初二数学同步辅导教材(第15讲).doc

初二数学同步辅导教材（第15讲）

【教学进度】
§ 3.13 § 3.14 (几何第二册P73 – P85)
【教学内容】
1．等腰三角形的判定
2．线段的垂直平分线
【重点、难点剖析】
一、主要知识点
1．等腰三角形的判定
（1）等腰三角形的判定定理，祥见课本P73页（第6行—第8行）
（2）等腰三角形的判定定理的3个推论，祥见P73页倒数第5行—倒数第4行，以及P75页倒数第2行—倒数第1行。
2．线段的垂直平分线
（1）线段的垂直平分线概念：垂直且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线。
从集合的观点：线段的垂直平分线也可以看作和线段两个端点距离相等的所有点的集合。
（2）线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，祥见课本P84页第3行—第4行和倒数第3行—倒数第4行。
二、重点剖析
1．等腰三角形的判定定理，是证明两条线段相等的重要定理，它是把三角形中的相等关系转化为边的相等关系的重要依据。
在叙述等腰三角形的判定定理时要提醒注意的是：不要说成“如果一个三角形有两个“底角”相等，那么它的“两腰”也相等”，因为在没有判定出它是等腰三角形以前，不要用“底角”、“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”、“腰”。
2．等腰三角形的性质定理和判定定理是两个互逆定理。
3．等边三角形是等腰三角形的特殊情况，因此它具有等腰三角形的性质。
判定三角形是等边三角形的方法主要三种：等边三角形的定义及本节学习的推论1．三个角都相等的三角形是等边三角形和推论2．有一个角等于600的等腰三角形是等边三角形。
4．推论3在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它们对的直角边等于斜的一半，它反映了直角三角形中边与角之间的一个重要关系。
5．线段的垂直平分线是一条直线，它垂直且平分这条线段，在作线段垂直平分线时，不能说成过某一点作线段的垂直平分线，过某一点只能作垂线。
6．线段的垂直平分线的性质定理与的判定定理是互逆定理。
【典型例题】
例1．已知，如图1等腰三角形ABC中，AB=AC，∠B的平分线交AC于E，∠A=1000
求证：AE+BE=BC
分析：要证AE+BE=BC，可在BC上截取BF=BE，再证FC=AE即可。要证FC=AE须构造全等三角形，为此须在BC上截取BD=AB，证ΔBAE≌ΔBDE，得出AE=ED，再证ΔEDF，ΔEFC是等腰三角形。
证明：在BC上截取BD=BA，BF=BE，连结ED、EF
∵AB=AC，∠A=1000
∴∠ABC=∠C=400（等边对等角）
又∵BE平分∠ABC（已知）
∴∠1=∠2=ABC=200
∵BF=BE（画图）
∴∠BEF=∠5=800（等边对等角）
在ΔBAE和ΔBDE中

∴ΔBAE≌ΔBDE（SAS）
∴AE=ED（全等三角形的对应边相等）
∴∠3=∠A（全等三角形的对应角相等）
又∵∠A=1000 ∴∠3=1000
∵∠4+∠3=1800，∴∠4=800
∴∠4=∠5 ∴ED=EF（等角对等边）
又∵∠5=∠6+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）。
∴∠6=∠5-∠C=400
∴∠6=∠C ∴EF=FC（等角对等边）
∴ED=FC， ∴AE=FC
∴AE+BE=FC+BF=BC

例2．已知，如图2所示，在ΔABC中，AB=AC，∠BAC=1200，D是BC中点，DE⊥AB于E
求证：EB=3EA
分析：先证∠B=300，再证AD⊥BC即可得到AD=AB，再证∠1=300得出AE=，本题就可获证。
证明：∵AB=AC，∠BAC=1200（已知）
∴∠B=∠C=300（等边对等角）
又∵D是BC中点
∴AD⊥BC（三线合一）
∴∠2=600（直角三角形两上锐角互余）
又∵DE⊥AB
∴∠1=300（直角三角形两个锐角互余）
在RtΔABD中，∠B=300
∴AD=
在RtΔAED中，∠1=300
∴AE=（直角三角形中，如果有一个角等于300。那么它所对的直角边等于斜边的一半）
∴AE=
又∵AE+EB=AB ∴EB=
∴EB=3AE
点评：（1）本节推论3，是直角三角形重要而且常用的一个性质，本题就是将其与等腰三角形的性质相结合来证明的一个例子。
（2）随着学习几何的深入，定理多了，探索解题思路，从已知出发可能有多种途径，最好结合所要求的结论一起来考虑，以选择适当的途径。
（3）引辅助线要与探索解题思路一起进行，不能随意添加，必须是有根有据，对于等腰三角形添辅助常用的方法有：①作角的平分线；②作底边上的高；③连结顶点与底边的中点等。

