2022高考数学一轮复习-高考大题专项突破3-圆锥曲线中的证明与探索性问题学案北师大版.docx

2022高考数学一轮复习 高考大题专项突破3 圆锥曲线中的证明与探索性问题学案北师大版2022高考数学一轮复习 高考大题专项突破3 圆锥曲线中的证明与探索性问题学案北师大版年级：姓名：突破3圆锥曲线中的证明与探索性问题题型一圆锥曲线中的证明问题突破策略一直接法【例1】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,焦距为23.(1)求椭圆C的方程.(2)若斜率为-12的直线l与椭圆C交于P,Q两点(点P,Q均在第一象限),O为坐标原点.证明:直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列.若点Q与点Q关于x轴对称,证明:tan POQ43.解题心得对于证明问题,一般是根据已知条件,运用所涉及的知识通过运算化简,利用定义、定理、公理等,直接推导出所证明的结论即可,证明不等式常用不等式的性质,或基本不等式求得最值.本题易错点是忽略对于取等号时条件能否成立的验证.对点训练1(2020河北张家口二模,19)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的焦距为4,且过点-1,142.(1)求椭圆E的方程;(2)设A(0,b),B(0,-b),C(a,b),过点B且斜率为k(k0)的直线l交E于另一点M,交x轴于点Q,直线AM与直线x=a相交于点P.证明:PQOC(O为坐标原点).突破策略二转化法【例2】已知B是抛物线y=18x2+1上任意一点,A(0,-1),且P为线段AB的中点.(1)求点P的轨迹C的方程;(2)若F为点A关于原点O的对称点,过F的直线交曲线C于M,N两点,直线OM交直线y=-1于点H,求证:|NF|=|NH|.解题心得圆锥曲线中的证明问题涉及证明的范围比较广,但无论证明什么,其常用方法有直接法和转化法,对于转化法,先是对已知条件进行化简,根据化简后的情况,将证明的问题转化为另一问题.本题证明的关键是能够利用抛物线的定义将所证结论转化为证明HNy轴.通过直线与抛物线联立得到韦达定理的形式,利用韦达定理的结论证得HNy轴.对点训练2(2020河南开封三模,文19)已知抛物线C:x2=2py(p0),F为抛物线C的焦点.以F为圆心,p为半径作圆,与抛物线C在第一象限交点的横坐标为2.(1)求抛物线C的方程;(2)直线y=kx+1与抛物线C交于A,B两点,过A,B分别作抛物线C的切线l1,l2,设切线l1,l2的交点为P,求证:PAB为直角三角形.题型二圆锥曲线中的探究性问题(多方向探究)突破策略一肯定顺推法【例3】已知F为抛物线C:y2=2px(p0)的焦点,过点F的动直线交抛物线C于A,B两点,当直线与x轴垂直时,|AB|=4.(1)求抛物线C的方程;(2)设直线AB的斜率为1且与抛物线C的准线l相交于点M,抛物线C上存在点P使得直线PA,PM,PB的斜率成等差数列,求点P的坐标.解题心得存在性问题通常用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化,其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程(组),若方程(组)有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在;否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在.对点训练3(2020陕西咸阳二模,理20)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)过点1,32,且其离心率为12,过坐标原点O作两条互相垂直的射线与椭圆C分别相交于M,N两点.(1)求椭圆C的方程;(2)是否存在圆心在原点的定圆与直线MN总相切?若存在,求定圆的方程;若不存在,请说明理由.突破策略二探究转化法【例4】(2019全国2,文20)已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点,P为C上的点,O为坐标原点.(1)若POF2为等边三角形,求C的离心率;(2)如果存在点P,使得PF1PF2,且F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.