4＝0.
设P，Q两点所对应的极径分别为ρ1，ρ2，
则(ρ1ρ2)2＝4.
∴|OP|·|OQ|＝|ρ1ρ2|＝2.
5．(2021·福建永安一中期中)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合，直线l的参数方程为：(t为参数，α∈[0，π)]，曲线C的极坐标方程为：ρ＝4cos θ.
(1)写出曲线C的直角坐标方程；
(2)设直线l与曲线C相交于P，Q两点，若|PQ|＝，求直线l的斜率．
[解析]　(1)ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，
由ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，得x2＋y2＝4x.
所以曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.
(2)把代入x2＋y2＝4x，
整理得t2－6tcos α＋5＝0
设其两根分别为t1，t2，则t1＋t2＝6cos α，t1t2＝5，
∴|PQ|＝|t1－t2|＝＝＝得cos α＝±，α＝或，
所以直线l的斜率为±.
6．(2020·安徽省合肥市质检)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数，α∈[0，π])在以直角坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线E的方程为ρ2(1＋3sin2 θ)＝4.
(1)求曲线C的普通方程和曲线E的直角坐标方程；
(2)若直线l：x＝t分别交曲线C、曲线E于点A，B，求△AOB的面积的最大值．
[解析]　(1)由消去参数α，
可得曲线C的普通方程为x2＋y2＝4(y≥0)．
由ρ2(1＋3sin2θ)＝4.可得ρ2＋3(ρsin θ)2＝4.
则x2＋y2＋3y2＝4，
则曲线E的直角坐标方程为＋y2＝1.
(2)设A(2cos α，2sin α)，α∈[0，π]，其中t＝2cos α，
则B(2cos α，±sin α)．
要使得△AOB面积的最大，则B(2cos α，－sin α)．
∴S△AOB＝|AB|·|xB|＝×3sin α×|2cos α|＝|sin 2α|.　
∵2α∈[0,2π]，∴sin 2α∈[－1,1]．
当α＝或，即t＝±时，△AOB的面积取最大值.
7．(2021·四川成都诊断)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
(1)求α的取值范围；
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．
[解析]　(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.
当α＝时，l与⊙O交于两点．
当α≠时，记tan α＝k，则l的方程为y＝kx－.l与⊙O交于两点当且仅当<1，解得k<－1或k>1，即α∈或α∈，
综上，α的取值范围是.
(2)l的参数方程为
.
设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tp＝，且tA、tB满足t2－2tsin α＋1＝0.
于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α.
又点P的坐标(x，y)满足
所以点P的轨迹的参数方程是
.
8．(2019·河北唐山一模)在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2－2ρsin－4＝0，以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系xOy，直线l：(t为参数，0≤α<π)．
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求||OA|－|OB||的取值范围．
[解析]　(1)由ρ2－2ρsin－4＝0得，
ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ－4＝0.
所以x2＋y2－2x－2y－4＝0.
曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝6.
(2)将直线l的参数方程代入x2＋y2－2x－2y－4＝0并整理得，t2－2(sin α＋cos α)t－4＝0，
t1＋t2＝2(sin α＋cos α)，t1t2＝－4<0.
||OA|－|OB||＝||t1|－|t2||＝|t1＋t2|＝|2(sin α＋cos α)|＝
因为0≤α<π，所以≤α＋<，
从而有－2<2sin≤2.
所以||OA|－|OB|的取值范围是[0,2]．