例3．已知，如图3所示，在ΔABC中，AB=AC，∠BAC=1200，D、F分别为AB、AC中点，DE⊥AB，FG⊥AC，E、G在BC上，BC=15cm
求：EG的长度
分析：由已知可得DE，FG是AB，AC的垂直平分线，
利用垂直平分线性质得AE=EB，AG=GC，
再利用等腰三角形性质及已知条件，不难证出，
ΔAEG是等边三角形即可求出EG。
解：连结AE、AG
∵D、F分别为AB，AC中点，DE⊥AB，FG⊥AC
∴DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线
∴AE=EB，AG=GC（线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等）
∴∠1=∠B，∠2=∠C（等边对等角）
又∵AB=AC，∠BAC=1200
∴∠B=∠C=300（等边对等角）
∴∠1=∠2=300（等量代换）
∴∠EAG=600
又∵∠3=∠B+∠1，∠4=∠C+∠2（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
又∵∠3=∠4=600 ∴ΔAEG是等边三角形
∴AE=EG=AG， ∴BE=EG=CG
∵BC=15cm， ∴EG=
例4．已知：如图4，在ΔABC中，BD是AC边上的中线，DB⊥BC于B，∠ABC=1200
求证：AB=2BC
分析：由已知可得∠ABD=300，如能构造一个锐角是300的直角三角形，斜边是AB，300角所对的边是与BC相等的线段，问题就能解决了。
证明：过A作AE∥BC交BD的延长线于E，
∵BD⊥BC（已知）
∴∠AED=900（两直线平行内错角相等）
在ΔADE和ΔCDB中，

∴ΔADE≌ΔCDB（AAS）
∴AE=CB（全等三角形的对应边相等）
∵∠ABC=1200，DB⊥BC（已知）
∴∠ABE=300
在RtΔABE中，∠ABD=300
∴AE=AB（在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半）
∴BC=
即AB=2BC
注：本题还可过C作CE∥AB，则如何来证明AB=2BC，不妨作为练习，试一试。

【巩固练习】
1．如图，在ΔABC中，AB=AC，
BD、CE分别为ΔABC的角平分线，BD、
CE相交于G，则图中等腰三角形的个数有______个。

2．如图，ΔACB=中，∠ACB=900，AD=AC，BE=BC，
则∠DCE=_______。

3．如图，ΔABC中，BD、CD分别平分
∠ABC、∠ACB，过点D的直线EF∥BC，
交AB于E，交AC于F，
求证：EF=BE+CF

4．如图，在ΔABC中，∠ACB=900，CD⊥AB于D，
AE平分∠BAC 交BC于E，
交CD于F，FG∥AB交BC于G，
求证：（1）CE=CF；
（2）CE=GB

5．已知：如图，ΔABC中，
BD垂直于∠BAC的平分线，垂足为D，
且DE∥AC交AB于E，AB=8cm，
求AE、BE的长。

6．已知：如图ΔABC中，∠B=2∠C，BC=2AD，
且AD是中线
求∠B的度数。

7．已知，如图，AB=AC，∠A=900，
D在ΔABC内，
且BD=AB，∠ABD=300
求证：为等腰三角形

8．如图，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于D，
交AB于E，∠C=800，
求∠BDC的度数。

9．如图，ΔABC是等边三角形，AD是中线，
ΔADE是等边三角形
求证：BD=BE

10．如图，在ΔABC中，D是BC中点，ED⊥DF，
求证：CF+BE>EF

11．如图，ΔABC是等腰直角三角形，
ΔADB是等边三角形，
点C在ΔABD外部，
DE⊥AC交直线AC于点E，
求证：DE=CE

【参考解答或提示】
1．6；
2．450
3．提示：DE=BE，DF=FC，∴EF=BE+CF
4．提示：∵CE、CF在ΔCEF中，只需证明∠CEF=∠CFE，要证CE=GB，只需证明CG=EB，作辅助线EH⊥AB于H，可构造ΔCFG≌ΔEHB
5．AE=BE=4cm
6．600
7．提示：作DE⊥AC，垂足为E，AF⊥BD，垂足为F，先证ΔAED≌ΔAFD可得AE=AF=∴E是AC的中点，再证ΔADE≌ΔCDE。
8．∠BDC=400
9．提示：证∠BAD=300，∠EAB=300，AB是ED是中垂线。
10．提示：延长ED到G，使DG=ED，连EG、GC证EG=EF，CG=BE，由GC+CF>GF，即可得，BE+CF>EF
11.提示：作直线DC与AB相交于F，证直线DF垂直平分AB，由三线合一，CF平分∠ACB。