解题心得转化探究方向,是指将所探究的问题转化为其他明确的问题,使所探究的问题更加具体,易求.对于范围最值的探究,一般转化为对函数性质的研究,或对不等式的研究问题.对点训练4(2020山西晋城一模,理20)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的半焦距为c,圆O:x2+y2=c2与椭圆C有且仅有两个公共点,直线y=2与椭圆C只有一个公共点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)已知动直线l过椭圆C的左焦点F,且与椭圆C分别交于P,Q两点,试问:x轴上是否存在定点R,使得RPRQ为定值?若存在,求出该定值和点R的坐标;若不存在,请说明理由.突破策略三利用假设法【例5】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),且椭圆过点1,32.(1)求椭圆C的方程;(2)若A,B为椭圆的左、右顶点,P(x0,y0)(y00)为椭圆上一动点,设直线AP,BP分别交直线l:x=6于点M,N,判断以线段MN为直径的圆是否恒过定点,若恒过定点,求出该定点坐标;若不恒过定点,说明理由.解题心得1.利用假设法一般地先假设定点存在,并设出定点坐标,再把其作为已知条件,求解定点坐标.2.探索直线过定点时,可设直线方程为y=kx+b,然后利用条件建立关于k,b的等量关系,再借助于直线系的思想找出定点.3.从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关.对点训练5(2020河北保定一模,理20)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F(c,0),离心率为22,且经过点1,62,点M为椭圆上的动点.(1)求点M到点D(1,0)的最短与最长距离;(2)设直线l:y=x+n与椭圆C相交于A,B两点,则是否存在点P(2,m),使得ABP的内切圆恰好为x2+y2=1?并说明理由.突破3圆锥曲线中的证明与探索性问题例1(1)解由题意可得ca=32,2c=23,解得a=2,c=3,b2=a2-c2=1,故椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)证明设直线l的方程为y=-12x+m,P(x1,y1),Q(x2,y2).由y=-12x+m,x24+y2=1消去y,得x2-2mx+2(m2-1)=0.则=4m2-8(m2-1)=4(2-m2)0,且x1+x2=2m,x1x2=2(m2-1),y1y2=-12x1+m-12x2+m=14x1x2-12m(x1+x2)+m2=m2-12,kOPkOQ=y1y2x1x2=m2-122(m2-1)=14=kPQ2,即直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列.由题可知xOQ=xOQ,由可知tanxOQtanxOP=14,tanxOQ0,tanxOP0,tanPOQ=tan(xOQ+xOP)=tanxOQ+tanxOP1-tanxOQtanxOP=43(tanxOQ+tanxOP)432tanxOQtanxOP=43.当且仅当xOQ=xOP时,等号成立,此时P,Q两点重合,不符合题意,可知无法取得等号.tanPOQ43.对点训练1(1)解由题可知2c=4,c=2,椭圆的左、右焦点分别为(-2,0),(2,0).(方法1)由椭圆的定义知2a=(-1+2)2+1422+(-1-2)2+1422=42,a=22,b2=a2-c2=4,椭圆E的方程为x28+y24=1.(方法2)由题可知1a2+72b2=1,a2-b2=4,解得b2=4,a2=8.椭圆E的方程为x28+y24=1.(2)证明由(1)得A(0,2),B(0,-2),C(22,2).直线l:y=kx-2与椭圆x2+2y2=8联立,得(2k2+1)x2-8kx=0.xM=8k2k2+1,从而M8k2k2+1,4k2-22k2+1,Q2k,0.直线AM的斜率为4k2-22k2+1-28k2k2+1=-12k,直线AM的方程为y=-12kx+2.令x=22,得P22,-2k+2,直线PQ的斜率kPQ=-2k+222-2k=-2+2k22k-2=2(2k-1)2(2k-1)=22.直线OC的斜率kOC=222=22,kPQ=kOC,从而PQOC.例2(1)解设P(x,y),B(x0,y0),P为AB中点,x0=2x,y0=2y+1.B为曲线y=18x2+1上任意一点,y0=18x02+1,代入得x2=4y,点P的轨迹C的方程为x2=4y.(2)证明依题意得F(0,1),直线MN的斜率存在,其方程可设为y=kx+1.设M(x1,y1),N(x2,y2),联立y=kx+1,x2=4y,得x2-4kx-4=0,则=16k2+160,x1x2=-4.直线OM的方程为y=y1x1x,H是直线OM与直线y=-1的交点,H-x1y1,-1.根据抛物线的定义|NF|等于点N到准线y=-1的距离.H在准线y=-1上,要证明|NF|=|NH|,只需证明HN垂直于准线y=-1,即证HNy轴.H的横坐标-x1y1=-x1x124=-4x1=x1x2x1=x2,HNy轴成立,|NF|=|NH|成立.对点训练2(1)解记抛物线C与圆F在第一象限的交点为M.由题意,圆F与抛物线C的准线相切,且M到抛物线C准线的距离等于圆F的半径p.所以点M的坐标为2,p2.代入抛物线方程,得4=p2(p0),所以p=2.(2)证明设Ax1,x124,Bx2,x224,由x2=4y得y=14x2,求导得y=12x,所以A,B两点处的切线斜率分别为k1=12x1,k2=12x2.由y=kx+1,x2=4y,得x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4,所以k1k2=14x1x2=-1.所以PAPB,即PAB为直角三角形.例3解(1)由题可知Fp2,0,在抛物线方程y2=2px中,令x=p2,可得y=p.于是当直线与y轴垂直时,|AB|=2p=4,解得p=2.所以抛物线的方程为y2=4x.(2)因为抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,直线AB的方程为y=x-1,所以M(-1,-2).联立y2=4x,y=x-1消去x,得y2-4y-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4,y1y2=-4.若点P(x0,y0)满足条件,则2kPM=kPA+kPB,即2y0+2x0+1=y0-y1x0-x1+y0-y2x0-x2,因为点P,A,B均在抛物线上,所以x0=y024,x1=y124,x2=y224.代入化简可得2(y0+2)y02+4=2y0+y1+y2y02+(y1+y2)y0+y1y2,将y1+y2=4,y1y2=-4代入,解得y0=2.将y0=2代入抛物线方程,可得x0=1.于是点P(1,2)为满足题意的点.对点训练3解(1)椭圆C经过点1,32,1a2+94b2=1,又ca=12,a2=4,b2=3.椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)存在.当直线MN的斜率不存在时,由对称性,设M(x0,x0),N(x0,-x0).M,N在椭圆C上,x024+x023=1,x02=127.O到直线MN的距离为d=|x0|=2217,圆的方程为x2+y2=127.当直线MN的斜率存在时,设MN的方程为y=kx+m,联立y=kx+m,x24+y23=1,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-8km3+4k2,x1x2=4m2-123+4k2.OMON,x1x2+y1y2=0,x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0.(k2+1)4m2-123+4k2-8k2m23+4k2+m2=0,即7m2=12(k2+1).O到直线MN的距离为d=|m|k2+1=127=2217,圆的方程为x2+y2=127.综上所述,存在定圆x2+y2=127与直线MN总相切.例4解(1)连接PF1.由POF2为等边三角形可知在F1PF2中,F1PF2=90,|PF2|=c,|PF1|=3c,于是2a=|PF1|+|PF2|=(3+1)c,故C的离心率e=ca=3-1.(2)由题意可知,满足条件的点P(x,y)存在,则12|y|2c=16,yx+cyx-c=-1,x2a2+y2b2=1,即c|y|=16,x2+y2=c2,x2a2+y2b2=1.由及a2=b2+c2得y2=b4c2,又由知y2=162c2,故b=4.由得x2=a2c2(c2-b2),所以c2b2,从而a2=b2+c22b2=32,故a42.当b=4,a42时,存在满足条件的点P.所以b=4,a的取值范围为42,+).对点训练4解(1)依题意,得c=b=2,则a2=b2+c2=4+4=8,故椭圆的标准方程为x28+y24=1.(2)存在.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+2),代入椭圆C的方程,可得(2k2+1)x2+8k2x+8k2-8=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-8k22k2+1,x1x2=8k2-82k2+1.设R(m,0),则RP=(x1-m,y1),RQ=(x2-m,y2).RPRQ=(x1-m)(x2-m)+y1y2=(x1-m)(x2-m)+k2x1x2+2(x1+x2)+4=(k2+1)8k2-82k2+1-8k2(2k2-m)2k2+1+4k2+m2=(2m2+8m+4)k2+2-82k2+1=(2m2+8m+4)k2+m2-82m2+8m+42k2+1,当m2-82m2+8m+4=12,即m=-52时,RPRQ=(2m2+8m+4)k2+m2-82m2+8m+42k2+1=-74为定值,此时R点的坐标为R-52,0.当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-2,联立x=-2,x28+y24=1,得x=-2,y=2.不妨设P(-2,2),Q(-2,-2),若R-52,0,则RP=12,2,RQ=12,-2,RPRQ=-74.综上所述,在x轴上存在点R-52,0,使得RPRQ为定值-74.例5解(1)由已知c=1,a2=b2+1,椭圆过点1,32,1a2+94b2=1,联立得a2=4,b2=3,椭圆方程为x24+y23=1.(2)以线段MN为直径的圆恒过定点.设P(x0,y0),已知A(-2,0),B(2,0),y00,x02,直线AP,BP都有斜率,kAP=y0x0+2,kBP=y0x0-2,kAPkBP=y02x02-4,x024+y023=1,y02=31-x024.将代入得kAPkBP=31-x024x02-4=-34,设直线AP方程为y=k(x+2),直线BP方程为y=-34k(x-2),M(6,8k),N6,-3k,由对称性可知,若存在定点,则该定点必在x轴上,设该定点为T(t,0),则TMTN,TMTN=(6-t,8k)6-t,-3k=(6-t)2+(-24)=0,(6-t)2=24,t=626.存在定点6+26,0或(6-26,0)以线段MN为直径的圆恒过该定点.对点训练5解(1)依题意得1a2+32b2=1,ca=22,a2=b2+c2,解得a=2,c=b=2,所以椭圆C的方程为x24+y22=1.设M(x0,y0)(x0-2,2)到点D的距离为d,因为x024+y022=1,所以y02=2-x022,所以d2=(x0-1)2+y02=12x02-2x0+3,其对称轴为x=2,所以该函数在-2,2上单调递减,所以当x0=2时,d取得最小值1;当x0=-2时,d取得最大值3.(2)假设存在点P(2,m),使得ABP的内切圆恰好为x2+y2=1,设A(x1,y1),B(x2,y2),因为直线AB与圆x2+y2=1相切,所以圆心(0,0)到直线l:y=x+n的距离为|n|2=1,所以n=2,所以当n=2时,直线AB的方程为y=x+2,联立y=x+2,x24+y22=1,得3x2+42x=0,解得x1=0,x2=-423,所以A(0,2),B-423,-23.(方法1)因为AO为BAP的角平分线,所以kAP=-kAB=-1,所以kAP=2-m0-2=-1,所以m=0,即P(2,0),所以直线BP的方程为x-7y-2=0,因为圆心到直线BP的距离为|2|12+(-7)2=151,所以此时BP不是圆的切线.同理,当n=-2时,BP也不是圆的切线,综上所述,P不存在.(方法2)因为A(0,2),P(2,m),所以kAP=m-22,所以直线AP的方程为(m-2)x-2y+2=0.由原点O到直线AP的距离为1,得22+(m-2)2=1,解得m=0,或m=22,当m=0时,P(2,0),此时直线BP的斜率为kBP=17,所以直线BP的方程为x-7y-2=0,因为圆心到直线BP的距离为|2|12+(-7)2=151,所以BP不是圆的切线.当m=22时,P(2,22),此时直线BP的斜率为kBP=1,所以直线BP的方程为x-y+2=0,与直线AB重合,故舍去.同理,当n=-2时,BP也不是圆的切线.综上所述,P不存在.